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文档简介

简谐运动位移公式推导问题:质量为m的系于一端固定的轻弹簧(弹簧质量可不计)的自由端。如图(a)所示,将物体略向右移,在弹簧力作用下,若接触面光滑,m物体将作往复运动,试求位移x与时间t的函数关系式。图(a)分析:m物体在弹力F的作用下运动,显然位移X与弹力F有关,进而由弹簧联想起胡克定律,但结果只有位移与时间,故要把弹力F替换成关于X与t的量,再求解该微分方程。推导:取物体平衡位置O为坐标原点,物体运动轨迹为X轴,向右为正。设弹力为F,由胡克定律' 八',K为劲度系数,负号表示力与位移方向相反。dvd2^Fk根据牛顿第二定律,m物体加速度a=让1二让广=Hl=・HlX(1)k可令"尸 (2)■・・■・・■・・・・・・・・・・・・・・・・・・■・・■・・■・・■・・・・・・・・・・・・・・・■・・■・・■・・■・・■・・・・・・・・・・・・・・・■・・■・・■・・■・・・・・・、*代入(a),得显然,想求出位移X与时间t的函数关系式,须解出此微分方程%2 k①求解:对于ML X=0 ,即X''+QX=0(4)(4)式属可将阶的二阶微分方程,若设X'=u,消去t,就要把把x”转化为关于X与t的函数,那么dXndudxduX'=dt==udxdu du2 2 ——(a)u心+①X=0,u〔X X面分离变量再求解微分方程,然后两边积分,得dxu二x',x'=\Cl 门厂工J=dl⑹I■11■11■■11■11■■■■■■■■■■■■■■■■11■■11■11I■I■■■■■■■■■■■■■■■■■11■11I■I■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■11I■II■I■■■■■■■■■■' *dx再次分离变量, —⑴上=dt(7)两边积分,右边=t,但左边较为复杂,经过仔细思考,笔者给出一种求解方法: COSZ运用三角代换,令X二⑴dcosz-sinzdzdz⑺式左边化为⑴汕】/=⑴汕"=-⑴,两边积分,得"=t+C2由此可得,X= t+c/2),即 X=A(e%(⑺t+0) (其中 A,屮皆为常数此方程即为简谐运动方程若W=0,X-t为余弦曲线,如图(b)所示验证:通过高频照相机拍摄后发现m的轨迹为周期摆动的简谐

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