高中数学第2章直线和圆的方程2.1.2两条直线平行和垂直的判定课件新人教版选修1

2.1.2

两条直线平行和垂直的判定课前·基础认知课堂·重难突破素养·目标定位随堂训练素养•目标定位目标素养1.理解两条直线平行或垂直的条件.2.能根据斜率判定两条直线平行或垂直,提升数学抽象和逻辑推理等素养.3.能利用两条直线平行或垂直的条件解决有关问题,提升数学运算的素养.知识概览课前·基础认知1.两条直线平行的判定(1)对于斜率分别为k1,k2的两条直线l1,l2,有l1∥l2⇔

k1=k2

.

(2)当α1=α2=90°时,直线l1和l2的斜率不存在,此时

l1∥l2

.(3)若直线l1,l2重合,此时仍然有

k1=k2

.用斜率证明三点共线时,常常用到这个结论.

微思考

两条不同的直线平行的充要条件是它们的斜率相等,对吗?提示:不对.对于两条不同的直线,如果它们的斜率相等,则它们一定平行,但当它们平行时,其斜率不一定相等,因为它们的斜率有可能都不存在.2.两条直线垂直的判定(1)设两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,则直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,k1),b=(1,k2),于是l1⊥l2⇔a⊥b⇔a·b=0⇔1×1+k1k2=0,即k1k2=

-1

,也就是说l1⊥l2⇔

k1k2=-1

.

(2)当直线l1或l2的倾斜角为90°时,若l1⊥l2,则另一条直线的倾斜角为

0°

;反之亦然.

(3)如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于

-1

;反之,如果两条直线的斜率之积等于-1,那么它们互相

垂直

,即l1⊥l2⇔

k1k2=-1

.

微训练

如果直线l1的斜率为a,l1⊥l2,则直线l2的斜率为(

)答案:D解析:若a≠0,则直线l2的斜率为

;若a=0,则直线l2的斜率不存在.课堂·重难突破一

两条直线平行典例剖析1.下列选项中,直线l1与l2一定平行的是(

)B.直线l1经过点A(2,3),B(-4,0),直线l2经过点C(-3,1),D(2,-2)C.直线l1经过点A(1,-3),B(-4,0),直线l2经过点C(-3,1),D(2,-2)D.直线l1经过点A(0,1),B(-2,-1),直线l2经过点C(3,4),D(2,3)答案:C规律总结1.判断两条不重合直线是否平行的步骤2.若没有说明给定的两条直线不重合,则还应判断其是否重合,再确定其是否平行.学以致用1.若过点P(3,2m)和点Q(-m,2)的直线与方向向量为a=(-5,5)的直线平行,则m的值是(

)答案:B二

两条直线垂直典例剖析2.(多选题)下列说法中正确的是(

)A.若直线l1经过点A(3,4),B(3,10),直线l2经过点M(-10,40),N(10,40),则直线l1与l2垂直C.若直线l1的斜率等于2,直线l2的方向向量的坐标为(-2,-1),则直线l1与l2垂直D.若直线l1的斜率k1=,直线l2经过点A(3a,-2),B(0,a2+1),且l1⊥l2,则实数a的值为1答案:AB学以致用2.(1)若不同的两点P,Q的坐标分别为(a,b),(3-b,3-a),则线段PQ的垂直平分线的斜率为

.

答案:-1解析:由已知得PQ所在直线的斜率

,故线段PQ的垂直平分线的斜率为-1.(2)已知△ABC的顶点坐标分别为A(1,2),B(-1,1),C(0,2),求BC边上的高所在直线的斜率与倾斜角.解:设BC边上的高所在直线的斜率为k,倾斜角为α,BC边所在直线的斜率为kBC,则有k·kBC=-1.又0°≤α<180°,所以α=135°.故BC边上的高所在直线的斜率为-1,倾斜角为135°.三

直线平行与垂直关系的综合应用典例剖析3.已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,若顺次连接A,B,C,D四点,试判断四边形ABCD的形状.解:A,B,C,D四点在平面直角坐标系中的位置如图所示.互动探究(变条件)若将本例中点C(6,3)改为C(3,2),其他条件不变,试判断四边形ABCD的形状.解:由已知得边AB所在直线的斜率kAB=,边CD所在直线的斜率kCD=,边AD所在直线的斜率kAD=-3,边BC所在直线的斜率kBC=-3.∵kAB=kCD,kAD=kBC,且AB与CD不重合,AD与BC不重合,∴AB∥CD,AD∥BC.又kAB·kAD=×(-3)=-1,∴AB⊥AD.∴四边形ABCD为矩形.规律总结利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤

学以致用3.已知A(0,3),B(-1,0),C(3,0)三点,求点D的坐标,使四边形ABCD为直角梯形(A,B,C,D按逆时针方向排列).解:如图,设所求点D的坐标为(x,y),AB边所在直线的斜率为kAB,BC边所在直线的斜率为kBC,AD边所在直线的斜率为kAD,CD边所在直线的斜率为kCD.由已知,得kAB=3,kBC=0,∴kAB·kBC=0≠-1,即AB与BC不垂直,故AB,BC边都不可作为直角梯形的直角边.若CD是直角梯形的直角腰,则BC⊥CD,AD⊥CD.∵kBC=0,∴CD的斜率不存在,从而有x=3.即y=3,此时AB与CD不平行,故点D的坐标为(3,3);若AD是直角梯形的直角腰,则AD⊥AB,AD⊥CD.随堂训练1.若l1与l2是两条不同的直线,则“直线l1与l2平行”是“直线l1与l2的斜率相等”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件答案:B解析:当直线l1和l2的斜率都不存在时,直线l1与l2平行,但不满足l1与l2的斜率相等,反之,若直线l1与l2的斜率相等,则必有直线l1与l2平行,因此,“直线l1与l2平行”是“直线l1与l2的斜率相等”的必要不充分条件,故选B.2.已知A(2,0),B(3,3),直线l∥AB,则直线l的斜率k等于(

)答案:B解析:设直线AB的斜率为kAB.3.若经过点(3,a),(-2,0)的直线与经过点(3,-4)且斜率为

的直线垂直,则a的值为(

)答案:D4.已知直线l1的斜率为2,直线l2上有三点M(3,5),N(x,7),P(-1,y),若l1⊥l2,则x=已知直线l1的斜率为2,直线l2上有三点M(3,5),N(x,7),P(-1,y),若l1⊥l2,则x=

,y=

.

答案:-1

75.已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A