第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第1节　函数及其表示

第二章

函数概念与基本初等函数Ⅰ第1节 函数及其表示考试要求1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法

(如图象法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段).知识诊断基础夯实内容容索索引引考点突破题型剖析分层训练巩固提升内容索引知识诊断

基础夯实ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI11.函数与映射的概念知识梳理函数映射两个集合A，B设A，B是两个非空数集设A，B是两个非空集合如果按照某种确定的对应关系f，如果按某一个确定的对应关系f，对应关系f：使对于集合A中的任意

一个数x，使对于集合A中的任意一个元素x，A→B在集合B中都有唯一确定

的数在集合B中都有唯一确定的元素yf(x)和它对应与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法函数y＝f(x)，x∈A映射：f：A→B索引2.函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的

定义域

；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的

值域

.如果两个函数的定义域相同，并且

对_应_关系

完全一致，则这两个函数为相等函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有

解析法

、图象法和列表法.索引分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的

并集

.索引函数是特殊的映射，是定义在非空数集上的映射.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1交点.注意以下几个特殊函数的定义域分式型函数，分母不为零的实数集合.偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}.常用结论索引1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝1与y＝x0是同一函数.×(×(

)诊断自测(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.(×

)××解析

(1)错误.函数y＝1的定义域为R，而y＝x0的定义域为{x|x≠0}，其定义域不同，故不是同一函数.(2)错误.值域C⊆B，不一定有C＝B.(4)错误.若两个函数的定义域、对应关系均相同时，才是相等函数.索引2.若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(B

)索引解析

A中函数定义域不是[－2，2]；C中图象不表示函数；D中函数值域不是[0，2].D索引(0，＋∞)所以函数的定义域为(0，＋∞).索引∴f(t)＝t2－1，∴f(x)＝x2－1(x≥0).x2－1(x≥0)索引(0，1)∪[2，＋∞)解析

当x≤1时，f(x)＝x2＋2，∴f(x)∈[2，＋∞)，综上，f(x)的值域为(0，1)∪[2，＋∞).索引考点突破 题型剖析KAODIANTUPOTIXINGPOUXI2考点一 函数的定义域索引A.(2，＋∞)C.(－1，2)B.(－1，2)∪(2，＋∞)D.(－1，2]C索引解析

∵f(x)的定义域为[－8，1]，C索引B.(－1，0]D.[－1，0]A.(－1，0)C.[－1，0)解析

由题意0≤x≤1，∴－1≤2x－1≤1，A索引1.求给定解析式的函数定义域的方法求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际

问题有意义.2.求抽象函数定义域的方法若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上值域.感悟提升索引考点二 求函数解析式例1

求下列函数的解析式：(1)已知f(1－sinx)＝cos2x，求f(x)的解析式；解

(换元法)设1－sin

x＝t，t∈[0，2]，则sin

x＝1－t.∵f(1－sin

x)＝cos2x＝1－sin2x，∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2].即f(x)＝2x－x2，x∈[0，2].索引∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞).索引(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；解

(待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17，即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.索引(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式.解

(构造法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②由①×2－②，得f(x)＝3x.索引求函数解析式的常用方法待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.换元法：已知复合函数f[g(x)]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式.感悟提升索引x2－2，x∈[2，＋∞)∴f(x)＝x2－2，x∈[2，＋∞).索引(3)(2022·唐山模拟)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则＝

.解析

设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)且f(0)＝c＝2，∴f(x)＝ax2＋bx＋2(a≠0)，∴f(x＋1)－f(x)＝2ax＋a＋b＝x－1，索引角度1 分段函数的求值考点三 分段函数－12解析

(1)∵f(0)＝2－0＝1，f(－3)＝log2(1＋3)＝2，∴f(0)－f(－3)＝－1.(2)∵f(2)＝a2＝4，∴a＝2.又f(x)＝f(x＋8)(x<0)，∴f(－2

023)＝f(－253×8＋1)＝f(1)＝2.索引角度2 分段函数与方程2索引log23索引角度3 分段函数与不等式C解析

当x≤0时，x＋1≤1，f(x)<f(x＋1)，当0<x≤1时，x＋1>1，此时f(x)＝x2－1≤0，f(x＋1)＝log2(x＋1)>0，索引∴0<x≤1时，恒有f(x)<f(x＋1)；当x>1时，f(x)<f(x＋1)⇔log2x<log2(x＋1)恒成立，索引根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.提醒当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.

3.对于分段函数的不等式问题要分段解决.感悟提升索引A.定义域为RC.在R上为增函数B.值域为(－3，＋∞)D.只有一个零点B索引A.[－2，1]B.[－3，3]C.[－2，2]D.[－2，3]D索引∴当x>0时，2x－1≤5，解得0<x≤3，综上，不等式f(x)≤5的解集为[－2，3].索引函数的值域微点突破求函数值域的一般方法：(1)单调性法；(2)不等式法；(3)配方法；(4)换元法；(5)数形结合法；(6)分离常数法；(7)导数法.索引CA.2

023B.2

024C.4

045D.4

046索引所以f(x)在[－a，a]上递增，故最大值为f(a)，最小值为f(－a)，索引二、不等式法主要是指运用基本不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法.常用的基本不等式有以下几种：a2＋b2≥2ab(a，b为实数)；索引3又x，z为正实数，所以由基本不等式，索引三、配方法索引配方法是求二次函数最值的基本方法，如函数F(x)＝af2(x)＋bf(x)＋c的最值问题，可以考虑用配方法.例3

已知函数y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，a≠0)，求函数y的最小值.解

y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2＝(ex＋e－x)2－2a(ex＋e－x)＋2a2－2.令t＝ex＋e－x(t≥2)，设f(t)＝t2－2at＋2a2－2.因为t≥2，所以f(t)＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2，定义域为[2，＋∞).因为函数y＝f(t)图象的对称轴为直线t＝a，所以当a≤2且a≠0时，ymin＝f(2)＝2(a－1)2；当a>2时，ymin＝f(a)＝a2－2.索引四、换元法换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式去

灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从而求出原函数的最值.索引2所以x＝1－t2，所以当t＝1，即x＝0时，f(x)max＝2.索引解析

由4－x2≥0，得－2≤x≤2，所以设x＝2cos

θ(θ∈[0，π])，索引五、数形结合法数形结合法，是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图象求函数最值的一种常用的方法.索引解析

由|x＋1|≥|x－2|，得(x＋1)2≥(x－2)2.其图象如图所示.索引六、分离常数法故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞).索引七、导数法例7

已知f(x)＝2x－lnx，求f(x)的值域.解

f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴函数f(x)的值域为[1＋ln

2，＋∞).索引3

分层训练 巩固提升FENCENGXUNLIAN

GONGGUTISHENG1.如图是张大爷晨练时离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象.若用黑A级基础巩固点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是(

D)索引12345678910111213141516解析

由y与x的关系知，在中间时间段y值不变，只有D符合题意.2.下列所给图象是函数图象的个数为(

B

)A.1

B.2

C.3

D.4解析

图象①关于x轴对称，x>0时，每一个x对应2个y，图象②中x0对应2个y，所以①②均不是函数图象；图象③④是函数图象.索引12345678910111213141516解析

∵f(8)＝1－log28＝1－3＝－2，C索引12345678910111213141516C索引12345678910111213141516C索引12345678910111213141516D.(0，1]BA.[0，1]

B.(0，1)

C.[0，1)解析

由函数f(x)的定义域为[－1，1]，令－1≤2x－1≤1，解得0≤x≤1.又由1－x>0且1－x≠1，解得x<1且x≠0，所以函数g(x)的定义域为(0，1).索引12345678910111213141516解析

令t＝2x，t∈(1，4)，B因此[g(t)]∈{－1，0，1}，则函数y＝[f(x)]的值域为{－1，0，1}.索引12345678910111213141516B.(2，＋∞)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)A.(1，＋∞)C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析

当a＝0时，显然不成立.当a>0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0等价于a2－2a>0，解得a>2.当a<0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0等价于－a2－2a<0，解得a<－2.综上所述，实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞).D索引12345678910111213141516解析

要使函数f(x)有意义，(0，1]∴f(x)的定义域为(0，1].索引12345678910111213141516解析

由f(a)>1，得(－2，0)∪(0，＋∞)由①②知－2<a<0或a>0.索引12345678910111213141516索引12345678910111213141516①④索引1234567891011121314151