2023-2024学年北师大版选择性必修第二册 第二章　§6　6-3　函数的最值 课件（30张）

6.3函数的最值第二章【课程标准】【课时目标】1.能利用导数求某些函数在给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.2.体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系.1.能利用导数求给定区间上不超过三次的多项式函数的最值.(数学运算)2.体会导数在求最值中的应用.(数学运算、逻辑推理)3.能利用导数研究与函数极值、最值等相关的问题.(数学运算、逻辑推理)基础认知·自主学习【导学素材】如图为y=f(x),x∈[a,b]的图象.【问题1】观察[a,b]上函数y=f(x)的图象,试找出它的极大值、极小值.【问题2】结合图象判断,函数y=f(x)在区间[a,b]上是否存在最大值和最小值?若存在,分别为多少?【问题3】函数y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值一定是其极值吗?【问题4】怎样确定函数f(x)在[a,b]上的最小值和最大值?1.函数的最值点与最值条件x0∈[a,b]f(x)≤f(x0)f(x)≥f(x0)结论f(x0)为最大值f(x0)为最小值2.求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数y=f(x)在_____内的极值.(2)将函数y=f(x)的_______与端点处的______________比较,其中_____的一个是最大值,_____的一个是最小值.(a,b)各极值函数值f(a),f(b)最大最小【解透教材】极值与最值的区别与联系1.区别(1)函数的极值是函数在局部区间上函数值的比较;函数的最值是函数在整个区间上函数值的比较,即最大(小)值必须是整个区间上所有函数值的最大(小)者.(2)函数的极值可以有多个,但最大(小)值只能有一个,极值只能在区间内取得,最值可以在区间端点处取得.2.联系如果在区间(a,b)上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线且只有一个极值点,那么该极值点就是最值点,这里区间(a,b)可以是无穷区间.【思考与交流】(1)在闭区间[a,b]上,“f(x)的图象是一条连续不断的曲线”是“函数f(x)取到最值”的什么条件?(回答充分性,必要性)提示:充分不必要条件.(2)对于在[a,b]上连续的函数,最值在哪些地方取到,即哪些点可能是最值点?提示:函数的最大(小)值只可能在区间端点、极值点处取到,即只有区间端点、极值点可能是最值点.【基础小测】1.设f(x)是区间[a,b]上的连续函数,且在(a,b)内可导,则下列结论中正确的是

(

)A.f(x)的极值点一定是最值点B.f(x)的最值点一定是极值点C.f(x)在区间[a,b]上可能没有极值点D.f(x)在区间[a,b]上可能没有最值点【解析】选C.根据函数的极值与最值的概念知,f(x)的极值点不一定是最值点,f(x)的最值点不一定是极值点,可能是区间的端点,连续可导函数在闭区间上一定有最值,所以选项A,B,D都不正确,若函数f(x)在区间[a,b]上单调,则函数f(x)在区间[a,b]上没有极值点,所以C正确.2.函数f(x)=-x2+4x+7在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是 (

)A.f(2),f(3) B.f(3),f(5)C.f(2),f(5) D.f(5),f(3)【解析】选B.因为f'(x)=-2x+4,所以当x∈[3,5]时,f'(x)<0,故f(x)在[3,5]上单调递减,故f(x)的最大值和最小值分别是f(3),f(5).

能力形成·合作探究

xf'(x)-0+f(x)↘极小值↗

x02πf'(x)

+0-0+

f(x)0↗↘↗π所以当x=0时,f(x)有最小值f(0)=0;当x=2π时,f(x)有最大值f(2π)=π.【解题策略】求函数最值的四个步骤第一步,求函数f(x)的定义域.第二步,求f'(x),解方程f'(x)=0.第三步,列出关于x,f(x),f'(x)的变化情况表.第四步,求极值、端点值,确定最值.警示:不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较.

2.已知函数f(x)=x3-12x+8在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为M,m,则M-m的值为 (

)A.16 B.12 C.32 D.6【解析】选C.因为f'(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2),由f(-3)=17,f(3)=-1,f(-2)=24,f(2)=-8,可知M-m=24-(-8)=32.

列表如下:x+0-↗极大值↘

【解题策略】1.含参数的函数最值问题的两类情况(1)能根据条件确定出参数,从而化为不含参数函数的最值问题.(2)对于不能求出参数值的问题,则要对参数进行讨论,其实质是讨论导函数大于0,等于0,小于0三种情况.若导函数恒不等于0,则函数在已知区间上是单调函数,最值在端点处取得;若导函数可能等于0,则求出极值点后求极值,再与端点值比较后确定最值.2.已知函数最值求参数值(范围)的思路已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维,一般先求导数,利用导数研究函数的单调性及极值点,用参数表示出最值后求参数的值或范围.

【解题策略】1.关于与最值有关的参数问题一般从单调区间对参数的影响,最值的大小对参数的影响两个方面讨论.关键是弄清函数的单调性,函数的单调性决定了函数的单调区间及最值的取值.2.证明不等式f(x)>g(x),x∈(a,b)的步骤(1)将要证明的不等式f(x)>g(x)移项可以转化为证明f(x)-g(x)>0;(2)构造函数F(x)=f(x)-g(x),研究F(x)的单调性;(3)若[f(x)-g(x)]'>0,