简单几何体结构特征

知识梳理：1、柱、锥、台、球的结构特征棱柱：定义：有两个面互相 ，其余各面都是 ，且每相邻的两个四边形的公共边都 ，由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各顶点字母，如五棱柱ABCDE-ABCDE特征：两底面是对应边平行的 ；侧面、对角面都是平行四边形,侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。棱锥:定义：有一个面是 ，其余各面都是有一个公共顶点的 ，由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥P-ABCDE特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面 ，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。棱台：定义：用一个 的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台P-A'BCD'E'特征：①上下底面是 平行多边形②侧面是 ,侧棱交于原棱锥的顶点圆柱：定义：以 的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体.特征：①底面是 ;②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；侧面展开图是一个 。圆锥：定义：以 的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体.特征：①底面是一个____；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个 。圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分辅导专用:简单几何体的结构特征判断台体的方法：Q两底面平行；Q侧棱延长线交于一点。特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。（7）球体：定义：以 所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。厂圆柱柱悴*..厂圆柱柱悴*..棱柱多面体v播锥I棧台锥体一三發锥简单几何悴台郎三覆台五矗旋转体园锥画台球体台郎三覆台五矗旋转体园锥画台球体特殊的棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱称为 ；垂直于底面的棱柱称为直棱柱；底面是正多边形的直棱柱是 ；底面是矩形的直棱柱叫做长方体；棱长都相等的长方体叫做正方体； 四棱柱、平行六面体、直平行六面体、长方体、正四棱柱、正方体的关系特殊的棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形，那么这样的棱锥称为 ；侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为 ；特殊的棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台；柱体、台体、椎体之间的转化：棱柱 棱台* ・棱锥蝌I圆柱于 ・圆台忒 •圆锥2、空间几何体的三视图定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）；俯视图（从上向下）；正视图反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体的高度和宽度。

常见几何体的三视图：1、 圆柱的正视图和侧视图是全等的矩形，俯视图为圆；2、 圆锥的正视图和侧视图是三角形，俯视图为圆和圆心；3、 圆台的正视图和侧视图都是等腰梯形，俯视图为两个同心圆;4、 球的三视图都是圆.注:1、 三视图的排列方法是侧视图在正视图的右边；俯视图在正视图的下面；2、 一个几何体的侧视图和正视图高度一样，俯视图和正视图的长度一样，侧视图和俯视图的宽度一样，即：长对正，高平齐，宽相等.规律方法指导:1根据几何体特征的描述判断几何体形状根据几何体的结构特点判断几何体的类型，首先要熟练掌握各类几何体的概念，把握好各类几何体的性质，其次要有一定的空间想象能力.圆柱、圆锥、圆台可以看做是分别以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而成的曲面所围成的几何体.其轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形，这些轴截面集中反映了旋转体的各主要元素，处理旋转体的有关问题一般要作出轴截面.2.几何体中的计算问题几何体的有关计算中要注意下列方法与技巧：在正棱锥中，要掌握正棱锥的高、侧面等腰三角形中的斜高及高与侧棱所构成的两个直角三角形，有关证明及运算往往与两者相关.正四棱台中要掌握其对角面与侧面两个等腰梯形中关于上、下底及梯形高的计算，有关问题往往要转化到这两个等腰梯形中.另外要能够将正四棱台、正三棱台中的高与其斜高、侧棱在合适的平面图形中联系起来.研究圆柱、圆锥、圆台等问题的主要方法是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中，易找到所需有关元素之间的位置、数量关系.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开是把立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段之一.圆台问题有时需要还原为圆锥问题来解决.关于球的问题中的计算，常作球的一个大圆，化"球"为"圆"，应用平面几何的有关知识解决；关于球与多面体的切接问题，要恰当地选取截面，化"空间"为平面.

思路点拨：判断一个几何体是哪几种几何体，一定要紧扣住柱、锥、台、球的思路点拨：判断一个几何体是哪几种几何体，一定要紧扣住柱、锥、台、球的结构特征,注意定义中的特殊字眼.棱柱的结构特征有三方面：有两个面互相平行；其余各面是平行四边形；这些平行四边形中，相邻两个面的公共边都互相平行.当一个几何体同时满足这三方面的结构特征时，这个几何体才是棱柱.解析：不正确.如图所示的几何体是由两个底面相等的四棱柱组合而成，它有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，但是显然它不是棱柱.【变式1】如果一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥.这种说法是否正确？如果正确说明理由；如果不正确，举出反例.解析：不正确.如图所示的几何体由两个底面相等的四棱锥组合而成，它有一个面是四边形，其余各面都是三角形，但是该几何体不是棱锥.。2、描述下列几何体的结构特征，并说出它的名称.（1）由7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其它面都是全等的矩形；（2）如图，一个圆环面绕着过圆心的直线（旋转180".解析：（1）特征：侧面都是全等的矩形，底面是五边形，几何体为正五棱柱；（2）由两个同心的大球和小球，大球里去掉小球后剩下的部分.类型二：基本计算繆3、若三棱锥的底面为正三角形，侧面为等腰三角形，侧棱长为2,底面周长为9,辅导专用:求棱锥的高.解析底面正三角形中’边长为3'高为皿g芋,心到顶点距离为^^乂|=需，贝y棱锥的高为J护-“尸二1•0辅导专用:求棱锥的高.解析底面正三角形中’边长为3'高为皿g芋,心到顶点距离为^^乂|=需，贝y棱锥的高为J护-“尸二1•04、用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1:16，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆台的母线长.解析：设圆台的母线为f，截得圆台的上、下底面半径分别为r，4r.根据相似三角形的性质得， ，解得2二9.J+/4r所以，圆台的母线长为9cm.总结升华：用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质（与底面

全等或相似），同时结合旋转体中的轴截面（经过轴的截面）的几何性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而解得.05、圆锥底面半径为1cm,高为运c唧，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.解析:过圆锥的顶点S和正方体底面的一条对角线CD作圆锥的截面，得圆锥的轴截面SEF,正方体对角面CDg，如图所示.设正方体棱长为x,则口硏》口。严庞'作SO丄EF于0,则£0=庞，0E=1,J△ECqsAEOS,•―号心即内接正方体棱长为当郴.总结升华：此题也可以利用厶SCDs^SEF而求•两个几何体相接、相切的问题，关键在于发现一些截面之间的图形关系•常常是通过分析几个轴截面组合的平面图形中的一些相似利用相似比列出方程而求.注意截面图形中各线段长度的计算•类型三：由几何体画三视图06、画出下列各几何体的三视图：解析：这两个几何体的三视图如下图所示.总结升华：画三视图之前，先把几何体的结构弄清楚，确定一个正前方，从三个不同的角度进行观察•在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分用虚线表示出来，绘制三视图，就是由客观存在的几何物体，从观察的角度，得到反应物体形象的几何学知识.类型四：由三视图到立体图形C>7、画出下列三视图所表示的几何体.解析：先画几