2023-2024学年北师大版必修第一册 第七章　2-2　第1课时　古典概型的概率计算公式及其应用 课件（29张）

激趣诱思齐王与田忌赛马,田忌的上马优于齐王的中马,劣于齐王的上马,田忌的中马优于齐王的下马,劣于齐王的中马,田忌的下马劣于齐王的下马.现各出上、中、下三匹马分别进行一场比赛,胜两场以上(含两场)即为获胜.若齐王知道田忌马的出场顺序,他获胜的概率是多大?如田忌知道齐王马的出场顺序,他能获胜吗?若双方均不知对方马的出场顺序,你能探求田忌获胜的概率吗?知识点拨一、古典概型1.对于随机事件A,通常用一个数P(A)(0≤P(A)≤1)来表示该事件发生的可能性大小,这个数就称为随机事件A的概率.2.一般地,若试验E具有如下特征:(1)有限性:试验E的样本空间Ω的样本点总数有限,即样本空间Ω为有限样本空间;(2)等可能性:每次试验中,样本空间Ω的各个样本点出现的可能性相等.则称这样的试验模型为古典概率概型,简称古典概型.名师点析

古典概型的判断标准一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特点:有限性和等可能性,并不是所有的试验都是古典概型.下列三类试验不是古典模型:(1)样本点个数有限,但非等可能;(2)样本点个数无限,但等可能;(3)样本点个数无限,也非等可能.微练习下列试验中,是古典概型的是(

)A.种下一粒种子观察它是否发芽B.从规格直径为(250±0.6)mm的一批合格产品中任意取一件,测量其直径C.抛掷一枚质量均匀的硬币,观察其出现正面或反面D.某人射击中靶或不中靶答案C二、古典概型的概率计算公式对古典概型来说,如果样本空间Ω包含的样本点总数为n,随机事件A包含的样本点个数为m,那么事件A发生的概率为要点笔记

使用古典概型概率公式的注意事项(1)首先判断该模型是不是古典概型;(2)找出随机事件A所包含的样本点的个数和试验中样本点的总数.微练习有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为(

)解析选取两支彩笔的方法有10种,即(红、黄),(红、蓝),(红、绿),(红、紫),(黄、蓝),(黄、绿),(黄、紫),(蓝、绿),(蓝、紫),(绿、紫),含有红色彩笔的选法有4种,即(红、黄),(红、蓝),(红、绿),(红、紫),由古典概型的概率计算公式,得满足题意的概率为答案C课堂篇探究学习探究一古典概型的判断例1判断下列概率模型是否属于古典概型.(1)在区间[0,2]上任取一点;(2)从甲地到乙地共有10条路线,某人从中任选一条;(3)任意抛掷两枚质地均匀的骰子,所得点数之和作为基本事件.分析从有限性和等可能性两个方面入手,对每个概率模型进行判断.解(1)区间[0,2]包含无穷多个点,从

[0,2]上任取一点时,有无穷多种取法,不满足有限性,因此这不是古典概型.(2)从甲地到乙地共有10条路线,某人从中任选一条,共有10种选法,满足有限性,又每一条路线被选中的可能性是相同的,满足等可能性,因此这是古典概型.(3)任意抛掷两枚质地均匀的骰子,点数之和共有11种,即点数之和分别是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,满足有限性,但这11种结果不是等可能出现的,不满足等可能性,故这不是古典概型.反思感悟

古典概型的判断方法判断一个试验是不是古典概型,关键看它是否具备古典概型的两个特征:(1)一次试验中,可能出现的样本点只有有限个,即有限性;(2)每个样本点出现的可能性是均等的,即等可能性.变式训练

1下列试验不是古典概型的是

.(填序号)

①从6名同学中任选4人,参加数学竞赛;②近三天中有一天降雨;③从10人中任选两人表演节目.解析①③为古典概型,它们符合古典概型的两个特征:有限性和等可能性.②不符合等可能性.答案②探究二古典概型概率的求解例2袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a,b的2个黑球和编号为c,d,e的3个红球,从中任意摸出2个球,写出试验的样本空间,并求至少摸出1个黑球的概率.分析写试验的样本空间时要逐一写出,用古典概型的概率公式可得概率.解试验的样本空间为

Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)},n=10.记“至少摸出1个黑球”为事件A,则事件A包含7个样本点,即至少摸出1个黑球的概率为0.7.延伸探究袋子中有红、白色球各1个,每次任取一个,有放回地摸三次,写出试验的样本空间,并计算下列事件的概率:(1)三次颜色恰有两次同色;(2)三次颜色全相同;(3)三次摸到的红球多于白球.解试验的样本空间Ω={(红,红,红),(红,红,白),(红,白,红),(白,红,红),(红,白,白),(白,红,白),(白,白,红),(白,白,白)}.样本点总数n=8.(1)记事件A为“三次颜色恰有两次同色”.∵A中含有的样本点数m1=6,(2)记事件B为“三次颜色全相同”.∵B中含有的样本点数m2=2,(3)记事件C为“三次摸到的红球多于白球”.∵C中含有的样本点数m3=4,探究三古典概型的综合问题例3编号分别为A1,A2,…,A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下:运动员编号A1A2A3A4A5A6A7A8得分1535212825361834运动员编号A9A10A11A12A13A14A15A16得分1726253322123138(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格:区间[10,20)[20,30)[30,40]人数

(2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人,①用运动员编号列出所有可能的抽取结果;②求这2人得分之和大于50的概率.解(1)由得分记录表,从左到右应填4,6,6.(2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A3,A4,A5,A10,A11,A13.从中随机抽取2人,所有的样本点有(A3,A4),(A3,A5),(A3,A10),(A3,A11),(A3,A13),(A4,A5),(A4,A10),(A4,A11),(A4,A13),(A5,A10),(A5,A11),(A5,A13),(A10,A11),(A10,A13),(A11,A13),共15个.②从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人,将“这2人得分之和大于50”记为事件B,则事件B包含的样本点有(A4,A5),(A4,A10),(A4,A11),(A5,A10),(A10,A11),共5个.反思感悟

古典概型综合问题的解题方法(1)要深刻理解问题所涉及的其他数学知识,在理解题意的基础上结合古典概型的概率计算公式进行求解.(2)古典概型信息迁移题通过给出一个新概念或定义一种新运算或给出几个新模型等来创设新的问题情境,要求同学们在阅读理解的基础上,应用所学的知识和方法,实现信息的迁移,以达到灵活解题的目的.变式训练

2(1)设a,b∈{1,2,3},则函数f(x)=x2+bx+a无零点的概率为

.

(2)“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数(如2578),在两位的“渐升数”中任取一个数比37大的概率是

.

解析(1)由题意知本题是一个古典概型问题,试验的样本点有3×3=9(个).样本点要满足b2-4a<0,即b2<4a.从所给的数据中,当b=1时,a有3种结果;当b=2时,a有2种结果;当b=3时,a有1种结果.综上所述,共有3+2+1=6(个)样本点,(2)十位是1的“渐升数”有8个,十位是2的“渐升数”有7个,…,十位是8的“渐升数”有1个,所以两位的“渐升数”共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个);以3为十位数,比37大的“渐升数”有2个,分别以4,5,6,7,8为十位数的“渐升数”均比37大,且共有5+4+3+2+1=15(个),所以比37大的两位“渐升数”共有2+15=17(个).故在两位的“渐升数”中任取一个数比37大的概率是素养形成变换角度,巧解古典概型典例

甲、乙、丙、丁四名学生按任意次序站成一排,则甲站在边上的概率为

.

解析(方法一)如图所示.由图可看出共有24个样本点.甲站在边上有12个样本点:(甲,乙,丙,丁),(甲,乙,丁,丙),(甲,丙,乙,丁),(甲,丙,丁,乙),(甲,丁,乙,丙),(甲,丁,丙,乙),(乙,丙,丁,甲),(乙,丁,丙,甲),(丙,乙,丁,甲),(丙,丁,乙,甲),(丁,乙,丙,甲),(丁,丙,乙,甲).故甲在边上的概率为(方法二)甲、乙、丙、丁四人站队,排头和排尾的站法共有:(甲,乙),(乙,甲),(甲,丙),(丙,甲),(甲,丁),(丁,甲),(乙,丙),(丙,乙),(乙,丁),(丁,乙),(丙,丁),(丁,丙)12个样本点,其中甲站在边上的情况有:(甲,乙),(乙,甲),(甲,丙),(丙,甲),(甲,丁),(丁,甲)6个样本点,故甲站在边上的概率为反思感悟

1.从不同的角度把握问题,进而转化为不同的古典概型,这是我们进行概率计算的重要思想.当所选取的试验可能出现的结果的角度不同时,样本点的个数也将不同,但是最终所求概率的值是确定的.2.在写试验的所有可能结果时,务必弄清问题的本质,选取合适的着眼点,有时需要“放短”眼光,只考虑影响某次试验结果的事件总数即可,如本例可只考虑排头和排尾两个特殊位置.变式训练

用三种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色,且每个矩形只涂一种颜色,求:(1)3个矩形颜色都相同的概率;(2)3个矩形颜色都不同的概率.解用三种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色,共有27个样本点,如图所示.(1)记“3个矩形颜色都相同”为事件A,由图可知,事件A包含的样本点有3个,(2)记“3个矩形颜色都不同”为事件B,由图可知,事件B包含的样本点有6个,当堂检测1.下列试验中,是古典概型的个数为(

)①种下一粒花生,观察它是否发芽;②向上抛一枚质地不均匀的硬币,观察正面向上的概率;③在正方形ABCD内任意一点P,点P恰与点C重合;④从1,2,3,4四个数中,任取两个数;⑤在区间[0,5]上任取一点.A.0 B.1 C.2