广西桂林中学2022届高三数学10月月考模拟试题理新人教A版

桂林中学2022届高三10月份月考试题（理科数学）本套试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间：120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本题共12题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知i是虚数单位,则=（）A．1-2i B．2-i C．2+i D．1+2i2、已知全集,集合,则为（）A． B． C． D．3、设α是第二象限角,为其终边上的一点,且,则=（） A. B. C. D.4、设是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若；②若 ③若；④若. 其中正确命题的个数是（） 5、．已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则当时，的表达式为()A．B．C．D．]6．函数的定义域是()(-)B.C.(2,+)D.[1,+)7、长方体ABCD—ABC1D1中，，则点到直线AC的距离是()A．3B．C．D．48、.已知函数，若对任意都有，则有（）A.B.C.D.9.设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10．已知双曲线上一点P到两焦点的距离之差为2，则该双曲线的离心率是() A．2 B． C． D．11、已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，△是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为（） A.B.C.D.12.已知函数是减函数，那么的取值范围是（）第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4题，每题5分，共20分．）在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝14函数的单调递增区间为____________________.15、直线：与圆M：相切，则的值为16、若函数图像在点（1，1）处的切线为在x轴，y轴上的截距分别为，则数列的最大项为三、解答题：（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请在答题卡上答题）17（本小题满分10分）（10分）已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）当时，求函数的取值范围.18、（本小题满分12分）设集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R，x∈R}，若B⊆A，求实数a的取值范围．19（本小题满分12分）已知函数f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1.(1)求f(9)，f(27)的值；(2)解不等式：f(x)＋f(x－8)<2.20、（本小题满分12分）直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝eq\f(1,2)AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD.（1）证明：DC1⊥BC； （2）求二面角A1－BD－C1的大小.21.（本小题满分12分）已知等差数列满足：.（1）求的通项公式；（2）若()，求数列的前n项和.22.（本题满分12分）设f(x)＝ln(x＋1)＋eq\r(x＋1)＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线与直线在(0，0)点相切。（1）求的值;（2）证明：当时，.桂林中学2022届高三10月月考(数学理科)答案一、选择题题号123456789101112答案DCDACCAAACBC二、填空题13.8814.15.1或16.16三、解答题：17.解：（1）因为,所以函数的最小正周期为.4分（2）.当时，，6分当时，，8分所以当，即时，；当，即时，；故函数的取值范围是.10分18、（12分）设集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R，x∈R}，若B⊆A，求实数a的取值范围．．解∵A＝{0，－4}，∴B⊆A2分分以下三种情况：(1)当B＝A时，B＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两个根，由根与系数之间的关系，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4a＋12－4a2－1＞0，,－2a＋1＝－4，,a2－1＝0，))解得a＝1.5分(2)当∅≠BA时，B＝{0}或B＝{－4}，并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意．8分(3)当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，解得a＜－1.11分综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，－1]∪{1}．12分19（12分）已知函数f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1.(1)求f(9)，f(27)的值；(2)解不等式：f(x)＋f(x－8)<2.[解答](1)f(9)＝f(3)＋f(3)＝2，f(27)＝f(9)＋f(3)＝3.6分(2)∵f(x)＋f(x－8)＝f[x(x－8)]<f(9)，8分又函数f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,x－8>0，,xx－8<9，))解得8<x<9.即原不等式的解集为{x|8<x<9}．12分20.（12分）已知等差数列满足：.（1）求的通项公式；（2）若()，求数列的前n项和.20.（理）解：（1）设的首项为，公差为，则由得…………2分解得所以的通项公式…………5分（2）由得.…………7分①当时，；…………10分②当时，，得；所以数列的前n项和…………12分21、（12分）直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝eq\f(1,2)AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD.（1）证明：DC1⊥BC； （2）求二面角A1－BD－C1的大小.21.解：（1）证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形.由于D为AA1的中点，故DC＝DC1.又AC＝eq\f(1,2)AA1，可得DCeq\o\al(2,1)＋DC2＝CCeq\o\al(2,1)，所以DC1⊥DC.2分而DC1⊥BD，DC∩BD＝D，所以DC1⊥平面BCD.BC⊂平面BCD，故DC1⊥BC.5分（2）由（1）知BC⊥DC1，且BC⊥CC1，则BC⊥平面ACC1，所以CA，CB，CC1两两相互垂直.两相互垂直.以C为坐标原点，eq\o(CA,\s\up6(→))的方向为x轴的正方向，|eq\o(CA,\s\up6(→))|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.由题意知A1(1,0,2)，B(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,0,2).7分则eq\o(A1D,\s\up6(→))＝(0,0，－1)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(1，－1,1)，eq\o(DC1,\s\up6(→))＝(－1,0,1).设n＝(x，y，z)是平面A1B1BD的法向量，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(BD,\s\up6(→))＝0，,n·\o(A1D,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋z＝0，,z＝0.))可取n＝(1,1,0).同理，设m是平面C1BD的法向量，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(BD,\s\up6(→))＝0，,m·\o(DC1,\s\up6(→))＝0.))可得m＝(1,2,1).10分从而cos〈n，m〉＝eq\f(n·m,|n|·|m|)＝eq\f(\r(3),2).故二面角A1－BD－C1的大小为30°.12分22.（22分）设f(x)＝ln(x＋1)＋eq\r(x＋1)＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线与直线在(0，0)点相切。（1）求的值;（2）证明：当时，.22.解：（1）由y＝f(x)过(0,0)点，得b＝－1.………………2分由y＝f(x)在(0,0)点的切线斜率为eq\f(3,2)，又，得a＝0.…………5分（2）(证法一)由均值不等式，当x＞0时，2eq\r(x＋1·1)＜x＋1＋1＝x＋2，故eq\r(x＋1)＜eq\f(x,2)＋1.……7分记h(x)＝f(x)－eq\f(9x,x＋6)，则h′(x)＝eq\f(1,x＋1)＋eq\f(1,2\r(x＋1))－eq\f(54,x＋62)＝eq\f(2＋\r(x＋1),2x＋1)－eq\f(54,x＋62)＜eq\f(x＋6,4x＋1)－eq\f(54,x＋62)＝eq\f(x＋63－216x＋1,4x＋1x＋62).…………9分令g(x)＝(x＋6)3－216(x＋1)，则当0＜x＜2时，g′(x)＝3(x＋6)2－216＜0.因此g(x)在(0,2)内是递减函数，又由g(0)＝0，得g(x)＜0，所以h′(x)＜0.因此h(x)在(0,2)内是递减函数，又h(0)＝0，得h(x)＜0.于是当0＜x＜2时，f(x)<eq\f(9x,x＋6).…………12分(证法二)由（1）知f(x)＝ln(x＋1)＋eq\r(x＋1)－1.由均值不等式，当x＞0时，2eq\r(x＋1·1)＜x＋1＋1＝x＋2，故eq\r(x＋1)＜eq\f(x,2)＋1.①令k(x)＝ln(x＋1)－x，则k(0)＝0，k′(x)＝eq\f(1,x＋1)－1＝eq\f(－x,x＋1)＜0，故k(x)＜0，即ln(x＋1)＜x.②由①②得，当x＞0时，f(x)＜eq\f(3,2)x.记h(x)＝(x＋6)f(x)－9x，则当0＜x＜2时，h′(x)＝f(x)＋(x＋6)f′(x)－9＜eq\f(3,2)x＋(x＋6)eq\b\lc\(\