2023-2024学年北师大版必修第一册 第一章　4-1　一元二次函数 课件（23张）

激趣诱思现准备要围成一个矩形花圃,花圃的一边利用足够长的墙,另外三边用总长为32米的篱笆恰好围成,围成的花圃是如图所示的矩形ABCD,设AB边的边长为x米,问当x取何值时,矩形的面积最大?同学们这道题目不陌生吧,在初中我们学过了一元二次函数,知道了其图象为抛物线,并了解其图象的开口方向、对称轴、顶点等特征.本节我们将进一步研究一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的平移,函数值的变化趋势,最大值或最小值等性质.知识点拨一、一元二次函数的图象及其变换1.通常把一元二次函数的图象叫作抛物线.2.一元二次函数y=a(x-h)2+k的图象可以由y=ax2的图象经过向左(或向右)平移|h|个单位长度,再向上(或向下)平移|k|个单位长度而得到.要点笔记

一元二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0),a决定了一元二次函数图象的开口大小及方向;h决定了一元二次函数图象的左右平移,而且“h正右移,h负左移”;k决定了一元二次函数图象的上下平移,而且“k正上移,k负下移”.简记为“左加右减,上加下减”.微练习将一元二次函数y=-2x2的顶点移到(-3,2)后,得到的新函数的解析式为

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解析可设新函数的解析式为y=a(x-h)2+k,由平移规律知h=-3,k=2,因为形状与开口不变,故a=-2.所以新函数的解析式为y=-2(x+3)2+2.答案y=-2(x+3)2+2二、一元二次函数的性质一元二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的性质如下:

a>0a<0图象开口方向向上向下顶点坐标(h,k)(h,k)对称轴x=hx=h函数值的变化趋势在区间(-∞,h]上,函数值y随自变量x的增大而减小;在区间[h,+∞)上,函数值y随自变量x的增大而增大在区间(-∞,h]上,函数值y随自变量x的增大而增大;在区间[h,+∞)上,函数值y随自变量x的增大而减小最值函数在x=h处有最小值,记作ymin=k函数在x=h处有最大值,记作ymax=k微练习设一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标为x1,x2,且x1≠x2,则当答案D课堂篇探究学习探究一一元二次函数图象的平移变换例1抛物线y=2(x-1)2+3可以看作是由抛物线y=2x2经过以下哪种变换得到的(

)A.向左平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度B.向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度C.向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度D.向右平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度解析∵抛物线y=2(x-1)2+3顶点坐标为(1,3),抛物线y=2x2顶点坐标为(0,0),∴抛物线y=2(x-1)2+3可以看作由抛物线y=2x2向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度得到的.答案B反思感悟

一元二次函数图象平移问题的解题策略(1)要注意平移的方向,即由哪个函数变换到另一个函数;(2)将函数化为y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式;(3)判定h与k的正负,利用“左加右减,上加下减”的规则判定平移的方向和大小.答案B探究二一元二次函数的性质及应用例2(1)求函数y=x2-3x-7(x∈N)的最小值.(2)在区间[2,3]上,求函数y=x2-3x-7的最大值与最小值.要点笔记

求一元二次函数在闭区间上的最值的方法一看开口方向;二看对称轴和区间的相对位置,简称“两看法”.只需作出一元二次函数相关部分的简图,利用数形结合法就可以得到问题的解.延伸探究在区间[-1,3]上,求函数y=x2-3x-7的最大值与最小值.素养形成一元二次函数的最值我们知道,一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),利用配方法,可以得到2.当自变量x的取值范围为闭区间[m,n]时,其最值在m,n,-三者所对应的函数值中取得,最值情况如下:当a>0时,抛物线开口向上,①若-∈[m,n](如下图①,②),顶点取最小值,离对称轴较远点处取得最大值.②若-∉[m,n](如下图③,④),函数在区间内单调,离对称轴较远端点处取得最大值,较近端点处取得最小值.当a<0时,仍是在顶点处或者端点处来取得最值,至于是最大值还是最小值,与a>0时情况相同,也受对称轴x=-与区间[m,n]的相对位置的影响.典例当x为何值时,函数y=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-an)2取最小值.当堂检测1.将抛物线y=(x-2)2+1向左平移2个单位长度,得到的新抛物线的顶点坐标是(

)A.(4,1) B.(0,1)C.(2,3) D.(2,-1)解析∵一元二次函数解析式为y=(x-2)2+1,∴顶点坐标(2,1),向左平移2个单位长度,得到的点是(0,1).答案B2.一元二次函数y=-x2+