2021-2022学年广西河池市八校高二下学期第一次联考数学(理)试题(解析版)

2021-2022学年广西河池市八校高二下学期第一次联考数学（理）试题一、单选题fx2xsinx在(,)上是（1．函数）A．增函数B．减函数C．先增后减D．不确定【答案】A【分析】利用导数直接判断函数的单调性.fx2xsinx，fx2cosx0在,上恒成立，【详解】∵∴∴fx在上是增函数．,故选：Ayfxxx2．函数在处的导数可表示为y，即（）．xx00fxlimfxB．0xfxA．fxfxxfx00000x0xfxxfxlimfxx0fxC．0D．fx00fx00xx0【答案】C【分析】结合导数定义直接选择即可.y是fx的另一种记法，根据导数的定义可知C正确．xx0【详解】0故选：C1112n1nnN,n1时，第一3．用数学归纳法证明1步应验证不等式23（）11B．111323111D．1A．112C．132342232【答案】BN【分析】根据n,1，应该验证n2的情况，n代入不等式即可求解.11n2时，验证不等式为1【详解】第一步，当2.23故选：B4．曲线ysin在0处的切线的倾斜角是（）xxB．4A．C．D．436【答案】B【分析】求出导函数，即可得到结果.第1页共12页xsin，∴ycosx【详解】∵ycos01，∴yx0∴曲线sinx在x0处的切线的倾斜角是，y4故选：B3x，则5．已知f(x)f(x)ex(,)上单调递增A．在(,1)B．在上单调递减33C．有极大值，无极小值D．有极小值，无极大值ee【答案】C【分析】求出导函数f(x)，根据导函数的正负，导函数的零点判断各选项．3(1x)【详解】由题意()fxx，当1时，f(x)0，f(x)0，时，()递增，fxx1ex3f(1)，函数无极小值．f(1)是函数的极大值，也是最大值f(x)递减，e故选：C．6．已知函数A．（0，1）f（x）=x﹣（e﹣1）lnx，则不等式f（ex）＜1的解集为（）B．（1，+∞）C．（0，e）D．（e，+∞）【答案】A【详解】函数f（x）=x﹣（e﹣1）lnx，11xee﹣1）=可得f′（x）=1﹣（，xxx∈（f′（x）＜e﹣1，+∞）时，f′（x）＞0注意到f（1）=f（e）=1，f（x）＜1的解集为：（1，e），1＜e＜e，不等式f（e）＜1的解集为（0，1）．0，e﹣1）时，0，x∈（不等式xx故选A．点睛：本题考查导函数的函数，判断函数的单调性，注意隐含信息f（1）=f（e）=1，则根据单调＜1的解集为：（1，e），利用整体代换1＜ex＜e，解得x范围即可f(x)的图象可能是应用，函数的最值以及不等式的解法，考查计算能力，求出导性可知f（x）.f(x)的导函数＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则fx7．已知函数（）第2页共12页B．D．C．【答案】D【分析】根据图象由导函数的正负决定原函数的增减可得答案.【详解】当x<0时，由导函数fx＝＋＋<0，知相应的函数f(x)在该区间内单调axbxc2递减；当x>0时，由导函数fx＝＋＋的图象可知，导函数在区间(0，x)内的axbxc21值是大于0的，则在此区间内函数f(x)单调递增，只有D项符合题意.故选：D.8．观察下列各式：ab1,a2b23,a3b34,a4b47,a5b511，…，10照此规律，则ab10的值为B．132A．123C．76D．28【答案】A【详解】通过观察发现,从第三项起,等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数之bb729,a8b847,a9b976,10b10123,故选A.18,a7a和,因此a66fx9．若函数，gx满足fxxgxx21,且f11，则f1g1（）A．1【答案】CB．2C．3D．4【分析】先取x1，得f(1)与g(1)之间的关系，然后根据导数的运算直接求导，代值可得.第3页共12页【详解】取x1，则有110g(1)f(1)1，即1,fg，又因为fxxgxx2fxg(x)xgx2x，所以f1g(1)g12，所以所以f1g12g(1)213.故选：Cn123n2n210．用数学归纳法证明4(nN)，则当1时，等式左边应nk2nk该在的基础上加上（）A．k1B．(k1)2C．(k2)2D．(k21)(k22)(k1)22【答案】D【分析】由=1时，等式左端123nk+k2(k21)(k22)(k1)2可得答案.k2，【详解】当=时，等式左端123nk当nk+=1时，等式左端123k2(k21)(k22)(k1)2，增加了项(k21)(k22)(k1)2．故选：D．xlnxy0,xy20，则11．平面直角坐标系xoy中，已知2111222的最小值为（）2xxyy2121A．1B．2C．2D．4【答案】C【分析】化简已知条件，得到两个函数，利用导数求出切线的斜率，利用两平行线间的距离求解即可.22xlnxy,xy2上两表示的是曲线211xx【详解】根据条件得到yy2122121点的距离的平方.∵yx2lnx，∴y2x1(x0)，由，可得12x1x1，此时1.yxxCyx∴曲线:lnx在(1,1)处的切线方程为y011，即：.xyx212xy0与直线xy20的距离为2，直线2第4页共12页∴xx2的最小值为2.2yy1212故选：C.12．定义在上的函数f(x)的导函数为fxR.若对任意实数，有f(x)fx，且xf(x)2021为奇函数，则不等式f(x)2021ex0的解集是（）A．(,0)B．(0,)1C．,eD．1e,【答案】Bfx【分析】构造函数Fx2021，根据导函数得单调性，利用单调性求解不等式ex的解集．【详解】fx2021为奇函数，则f020210,即f02021，fxfxfx令Fx2021，则Fx0，eexxf020210，e0Fx2021在R上单调递减，F0fx∴exfx又fx2021ex0的解集等价于20210的解集，ex∴FxF0的解集为0,.故选：B.二、填空题13．用反证法证明：存在xR，cosx1，应先假设：________.【答案】任意xR，cosx1【解析】由特称命题的否定可得解.【详解】反证法即为先假设命题的否定成立，及应先假设：任意xR，cosx1.故答案为：任意xR，cosx1.14．若函数fx3xx3在区间a1,a上有最小值，则实数a的取值范围是______.【答案】(1,0)a【解析】先求f(x)的极小值点，f(x)的极小值点在区间(a1,a)上，由此可得的范围．fx【详解】()33x3(x1)(x1)，当x1或x1时，f(x)0，当1x1时，2f(x)0，∴x1是函数()的极小值点．fx∵函数fx3xx3在区间a1,a上有最小值，即为极小值．aa∴11，解得1a0．第5页共12页(1,0)故答案为：．【点睛】本题考查导数与最值的关系．连续函数在(,)的最小值就是极小值，最大值ab[a,b]就是极大值．但在是的最值不一定是极值．15．用数学归纳法证明n＋5n能被6整除的过程中，当n＝k＋1时，式子(k＋1)3＋5(k3＋1)应变形为_______.【答案】(＋5k)＋3k(k＋1)＋6k3【分析】将＝＋nk1代入，分解因式可得(＋5k)＋3k(k＋1)＋6即可.k3【详解】(＋1)3＋5(k＋1)＝＋k1＋3＋3k＋5k＋52kk3＝(k3＋5k)＋3k2＋3k＋6＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.∵k(k＋1)为偶数，∴3k(k＋1)能被6整除，∴(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为(k＋5k)＋3k(k＋1)＋6.3故答案为：(＋5k)＋3k(k＋1)＋6k3fxx36x29x2，给出以下命题：16．已知函数yfx3bx不存在单调递减区间，①若函数则实数b的取值范围是1,；M0,2且与曲线yfx相切的②过点直线有三条；2,0③fx的图象关于点成中心对称；22x④方程的所有实根的和为16.fx其中真命题的序号是___________.【答案】②③yfx()3bx导数y，由题意可知y0解无，根据二次函数的性质可【分析】求出函数得的范围，即可判断①是否正确；by20(x,y)设出切点，根据斜率可得3129，再将代入，解方程求得x20xyfx0000x00切点的横坐标，即可判断②是否正确；由于fxf4x0，所以fx的图象关点2,0成中心对称，所以③是真命题；2()与y的图象都关于点(2,0)成中心对称，作出函数2x再由图象观察它们共有4个交点，根据对称性，即可由对称性可知，函数fx2yfx与函数y的图象，2x求出它们的横坐标值和，即可判断④是否正确．第6页共12页yfx3bxx36x293bx2，所以312x93bx2.若函数y0，解得，1by2设过点M0,2的直线与曲线yfx相切于点x,y，则有3x12x9.又点x00000x,y在曲线yfx上，所以69x2，代入上式，得yx30x200000x33x22x1x13x130，解得1或x13或00x00000M0,2且与曲线yfx相切的直线有x13，所以过点三条，所以②是真命题.0fxf4x0，f4x4x64x94x2x36x29x232，则2,0fx的图象关点成中心对称，所以③是真命题.所以fx3x12x9，又函数()69x2的导数为fxx23x23,；,1fx递增区间为和令fx0解得x3x或1，所以令fx0可得，所以1x3fx递减区间为．1,3，时取得极小值f12x332，又函数2即x1时取得极大值fy的图象2x2,0也关于点成中心对称，22x作出函数yfx与函数y的图象，如图：4个交点，则方程22x22x结合图象可知，函数fx的图象与y的图象有有fx448，所以④是假命题.4个实数根，故所有实数根的和为故答案为：②③.三、解答题17．已知xy0,用分析法证明：【答案】证明见解析xy(2xy)1.第7页共12页【解析】由分析法证明，从待证的结论出发，逐步寻求使得结论成立的条件即可.xy(2xy)1，(xy)22xy10，即(xy1)20.【详解】证明：要证只需证2xy(xy)1，只需证21)0成立，所以因为x,y0，且(xy(2xy)1.xy2【点睛】本题考查了分析法，重点考查了运算能力，属基础题.x，x1是函数的一个极值点.fxfxexa18．已知函数2（1）求a的值；（2）求fx的单调区间.【答案】（1）；（2）单调递减区间为,1和3,，单调递增区间为1,3.a3【解析】(1)求f(x)，由f(1)0求出a的值并经验即可；(2)利用导数法直接求解即可.xfxexaex2xexx22xa，2【详解】解：（1）依题意得，f1e12a0，即a3，经检验a3符合题意.xfxex3，（2）由（1）得2xx3x1，fxexx22x3efx0得，x1，x3，2令1列表：,11,33,3x1fxfx－0＋06－↘2e↗↘e3所以fx的单调递减区间为,1和3,，增区间为1,3.【点睛】易错点睛：本题考查已知函数极值点求参数，该问题应该注意的事项：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以求解后必须验证根的合理性；求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则；如果一个函数具有相第8页共12页同单调性的单调区间不止一个，不能用“”连接，只能用“，”或“和”字隔开.fxa19．已知函()xx1(0a1)．x(1,)（1）用导数法证明()在上为减函数；fx（2）用反证法证明方程()0没有负数根．fx【答案】（见解析；（见解析．1）证明2）证明x1,，判断函数导数的并根据，以及0a1【分析】（1）首先求函数的导数，正xx10fx0，则ax0负，即可证明；（2）首先假设命题的否定，假设存在x0满足，000利用等号两边函数的值域，推得矛盾.x1x1f(x)axlna(x1)2axlna【详解】（1）由题可知．(x1)210a1，lna0，lnaa0．x(x1)2f(x)0(1,)(1,)在恒成立，即f(x)在上为减函数．fx0，（2）假设存在x0满足00x则ax0．0x10x由ax01可得1，0x10即12x1，这与假设x0矛盾，00故方程()0没有负数根．fx【点睛】本题结合导数，考查反证法，本题第一问的关键是正确求得函数的导数，第二问的关键是假设命题的否定后，知道如何推得矛盾.f(x)x2(xa)．切线斜率为，k若k1，求实数a（1）当x(0,1)时，函数()的图像上任意一点处的20．已知函数fx的取值范围；a2，求曲线yf(x)过点Q(1,f(1))的切线方程．（2）若x15,3【答案】（1）；（2）＝﹣或yxy44【分析】（1）利用导数的2）设点写切线，代入点几何意义转化为恒成立问题；（Q(1,f(1))即得．【详解】（1）函数（）＝（﹣）的导数为fxxxa2′（）＝x2（﹣）+＝3﹣2ax，fxxaxx22由题意可得当x∈（0，1）时，3x2﹣2ax≥﹣1恒成立，第9页共12页13x23x123，1即有2a3，由xxxx133即有＝∈（0，1）时，取得等号．x当且仅当xx3,323,则3即有的取值范围是2a即有aa（2）函数（）＝（+2）的导数为′（）＝fxxxxxfxxxx2（+2）+＝3+4，222mn设切点为（，），则＝+2，nmm32（）在x＝m处的斜率为3+4，fxmm2即有切线方程为﹣＝（3+4）（﹣），ynmmxm2代入Q（﹣1，1），可得1﹣﹣2m＝（3+4）（﹣1﹣m），mmm322整理可得（m+1）（22+1）＝0，m1解得＝﹣1或，m25(x1)，方程为﹣1＝﹣（x+1）或y41即有所求切线的y即为＝y﹣x或y5x14.411(aR,a21．已知函数()fx2xa(1)lnx0)．22（1）讨论函数的单调性；x[1,)，都有f(x)0成立，求（2）若对任意的a的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）a0.【分析】（f'x，分别讨论1）求a不同范围下f'x的正负，分别求单调性；（2）由（1）所求的单调性，结合f10，分别求出a的范围再求并集即可.1）由已知定义域为0,【详解】解：（a1x12a，'()fxxxx，即a1时，f'x00,上单调递增；当a10恒成立，则fx在0,a1上单时，xa1（舍）或xa1，所以fx在当a10，即a1a1,上单调递增.调递减，在0,上单调所以a1时，fx在递增；0,a1递减，在a1,上单调递增.fx在上单调（2）由（1）可知，当a1时，a1时，()0fx对任意的x[1,)fx在1,上单调递增，若恒成立，只需f(1)0，而f(1)0恒成立，所以a1成立；第10页共12页1,上单调递增，又(1)0，所0，则fx在fa1当时，若a11，即1a0成立；1a以1,上单调递增，又若0，则a1,1fx在a上单调递减，在af(1)0，所x1,a1f(x)f10，不满足f(x)0对任意的x[1,)恒成立，0以.0所以综上所述：.a022．已知函数cosx1．fxexf0,0处的切线方程；yfx(1)求曲线在点0,(2)证明：在上存在最大值和最小值．fx【答案】(1