立体几何和平面解析几何知识点

必修2数学基础知识第1章 立体几何初步§1.1.1 棱柱、棱锥和棱台底面§1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球§1.1.3中心投影和平行投影三视图：主视图（从前向后）；左视图（从左向右）、俯视图（从上向下）主视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；长对正俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；高平齐左视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度；宽相等§1.1.4直观图画法斜二测画法：①原来与x轴平行的线段仍然与x轴平行且长度不变；②原来与y轴平行的线段仍然与y轴平行且长度为原来的一半.§1.2.1平面的基本性质1•点与平面的关系：点A在平面a内，记作Aea；点a不在平面a内，记作A7点与直线的关系：点A在直线l上，记作：AU1；点A在直线l外，记作A电1；直线与平面的关系：直线1在平面a内，记作1ua；直线1不在平面a内，记作1wa公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.（即直线在平面内，或者平面经过直线）用符号语言表示公理1：Ae1,Be1,Aea,Bean1ua公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论：①经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；经过两条相交直线，有且只有一个平面；经过两条平行直线，有且只有一个平面.公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据；②它是证明平面重合的依据公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线若平面a和平面0相交，交线是1，记作aC卩二1.用符号语言表示公理3：Pua,Pu0且ac卩=1nPU1.公理3的作用：①它是判定两个平面相交的方法；②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系,即交线必过公共点③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据.§1.2.2空间两条直线的位置关系平行关系公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这个两角相等异面直线异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线.它们既不平行，又不相交.异面直线所成的角:直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O分别引直线a，〃a,b〃b,则把直线af和b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角.两条异面直线所成角的取值范围是（0°，90°].若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直.§1.2.3直线与平面的位置关系三种位置关系直线在平面内――有无数个公共点．直线不在平面内（即直线在平面外）：①相交一一只有一个公共点；②平行――没有公共点；二种位置关系的符号表示：aua； a A；a〃a.直线与平面平行的判定定理和性质定理判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行.线线平行=线面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.线面平行=线线平行直线与平面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面.线线垂直=线面垂直性质定理：①如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.线面垂直=线线垂直②如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.直线和平面所成角的取值范围是[0°，90°].§1.2.4平面与平面的位置关系两平面平行的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行•（线面平行=面面平行）；如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行（线线平行=面面平行）；垂直于同一条直线的两个平面平行；性质定理：①如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行；（面面平行=线面平行）②如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行；（面面平行=线线平行）两平面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.（线面垂直=面面垂直）

性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面.（面面垂直n线面垂直）二面角和二面角的平面角①二面角的定义：从一条直线l出发的两个半平面a,卩所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.记作a_l-卩.二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角.二面角的取值范围［0°,180°］， 平面角是直角的二面角叫直二面角.§1.3.1 空间几何体的表面积空间几何体的表面积公式（c为底面周长，h为咼，h为斜咼，l为母线）S =chS二2S =chS二2兀rhS =丄ch' S =兀rl直棱柱侧面积 圆柱侧 正棱锥侧面积2 圆锥侧面积S =-（c+c）h' S圆厶侧面积（r+R加l S圆柱表=2兀rC+l）正棱台侧面积2 1 2 圆台侧面积 圆柱表S=nrC+1）S=nV2+rl+Rl+R2）圆锥表 圆厶表§1.3.2空间几何体的体积柱体、锥体、V=Sh柱1V仕=一Sh锥31.2.厶体的体积公式V=Sh=n2rh圆柱V=1nr2hV=-(S'+PS'S+S)h圆锥3 台3l厶=3(S'+VSS+S)h=-n(r2+rR+R2)h球体的表面积和体积公式V+=4nr3；s十=4nR2球3 球面上購ir土t 1I/ 1\上矚殊小上临护大/ ■ Il上憐缩小3.若多面体的表面积为S,内切球的半径为R,则该多面体的体积V二3SR3.第2章平面解析几何初步§2.1.1 直线的斜率直线的倾斜角 x轴正方向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线倾斜角的取值范围是［0°,180°）.直线的斜率定义：倾斜角a不是90°的直线，a的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率通常用k表示.即k=tana.当a=0。时，k=o；当au（o。,90。）时，k>0；当au（90。，180。）时，kvo；当a=90°时，k不存在.y—y经过两点P］（X］,y1）,P2（x2,y2）的直线的斜率公式：k=2—丿1（X1丰x2）x—x1221§2.1.2直线的方程1.点斜式：y—y1=k（x—X］）直线斜率为k,且过点（X］,y1）.注意：当直线的倾斜角为0°时，直线的斜率k=0,直线的方程是y=y1；当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，直线的方程是x=xj斜截式：y二kx+b，直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b(bUR)两点式： 厂= 「(x丰x,y丰y)直线经过两点P〔(xy.),P2(xy2)y—yx—x 1212 1112222121截矩式：-+-=1直线l过点(a,0)和点(0,b),即l在x轴、y轴上的截距分别为a,b.ab(aM0且bM0)注意：直线l在坐标轴上的截距相等时，斜率为一1或经过原点；直线l在坐标轴上的截距互为相反数时，斜率为1或经过原点；一般式：Ax+By+C=0(A,B不全为0)注意：①平行于x轴的直线：y=b(b为常数)，直线的斜率为0；平行于y轴的直线：x=a(a为常数)，直线的斜率不存在；直线在坐标轴上的截距可以为一切实数§2.1.3两条直线的平行与垂直设直线l,：y=kx+b，直线l2：y=kx+b.111222贝I」①l//1ok=k,b丰b； ②l丄lokk=一11212121212注意：利用斜率判断直线的平行或垂直时，要注意斜率的存在与否.§2.1.4两条直线的交点若直线l1：A1x+B1y+C1=0，与直线l2：A2x+B2y+C2=0相交则交点坐标为方程组/A1x+B1y+C1=0的一组解•方程组无解ol//1；方程组有IAx+By+C=0 1 2222无数解ol1与l2重合过定点的直线系斜率为k且过定点(x0,y0)的直线系方程为y—y0=k(x—xQ)；过两条直线人：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为(A1x+B1y+C1)+九(A2x+B2y+C2)=0(九为参数)，其中直线l2不在直线系中.§2.1.5平面上两点间的距离设A(x1,y1),B(x2,y2)是平面直角坐标系中的两点，则IAB1=x?—x‘2+(y?—y,2x+xy+y若线段AB的中点为M(x0,y0), 则x0=122,歹0=122§2.1.6 点到直线的距离|Ax+By+C|1•点到直线距离公式：点P(x0,y0)到直线l：Ax+By+C=0的距离d= 0 000 JA2+B2|C—C|2.两条平行直线l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0间的距离d= 1 2-1 1 2 2 v'A2+B2

§2.2.1 圆的方程1.标准方程 (x—a)2+(y—b)2=r2,圆心坐标为(a,b),半径为r；2.一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0DE当D2+E2—4F>0时，方程表示圆，此时圆心坐标为(—2,—2),半径为1r= D2+E2—4F2当D2+E2—4F二0时，表示一个点；当D2+E2—4F<0时，方程不表示任何图形.§2.2.2直线与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系有三种情况：相离，相切，相交；可由下列两种方法判断：①设直线1:Ax+By+C—0，圆C:(x一a)2+(y一b\-r2，圆心CC,b)到l的距离为|Aa+Bb+C|d—A2+B2则有d>rO1与C相离；d=rO1与C相切；dVrO1与C相交；②设直线1:Ax+By+C—0，圆C：(X—a)2+(y—b)2—r2，先将方程联立消元,得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为△,则有AVO01与C相离；^=001与C相切；A〉。01与C相交；直线1被圆C截得的弦长公式：AB—2^72—d2过圆C：x2+y2=r2上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x+y0y=r2过圆C：x2+y2=r2外一点P(x°,y°)作圆C的两条切线PA,PB(A,B为切点)切点弦AB所在直线的方程为x0x+y0y=r2§2.2.3圆与圆的位置关系设圆C:(x—a)2+(y—b)2—r2， 圆C:(x—a)2+(y—b)2—R2.111222两圆的位置关系常通过两圆半径的和(或差)，与圆心距(d=C1C2)之间的大小比较来确定.当d>R+r时，两圆相离； 当d—R+r时，两圆外切； 当R—r<d<R+r时，两圆相交；当d—|R—r时，两圆内切； 当d<|R—r|时，两圆内含； 当d=0时，为同心圆.§2.3.1空间直角坐标系y如右图，ABCD-A1B1C1D1是单位正方体.