【解析】沪科版数学八年级上册第15章轴对称图形章末过关检测卷

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一、选择题（每题4分，共40分）

1．（2022八上·宝应期中）下列图案中，是轴对称图形的是（）

A．B．

C．D．

2．（2022八上·北京月考）等腰三角形的一个外角是70°，则它的顶角的度数为（）

A．70°B．70°或40°C．110°D．110°或40°

3．（2023八上·鄞州期末）如图，△ABC中，AB＜AC＜BC，如果要使用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA＋PB＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（）

A．B．

C．D．

4．（2022八上·右玉期末）已知，如图，中，，，，的垂直平分线交于点M，交于点E，的垂直平分线交于点N，交于点F，则的长为（）

A．3cmB．4cmC．6cmD．12cm

5．（2022八上·铁锋期中）如图，将纸片沿折叠，点A落在点F处，已知，则的度数等于（）

A．B．C．D．

6．一副直角三角板按如图所示的方式放置，点E在边BC的延长线上，，，则的度数为（）

A．30°B．25°C．20°D．15°

7．（2023八上·南宁期末）如图，中，是高，，则长为（）

A．4B．5C．6D．7

8．（2023八下·洋县期末）如图，点P是内部的一点，点P到三边的距离，，则的度数为（）

A．65°B．80°C．100°D．70°

9．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，P是网格线的交点，则∠PAB+∠PBA=（）

A．30°B．45°C．60°D．75°

10．（2023八上·潮南期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小，则∠AMN＋∠ANM的度数为（）

A．130°B．120°C．110°D．100°

二、填空题（每空5分，共25分）

11．（2023八下·杜尔伯特期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是40°，则该等腰三角形顶角为°．

12．（2023八上·襄城期末）如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中∠BAD=150°，∠B=40°，则∠ACD的度数是°.

13．（2022八上·綦江期中）如图所示，平分于点E，，那么的长度为.

14．（2023八上·合川期末）如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，，，则的长为.

15．（2023八下·龙沙期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，且在直线上，点在轴的正半轴上，，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在轴上，则点的横坐标为．

三、综合题（共8题，共85分）

16．（2023七下·芝罘期末）如图，中，．

（1）尺规作图：（要求保留作图痕迹，不写作法）

①在上确定一点D，使D到、的距离相等；

②过点D作，交于点E；

（2）在（1）的条件下，则的周长为．

17．（2023七下·青羊期末）“万里桥西一草堂，百花潭水即沧浪”，杜甫草堂的工作人员打算在A、B两点间建立一座观景桥，由于A、B中间隔着河流无法直接测量，数学兴趣小组想在不用涉水的情况下测量此段河流的宽度（该段河流两岸是平的），他们是这样做的：

①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A为参照点；

②沿河岸直走有一棵树C，继续前行到达D处；

③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；

④测得的长为．

（1）河流的宽度为；

（2）请你证明他们做法的正确性．

18．（2023·柳北模拟）如图，已知的顶点分别为，，．

（1）作出关于x轴对称的图形．

（2）点P在x轴上运动，当的值最小时，求出点P的坐标．

（3）求的面积．

19．（2023七下·芝罘期末）如图，和中，点D在上，，，，交的延长线于点F．

（1）求证：；

（2）请直接写出、和之间的数量关系；

（3）求证：．

20．（2023七下·上海市期末）如图，在中，，，点D在边上，以点A为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接．

（1）求证：平分；

（2）连接交于点F，过点C

作，交的延长线于点G．补全图形，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．

21．（2023七下·渝中期末）如图，是的角平分线，，垂足为F，与交于点D．

（1）如图1，若，，求的度数；

（2）如图2，点G在线段上，满足，求证：与互余．

22．如图，已知：点分别在的边上，连接与交于点，．

（1）如图1，当都是的角平分线时，求的度数；

（2）如图2，当都是的高时，求的度数；

（3）如图3，当时，探究与的数量关系，并说明理由．

23．（2023七下·莲湖月考）在直角三角形ABC中，，直线l过点C．

（1）当时，

①如图1，分别过点A和B作直线l于点D，直线l于点E．求证：；

②如图2，过点A作直线l于点D，点B与点F关于直线l对称，连接BF交直线l于E，连接CF．求证：．

（2）当，时，如图3，点B与点F关于直线l对称，连接BF、CF．点M从A点出发，以每秒1cm的速度沿路径运动，终点为C，点N以每秒3cm的速度沿路径运动，终点为F，分别过点M、N作直线l于点D，直线l于点E，点M、N同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t秒．当与全等时，求t的值．

答案解析部分

1．【答案】A

【知识点】轴对称图形

【解析】【解答】解：根据轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形.据此判断A选项中的图形是轴对称图形；B、C、D选项中的图形不是轴对称图形.

故答案为：A.

【分析】此题根据轴对称图形的概念判断即可.

2．【答案】C

【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质

【解析】【解答】解：①当角为顶角的外角时，顶角为；

②当为底角的外角时，底角为，

顶角为，不符合题．

故答案为：C．

【分析】分两种情况：①当角为顶角的外角时，②当为底角的外角时，再分别求解即可。

3．【答案】B

【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线

【解析】【解答】解：解：∵PA＋PB＝BC，而PC＋PB＝BC，

∴PA＝PC，

∴点P在AC的垂直平分线上，

故点P为AC的垂直平分线与BC的交点，

根据作图痕迹，A选项中满足AB=BP，B选项作的是AC的垂直平分线，C选项作的是AB的垂直平分线，D选项满足AC=PC，

∴A、C、D都不符合题意，只有B选项符合题意.

故答案为：B.

【分析】由PA＋PB＝BC和PC＋PB＝BC易得PA＝PC，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点P在AC的垂直平分线上，进而得出结论．

4．【答案】B

【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：连接，

∵的垂直平分线交于M交于E，的垂直平分线交于点N，交于点F，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴是等边三角形，

∴，

∴，

∵，

∴．

故答案为：B．

【分析】连接，根据垂直平分线的性质可得，再证明是等边三角形，可得，再结合，可得。

5．【答案】C

【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）

【解析】【解答】解：由折叠的性质知，，

∵，

∴，

∴，

∴．

故答案为：C．

【分析】由折叠的性质知，，由，得出，代入求解即可。

6．【答案】D

【知识点】平行线的性质；含30°角的直角三角形；等腰直角三角形

【解析】【解答】解：∵，∠A=30°，∠F=45°

∴∠ACB=60°，∠EDF=45°

∵BE∥DF

∴∠ACB=∠CDF=60°

∴∠CDE=∠CDF-∠EDF=15°.

故答案为：D.

【分析】根据，∠A=30°，∠F=45°，得到∠ACB=60°，∠EDF=45°，利用BE∥DF，得到∠CDF=60°，因此可以算出∠CDE=15°.

7．【答案】B

【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质

【解析】【解答】解：如图所示，在上取一点E使得，连接，则，

∵是的高，

∴是的垂直平分线，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

故答案为：B.

【分析】在上取一点E使得，连接，利用线段垂直平分线的性质可得AE=AB，利用等边对等角可得，由三角形外角的性质可得∠AEB=∠C+∠CAE，结合∠B=2∠C可得，利用等角对等边可得，即得.

8．【答案】B

【知识点】三角形内角和定理；角平分线的判定

【解析】【解答】解：∵∠BPC=130°，

∴∠PBC+∠PCB=180°-130°=50°，

∵PD⊥AB，PF⊥BC，且PD=PF，

∴BP平分∠ABC，

∴∠ABC=2∠PBC，

同理∠ACB=2∠PCB，

∴∠ABC+∠ACB=2∠PBC+2∠PCB=2（∠PBC+∠PCB）=100°，

∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-100°=80°.

故答案为：B.

【分析】首先根据三角形的内角和定理算出∠PBC+∠PCB=50°，然后根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上可得BP平分∠ABC，则∠ABC=2∠PBC，同理∠ACB=2∠PCB，进而推出∠ABC+∠ACB=100°，最后再根据三角形的内角和定理可算出∠A的度数.

9．【答案】B

【知识点】三角形的外角性质；等腰直角三角形

【解析】【解答】解：如图，延长AP交格点于点D，连接BD

则PD2=BD2=12+22=5，PB2=12+32=10

，则三角形PDB为等腰直角三角形

故答案为：B

【分析】延长AP交格点于点D，连接BD，根据勾股定理得PD2=BD2=5，PB2=10，则三角形PDB为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质和三角形外角性质即可求出答案。

10．【答案】B

【知识点】轴对称的应用-最短距离问题

【解析】【解答】解：如图，作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，

则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，

∵∠BAD＝120°，

∴∠HAA′＝60°，

∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°，

∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，

且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN，

∠NAD＋∠A″＝∠ANM，

∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×60°＝120°．

故答案为：B．

【分析】作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，再利用角的运算和等量代换可得∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×60°＝120°。

11．【答案】50或130

【知识点】三角形内角和定理；数学思想

【解析】【解答】解：①当为锐角三角形时可以画出图①，

高与右边腰成40°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为50°；

②当为钝角三角形时可画图为图②，

此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°，

由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为50°，所以三角形的顶角为130°；

故填50°或130°．

【分析】首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为50°．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为130°．

12．【答案】65°

【知识点】轴对称的性质

【解析】【解答】解：∵一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中∠BAD=150°，∠B=40°，∴∠D=40°，∴∠BCD=360°-150°-40°-40°=130°.∴∠ACD=∠BCD=65°.

故答案为：65°.

【分析】根据轴对称图形的性质得出∠D=40°，进而根据四边形的内角和得出∠BCD的度数，最后再根据轴对称图形的性质由∠ACD=∠BCD即可得出答案.

13．【答案】2

【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【解答】解：如图，在上截取，

因为，

所以直线是线段的垂直平分线，

所以，

所以，

因为，

所以，

因为，

所以，

所以.

故答案为：2.

【分析】在AD上截取EF=DE，由线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得CF=CD，由等边对等角可得∠D=∠CFD，由等角的补角相等可得∠AFC=∠B，结合已知用角角边可证△BAC≌△FAC，则AF=AB，再根据线段的构成EF=DE=AE-AF=AE-AB可求解.

14．【答案】2.4

【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【解答】解：如解图，延长到点G，使，

∵为边的中线，

∴

∵，

∴

∴，

∵

∴

∴

∵，

∴

∴.

故答案为：2.4.

【分析】延长到点G，使，证明，可得，，利用等量代换可得BG=BE=AC=4，易求，可推出AF=EF，再利用CF=AC-AF即可求解.

15．【答案】126

【知识点】点的坐标；一次函数的图象；探索图形规律

【解析】【解答】解：由题意可得OA=OA1=2，

∴OB1=OA1=2，B1B2=B1A2=4，B2A3=B2B3=8，

∴B1（2，0），B2（6，0），B3（14，0）……

∴Bn的横坐标为2n+1-2，

∴B6的横坐标为27-2=126.

故答案为：126.

【分析】由题意易得B1（2，0），B2（6，0），B3（14，0）……推出Bn的横坐标为2n+1-2，据此解答.

16．【答案】（1）解：①点D如图所示，

②点E如图所示；

（2）8

【知识点】三角形的面积；全等三角形的应用；角平分线的性质

【解析】【解答】解：（2）∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∴∠BED＝∠C，

又∠DBE＝∠DBC，BD＝BD，

∴△DBE≌△DBC，∴BE＝BC，ED＝CD，

∵BC＝

∴BE＝8

∴AD+DE+AE＝AD+CD+（AB-BE）＝6+（10-8）＝8

即△ADE的周长为8。

【分析】（1）D到CB，AB的距离相等，那么D一定在∠ABC的角平分线。故作∠ABC的角平分线交AC于D即可。

（2）根据角平分线的性质可知DE＝CD，可求出△ADE的周长。

17．【答案】（1）5

（2）解：由题意可知A、C、E三点在同一条直线上，

由作法知：，，米，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

即他们的做法是正确的．

【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定

【解析】【解答】解：（1）由题意得河流的宽度为5m，

故答案为：5

【分析】（1）直接根据题意即可求解；

（2）先根据作法即可得到，，米，进而得到，再根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而即可求解。

18．【答案】（1）解：如图所示△A1B1C1就是所求的三角形；

（2）解：根据对称性可知AP=A1P，

∴AP+CP=A1P+CP，

根据两点之间线段最短，可知连接CA1，与x轴相交于点P，点P即为所求；

设直线CA1的函数解析式为：．

把，代入得：，

解得：，

∴直线CA1的函数解析式为：，

把代入得：，解得：，

∴．

（3）解：．

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；几何图形的面积计算-割补法

【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及轴对称的性质，分别作出点A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1，再连接A1B1、B1C1、A1C1即可；

（2）根据对称性可知AP=A1P，则AP+CP=A1P+CP，根据两点之间线段最短，可知连接CA1，与x轴相交于点P，点P即为所求；利用待定系数法求出直线CA1的解析式，再令所求解析式中的y=0算出对应的x的值，即可得出点P的坐标；

（3）利用割补法，用△ABC外接矩形的面积分别减去周围三个直角三角形的面积即可求出△ABC的面积.

19．【答案】（1）证明：，

，

，

在和中，

，

（2）

（3）证明：延长到点，使，连接，

，

，

在和中，

，

，

，，

∵，

，，，

，，

，

在和中，

，

，

，

，

．

【知识点】全等三角形的应用

【解析】【解答】解：（2）数量关系：。

证明：由（1）可知△BAC≌△DAE，∴∠ACB＝∠AED，BC＝DE，

∵∠ACE+∠AED＝90°，∴∠ACE+∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°，

在直角三角形BCD中，

∴

【分析】（1）结合已知条件，运用SAS可证明结论。

（2）考查△BCD的形状，运用勾股定理可证明结论。

（3）延长CF到G点，使BF＝GF，连接AG，证明△AFB≌△AFG，△CGA≌△CDA，可推导出结论。

20．【答案】（1）证明：由旋转的性质可得，

∵，

∴，即，

又∵，

∴，，

∴，

∴，

∴平分；

（2）解：补全图形如下所示，，理由如下：

如图所示，在上取一点M，使得，连接，

∵，

∴，

由（1）知，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴

∴．

【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB，再根据△ABE≌△ACD，得出∠ABE=∠ACB，从而得出结论；

（2）首先根据题意补全图形，在AB上取一点M，使得BM=CG，连接EM，证明△EBM≌△DCG，得出EM=DG，然后再证明△EMF是等腰三角形，得出EF=EF，从而得到结论EF=DG。

21．【答案】（1）解：，，

，

平分，

，

，

，

，

；

（2）证明：，

，

，

，

，

，

，

即：与互余．

【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；等腰三角形的性质

【解析】【分析】本题考查三角形内角计算和平行线的判定应用。结合角平分线，计算角度时，要注意三角形内角和180°这个隐含条件。

22．【答案】（1）解：∵，都是的角平分线，

∴，，

∴，

∵，

，

∴

∴；

（2）解：∵，都是的高，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴．

（3）解：，理由如下：

∵，

∴，

∴．

∵，，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴．

【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的定义

【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义及角的运算求出，再利用三角形的内角和求出即可；

（2）先求出，再结合，求出即可；

（3）先利用角的运算和等量代换求出，再结合，，再求出，结合，可得，最后求出即可.

23．【答案】（1）解：直线，直线，

，

，

，

，

，

，

.

点与点关于直线对称，

，直线，

同(1)可得，

，，

，

.

（2）解：直线，直线，

，

，

，

，

，

点与点关于直线对称，，

，，

，

，，

，

与全等，

，

当时，，

，

，

(舍去)；

当时，

，

，

；

当时，

，

，

；

当时，

，

，

；

t=3.5或5或6.5.

【知识点】全等三角形的应用；三角形-动点问题

【解析】【分析】(1)本题考查的是一线三垂直三角形全等模型，通过同角的余角得到对应角相等，进而证明两个三角形全等.

根据轴对称的性质可知直线l垂直平分BF，进而可得(1)中的全等，再利用全等三角形的性质与线段的和差得到所求的等量关系.

(2)根据全等的性质可知CM、CN线段，再对点N进行分类讨论计算时间.

1/1沪科版数学八年级上册第15章轴对称图形章末过关检测卷

一、选择题（每题4分，共40分）

1．（2022八上·宝应期中）下列图案中，是轴对称图形的是（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【知识点】轴对称图形

【解析】【解答】解：根据轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形.据此判断A选项中的图形是轴对称图形；B、C、D选项中的图形不是轴对称图形.

故答案为：A.

【分析】此题根据轴对称图形的概念判断即可.

2．（2022八上·北京月考）等腰三角形的一个外角是70°，则它的顶角的度数为（）

A．70°B．70°或40°C．110°D．110°或40°

【答案】C

【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质

【解析】【解答】解：①当角为顶角的外角时，顶角为；

②当为底角的外角时，底角为，

顶角为，不符合题．

故答案为：C．

【分析】分两种情况：①当角为顶角的外角时，②当为底角的外角时，再分别求解即可。

3．（2023八上·鄞州期末）如图，△ABC中，AB＜AC＜BC，如果要使用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA＋PB＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线

【解析】【解答】解：解：∵PA＋PB＝BC，而PC＋PB＝BC，

∴PA＝PC，

∴点P在AC的垂直平分线上，

故点P为AC的垂直平分线与BC的交点，

根据作图痕迹，A选项中满足AB=BP，B选项作的是AC的垂直平分线，C选项作的是AB的垂直平分线，D选项满足AC=PC，

∴A、C、D都不符合题意，只有B选项符合题意.

故答案为：B.

【分析】由PA＋PB＝BC和PC＋PB＝BC易得PA＝PC，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点P在AC的垂直平分线上，进而得出结论．

4．（2022八上·右玉期末）已知，如图，中，，，，的垂直平分线交于点M，交于点E，的垂直平分线交于点N，交于点F，则的长为（）

A．3cmB．4cmC．6cmD．12cm

【答案】B

【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：连接，

∵的垂直平分线交于M交于E，的垂直平分线交于点N，交于点F，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴是等边三角形，

∴，

∴，

∵，

∴．

故答案为：B．

【分析】连接，根据垂直平分线的性质可得，再证明是等边三角形，可得，再结合，可得。

5．（2022八上·铁锋期中）如图，将纸片沿折叠，点A落在点F处，已知，则的度数等于（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）

【解析】【解答】解：由折叠的性质知，，

∵，

∴，

∴，

∴．

故答案为：C．

【分析】由折叠的性质知，，由，得出，代入求解即可。

6．一副直角三角板按如图所示的方式放置，点E在边BC的延长线上，，，则的度数为（）

A．30°B．25°C．20°D．15°

【答案】D

【知识点】平行线的性质；含30°角的直角三角形；等腰直角三角形

【解析】【解答】解：∵，∠A=30°，∠F=45°

∴∠ACB=60°，∠EDF=45°

∵BE∥DF

∴∠ACB=∠CDF=60°

∴∠CDE=∠CDF-∠EDF=15°.

故答案为：D.

【分析】根据，∠A=30°，∠F=45°，得到∠ACB=60°，∠EDF=45°，利用BE∥DF，得到∠CDF=60°，因此可以算出∠CDE=15°.

7．（2023八上·南宁期末）如图，中，是高，，则长为（）

A．4B．5C．6D．7

【答案】B

【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质

【解析】【解答】解：如图所示，在上取一点E使得，连接，则，

∵是的高，

∴是的垂直平分线，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

故答案为：B.

【分析】在上取一点E使得，连接，利用线段垂直平分线的性质可得AE=AB，利用等边对等角可得，由三角形外角的性质可得∠AEB=∠C+∠CAE，结合∠B=2∠C可得，利用等角对等边可得，即得.

8．（2023八下·洋县期末）如图，点P是内部的一点，点P到三边的距离，，则的度数为（）

A．65°B．80°C．100°D．70°

【答案】B

【知识点】三角形内角和定理；角平分线的判定

【解析】【解答】解：∵∠BPC=130°，

∴∠PBC+∠PCB=180°-130°=50°，

∵PD⊥AB，PF⊥BC，且PD=PF，

∴BP平分∠ABC，

∴∠ABC=2∠PBC，

同理∠ACB=2∠PCB，

∴∠ABC+∠ACB=2∠PBC+2∠PCB=2（∠PBC+∠PCB）=100°，

∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-100°=80°.

故答案为：B.

【分析】首先根据三角形的内角和定理算出∠PBC+∠PCB=50°，然后根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上可得BP平分∠ABC，则∠ABC=2∠PBC，同理∠ACB=2∠PCB，进而推出∠ABC+∠ACB=100°，最后再根据三角形的内角和定理可算出∠A的度数.

9．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，P是网格线的交点，则∠PAB+∠PBA=（）

A．30°B．45°C．60°D．75°

【答案】B

【知识点】三角形的外角性质；等腰直角三角形

【解析】【解答】解：如图，延长AP交格点于点D，连接BD

则PD2=BD2=12+22=5，PB2=12+32=10

，则三角形PDB为等腰直角三角形

故答案为：B

【分析】延长AP交格点于点D，连接BD，根据勾股定理得PD2=BD2=5，PB2=10，则三角形PDB为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质和三角形外角性质即可求出答案。

10．（2023八上·潮南期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小，则∠AMN＋∠ANM的度数为（）

A．130°B．120°C．110°D．100°

【答案】B

【知识点】轴对称的应用-最短距离问题

【解析】【解答】解：如图，作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，

则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，

∵∠BAD＝120°，

∴∠HAA′＝60°，

∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°，

∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，

且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN，

∠NAD＋∠A″＝∠ANM，

∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×60°＝120°．

故答案为：B．

【分析】作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，再利用角的运算和等量代换可得∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×60°＝120°。

二、填空题（每空5分，共25分）

11．（2023八下·杜尔伯特期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是40°，则该等腰三角形顶角为°．

【答案】50或130

【知识点】三角形内角和定理；数学思想

【解析】【解答】解：①当为锐角三角形时可以画出图①，

高与右边腰成40°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为50°；

②当为钝角三角形时可画图为图②，

此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°，

由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为50°，所以三角形的顶角为130°；

故填50°或130°．

【分析】首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为50°．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为130°．

12．（2023八上·襄城期末）如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中∠BAD=150°，∠B=40°，则∠ACD的度数是°.

【答案】65°

【知识点】轴对称的性质

【解析】【解答】解：∵一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中∠BAD=150°，∠B=40°，∴∠D=40°，∴∠BCD=360°-150°-40°-40°=130°.∴∠ACD=∠BCD=65°.

故答案为：65°.

【分析】根据轴对称图形的性质得出∠D=40°，进而根据四边形的内角和得出∠BCD的度数，最后再根据轴对称图形的性质由∠ACD=∠BCD即可得出答案.

13．（2022八上·綦江期中）如图所示，平分于点E，，那么的长度为.

【答案】2

【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【解答】解：如图，在上截取，

因为，

所以直线是线段的垂直平分线，

所以，

所以，

因为，

所以，

因为，

所以，

所以.

故答案为：2.

【分析】在AD上截取EF=DE，由线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得CF=CD，由等边对等角可得∠D=∠CFD，由等角的补角相等可得∠AFC=∠B，结合已知用角角边可证△BAC≌△FAC，则AF=AB，再根据线段的构成EF=DE=AE-AF=AE-AB可求解.

14．（2023八上·合川期末）如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，，，则的长为.

【答案】2.4

【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【解答】解：如解图，延长到点G，使，

∵为边的中线，

∴

∵，

∴

∴，

∵

∴

∴

∵，

∴

∴.

故答案为：2.4.

【分析】延长到点G，使，证明，可得，，利用等量代换可得BG=BE=AC=4，易求，可推出AF=EF，再利用CF=AC-AF即可求解.

15．（2023八下·龙沙期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，且在直线上，点在轴的正半轴上，，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在轴上，则点的横坐标为．

【答案】126

【知识点】点的坐标；一次函数的图象；探索图形规律

【解析】【解答】解：由题意可得OA=OA1=2，

∴OB1=OA1=2，B1B2=B1A2=4，B2A3=B2B3=8，

∴B1（2，0），B2（6，0），B3（14，0）……

∴Bn的横坐标为2n+1-2，

∴B6的横坐标为27-2=126.

故答案为：126.

【分析】由题意易得B1（2，0），B2（6，0），B3（14，0）……推出Bn的横坐标为2n+1-2，据此解答.

三、综合题（共8题，共85分）

16．（2023七下·芝罘期末）如图，中，．

（1）尺规作图：（要求保留作图痕迹，不写作法）

①在上确定一点D，使D到、的距离相等；

②过点D作，交于点E；

（2）在（1）的条件下，则的周长为．

【答案】（1）解：①点D如图所示，

②点E如图所示；

（2）8

【知识点】三角形的面积；全等三角形的应用；角平分线的性质

【解析】【解答】解：（2）∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∴∠BED＝∠C，

又∠DBE＝∠DBC，BD＝BD，

∴△DBE≌△DBC，∴BE＝BC，ED＝CD，

∵BC＝

∴BE＝8

∴AD+DE+AE＝AD+CD+（AB-BE）＝6+（10-8）＝8

即△ADE的周长为8。

【分析】（1）D到CB，AB的距离相等，那么D一定在∠ABC的角平分线。故作∠ABC的角平分线交AC于D即可。

（2）根据角平分线的性质可知DE＝CD，可求出△ADE的周长。

17．（2023七下·青羊期末）“万里桥西一草堂，百花潭水即沧浪”，杜甫草堂的工作人员打算在A、B两点间建立一座观景桥，由于A、B中间隔着河流无法直接测量，数学兴趣小组想在不用涉水的情况下测量此段河流的宽度（该段河流两岸是平的），他们是这样做的：

①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A为参照点；

②沿河岸直走有一棵树C，继续前行到达D处；

③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；

④测得的长为．

（1）河流的宽度为；

（2）请你证明他们做法的正确性．

【答案】（1）5

（2）解：由题意可知A、C、E三点在同一条直线上，

由作法知：，，米，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

即他们的做法是正确的．

【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定

【解析】【解答】解：（1）由题意得河流的宽度为5m，

故答案为：5

【分析】（1）直接根据题意即可求解；

（2）先根据作法即可得到，，米，进而得到，再根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而即可求解。

18．（2023·柳北模拟）如图，已知的顶点分别为，，．

（1）作出关于x轴对称的图形．

（2）点P在x轴上运动，当的值最小时，求出点P的坐标．

（3）求的面积．

【答案】（1）解：如图所示△A1B1C1就是所求的三角形；

（2）解：根据对称性可知AP=A1P，

∴AP+CP=A1P+CP，

根据两点之间线段最短，可知连接CA1，与x轴相交于点P，点P即为所求；

设直线CA1的函数解析式为：．

把，代入得：，

解得：，

∴直线CA1的函数解析式为：，

把代入得：，解得：，

∴．

（3）解：．

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；几何图形的面积计算-割补法

【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及轴对称的性质，分别作出点A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1，再连接A1B1、B1C1、A1C1即可；

（2）根据对称性可知AP=A1P，则AP+CP=A1P+CP，根据两点之间线段最短，可知连接CA1，与x轴相交于点P，点P即为所求；利用待定系数法求出直线CA1的解析式，再令所求解析式中的y=0算出对应的x的值，即可得出点P的坐标；

（3）利用割补法，用△ABC外接矩形的面积分别减去周围三个直角三角形的面积即可求出△ABC的面积.

19．（2023七下·芝罘期末）如图，和中，点D在上，，，，交的延长线于点F．

（1）求证：；

（2）请直接写出、和之间的数量关系；

（3）求证：．

【答案】（1）证明：，

，

，

在和中，

，

（2）

（3）证明：延长到点，使，连接，

，

，

在和中，

，

，

，，

∵，

，，，

，，

，

在和中，

，

，

，

，

．

【知识点】全等三角形的应用

【解析】【解答】解：（2）数量关系：。

证明：由（1）可知△BAC≌△DAE，∴∠ACB＝∠AED，BC＝DE，

∵∠ACE+∠AED＝90°，∴∠ACE+∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°，

在直角三角形BCD中，

∴

【分析】（1）结合已知条件，运用SAS可证明结论。

（2）考查△BCD的形状，运用勾股定理可证明结论。

（3）延长CF到G点，使BF＝GF，连接AG，证明△AFB≌△AFG，△CGA≌△CDA，可推导出结论。

20．（2023七下·上海市期末）如图，在中，，，点D在边上，以点A为中心，将线