绝对值不等式课件

第一讲不等式和绝对值不等式1、不等式第一讲不等式和绝对值不等式1、不等式二、绝对值不等式1、绝对值三角不等式

实数a的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离：OaAx|a|xABab|a-b|任意两个实数a,b在数轴上的对应点分别为A、B，那么|a-b|的几何意义是A、B两点间的距离。二、绝对值不等式1、绝对值三角不等式OaAx|a|xABab

联系绝对值的几何意义，从“运算”的角度研究|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的关系：分ab>0和ab<0两种情形讨论：（1）当ab>0时，如下图可得|a+b|=|a|+|b|Oxaba+bOxaba+b联系绝对值的几何意义，从“运算”的角度研究|a|,|b|（2）当ab<0时，也分为两种情况：如果a>0,b<0，如下图可得：|a+b|<|a|+|b|Obaxa+b如果a<0,b>0，如下图可得：|a+b|<|a|+|b|a+babxO（3）如果ab=0，则a=0或b=0，易得：

|a+b|=|a|+|b|（2）当ab<0时，也分为两种情况：如果a>0,b<0，如下

定理1如果a,b是实数，则

|a+b|≤|a|+|b|当且仅当ab≥0时，等号成立。探究如果把定理1中的实数a,b分别换成向量a,b,能得出什么结果？你能解释它的几何意义吗？Oxy探究当向量a,b共线时，有怎样的结论？这个不等式称为绝对值三角不等式。定理1如果a,b是实数，则探究如果把定定理1的代数证明：定理1的代数证明：探究你能根据定理1的研究思路，探究一下|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的其他关系吗？例如：|a|-|b|与|a+b|，|a|+|b|与|a-b|，|a|-|b|与|a-b|等之间的关系。

|a|-|b|≤|a+b|,|a|+|b|≥|a-b|,|a|-|b|≤|a-b|.

如果a,b是实数，那么

|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|探究你能根据定理1的研究思路，探究一下|a|,|b|例1已知ε>0，|x-a|<ε,|y-b|<ε，求证：

|2x+3y-2a-3b|<5ε.证明：|2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)|=|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)|=2|x-a|+3|y-b|<2ε

+3ε=5ε.所以|2x+3y-2a-3b|<5ε.例1已知ε>0，|x-a|<ε,|y-b|<ε，求证：定理2如果a,b,c是实数，那么

|a-c|≤|a-b|+|b-c|当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。证明：根据绝对值三角不等式有

|a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c|当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。B定理2如果a,b,c是实数，那么证明：根据绝对值2、绝对值不等式的解法复习：如果a>0，则

|x|<a的解集是(-a,a)；

|x|>a的解集是(-∞,-a)∪(a,+∞)Oa-axO-aax|x|<a|x|>a2、绝对值不等式的解法复习：如果a>0，则Oa-axO-aa（1）|ax+b|≤c和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法：①分段讨论法：②换元法：令t=ax+b,转化为|t|≤c和|t|≥c型不等式，然后再求x，得原不等式的解集。（1）|ax+b|≤c和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的

绝对值不等式的解法例1：解不等式(1)|x2-3x-4|<x+1;(2)|x2-3x-4|>x+2(3)|x2-2x+3|<|3x-1|;绝对值不等式的解法例1：解不等式例1：解不等式(1)|x2-3x-4|<x+1

解1：⑴原不等式故原不等式的解集为{x|3<x<5}解2-(x+1)<x2-3x-4<x+1例1：解不等式(1)|x2-3x-4|<x+1故原不等式例1：解不等式(2)|x2-3x-4|>x+2解:⑵原不等式

x2-3x-4>x+2x2-3x-4<-(x+2)或故不等式的解集为：例1：解不等式(2)|x2-3x-4|>x+2解:⑵例1：解不等式(3)|x2-2x+3|<|3x-1|-(x2⑶原不等式2-2x+3)<(3x1)2ÛÛ2--2--(x2+x+2)(x2-5x+4)<0∴1<x<4故不等式的解为{x|1<x<4}[(x2x+3)+(3x1)][(x-2x+3)(3x1)]<0Û例1：解不等式(3)|x2-2x+3|<|3x-1|-绝对值不等式课件绝对值不等式课件x12-2-3ABA1B1x12-2-3ABA1B1绝对值不等式课件yxO-32-2yxO-32-2①利用绝对值不等式的几何意义②零点分区间法③构造函数法①利用绝对值不等式的几何意义②零点分区间法③构造函数法例3：解不等式|2x+1|-|2-x|>2∴x<-5或x>1故不等式的解为：{x|x<-5或x>1}解:原不等式例3：解不等式|2x+1|-|2-x|>2∴x<-5或x>

已知a＞0，不等式|x-4|+|x-3|＜a在实数集R上的解集不是空集，求a的取值范围.【解题回顾】此题所用的构造函数及数形结合的方法，是行之有效的常用方法.

变题1若不等式|x-4|+|x-3|＞a对于一切实数x恒成立，求a的取值范围.

变题2若不等式|x-4|-|x-3|＜a的解集在R上不是空集．求a的取值范围.变题3不等式|x-4|-|x-3|＞a在R上恒成立，求a的取值范围.练习4已知a＞0，不等式|x-4|+|x-3|＜a在实数集R小结4----绝对值不等式的解法

根据题目的不同条件,分别利用绝对值的定义、平方和各因式的零点去绝对值，从而转化为一般不等式。小结4----绝对值不等式的解法根据题目的不同条件,五简单的无理不等式的解法C练习:解不等式(1)√2x-1<2-x.五简单的无理不等式的解法C练习:解不等式(1)√2x-1<1.设√3-x≥x-1，x2-(a+1)x+a≤0的解集为A、B.(1)若AB，求a的取值范围；(2)若AB，求a的取值范围；(3)若A∩B为仅含一个元素的集合，求a的值.练习52:解不等式1.设√3-x≥x-1，x2-(a+1)x+a≤0的解集为A小结：简单的无理不等式的解法小结：简单的无理不等式的解法【解题回顾】此题所用的等价转化思想在解不等式中常常用到，如将无理不等式转化为等价的有理不等式(组)，是这种数学思想的体现.解二利用图形解决问题是数形结合的思想，即作出相应函数图