高等数学人教版PPT1.1

一、集合的概念二、集合的表示法三、全集与空集四、子集五、集合的运算六、集合运算律七、集合的笛卡尔乘积§1.1集合上页下页铃结束返回首页一、集合的概念

集合是具有某种属性的事物的全体，构成集合的事物或对象称为集合的元素。集合举例：

例1．1980年2有1日在北京市出生的人。

例2．彩电，电冰箱，录像机。

例3．x2-5x+6=0的根。

例4．全体偶数。

例5．直线x+y-1=0上所有的点。下页通常用大写字母A、B、C等表示集合，用小写字母a、b、c等表示集合的元素。如果a是集合A的元素，则记作a

A，读作a属于A；如果a不是集合A的元素，则记作a`

A

，读作a不属于A。一、集合的概念

集合是具有某种属性的事物的全体，构成集合的事物或对象称为集合的元素。由有限个元素构成的集合称为有限集合，由无限多个元素构成的集合称为无限集合。首页二、集合的表示法列举法：

按任意可导序列出集合的所有元素，并用花括号{}括起来。

例1．由a、b、c、d四个元素组成的集合A可表示为

A={a,b,c,d}。

例2．由x2-5x+6=0的根所构成的集合B可表示为

B={2,3}。描述法：

设P(a)为某个与a有关的条件或法则，A为满足P(a)的一切a构成的集合，则记为A={a|P(a)}。

例3．由x2-5x+6=0的根所构成的集合B可表示为

B={x|x2-5x+6=0}。

例4．全体偶数构成的集合可表示为

D={x|x=2n,n为整数}。首页三、全集与空集全集:

由所研究的所有事物构成的集合称为全集，记为U。全集是相对的，一个集合在一定条件下是全集，在另一条件下就可能不是全集。例如，讨论的问题仅限于正整数，则全体正整数的集合为全集；讨论的问题包括正整数和负整数，则全体正整数就不是全集。下页三、全集与空集全集:

由所研究的所有事物构成的集合称为全集，记为U。

空集:

不包含任何元素的集合称为空集，记作F。

例．x2+1=0的实数根构成的集合为空集。首页注意:

{0}{F}不是空集。

四、子集定义1．1

如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，即“如果a

A，则a

B”，则称A为B的子集。记为A

B或B

A，读作A包含于B或B包含A。例1．设N表示全体自然数的集合，F表示全体有理数的集合，则有N

F。

例2．设A={1,2,3,4,5}，B={1,3,5}，则B

A。AB下页四、子集定义1．1

如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，即“如果a

A，则a

B”，则称A为B的子集。记为A

B或B

A，读作A包含于B或B包含A。定义1．2

设有集合A和B，如果B

A且A

B，则称A与B相等，记作A=B。

例3．设A={x|x为大于1小于4的整数}，B={x|x2-5x+6=0}，则A=B。下页四、子集定义1．1

如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，即“如果a

A，则a

B”，则称A为B的子集。记为A

B或B

A，读作A包含于B或B包含A。定义1．2

设有集合A和B，如果B

A且A

B，则称A与B相等，记作A=B。关于子集有下列结论：

(1)A

A；

(2)F

A；

(3)如果A

B，B

C，则A

C。首页五、集合的运算定义1．3

设有集合A和B，由A和B的所有元素构成的集合称为A与B的并，记为A

B。即A

B={x|x

A或x

B}。A

B下页五、集合的运算定义1．3

设有集合A和B，由A和B的所有元素构成的集合称为A与B的并，记为A

B。即A

B={x|x

A或x

B}。

定义1．4

设有集合A和B，由A和B的所有公共元素构成的集合称为A与B的交，记为A

B，即A

B={x|x

A且x

B}。A

BA

B下页集合的并与交有下列性质：

(1)A

A

B，B

A

B；

A

B

A，A

B

B。

(2)对任何集合A有

A

F=A，A

U=U，A

A=A；

A

F=F，A

U=A，A

A=A。五、集合的运算A

BA

B下页例1．设A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，则如果A

B=F，则称A、B是分离的。A

BA

B

例4．如果A为奇数集合，B为偶数集合，则A

BA

B

例3．设A={x|-1

x

1}，B={x|x>0}，则表示会英语且会日语的人的集合。表示会英语或会日语的人的集合，例2．设A为某单位会英语的人的集合，B为会日语的人的集合，则={3,4}。={1,2,3,4,5,6}，A

BA

BA

BA

B={x|0<x

1}。={x|x

-1}，=F。={x|x为奇数或偶数}，下页

定义1．5

设有集合A和B，属于A而不属于B的所有元素构成的集合称为A与B的差，记为A-B。即

A-B={x|x

A且x`

B}。例5．设A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，则ABA-B={1,2}。A-B下页U

定义1．6

全集U中所有不属于A的元素构成的集合称为A的补集，记为A

。即

A

={x|x

U且x`

A}。补集有下列性质：

A

A

=U，A

A

=F。

定义1．5

设有集合A和B，属于A而不属于B的所有元素构成的集合称为A与B的差，记为A-B。即

A-B={x|x

A且x`

B}。ABA-BAA

=U-A下页例6．设参加考试的学生为全集U。如果A表示及格的学生集合，则A

表示不及格的学生集合。

定义1．6

全集U中所有不属于A的元素构成的集合称为A的补集，记为A

。即

A

={x|x

U且x`

A}。补集有下列性质：

A

A

=U，A

A

=F。

定义1．5

设有集合A和B，属于A而不属于B的所有元素构成的集合称为A与B的差，记为A-B。即

A-B={x|x

A且x`

B}。首页六、集合运算律

(1)交换律：A

B=B

A，

A

B=B

A；

(2)结合律：(A

B)

C=A

(B

C)，

(A

B)

C=A

(B

C)；

(3)分配律：(A

B)

C=(A

C)

(B

C)，

(A

B)

C=(A

C)

(B

C)；

(4)摩根律：(A

B)

=A

B

，

(A

B)

=A

B

。首页七、集合的笛卡尔乘积将两个元素x和y按前后顺序排列成一个元素组(x,y)，称为二元有序数组。

(x,y)与(y,x)是两个不同的二元有序数组。类似地，有三元有序数组(x,y,z)，

，n元有序数组(a1,a2,

,an)。下页七、集合的笛卡尔乘积定义1．7

设有集合A和B。x

A，y

B，所有二元有序数组(x,y)构成的集合称为集合A与B的笛卡尔乘积，记为A

B。即

A

B={(x,y)|

x

A，y

B}。类似地，可以定义

A

B

C={(x,y,z)|

x

A，y

B，z

C}。例1．设A={1,2,3,4}，B={2,3}，则

A

B={(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(4,2),(4,3)}。

例2．设R为全体实数的集合，则笛卡尔直角坐标系的坐标平面可记作R

R={(x,y)|x

R，y

R}。结束§1.2实数集一、实数与数轴(略)四、邻域三、区间二、绝对值(略)上页下页铃结束返回首页下页满足不等式a<x<b的所有实数x的集合称为以a、b为端点的开区间，记为(a,b)。即

(a,b)={x|a<x<b}。xO(a,b)ab开区间：三、区间闭区间：

[a,b]={x|a

x

b}。xO[a,b]ab半开区间：

[a,b)={x|a

x<b}，

(a,b]={x|a<x

b}，xO[a,b)ab无穷区间：

[a,+

)={x|a

x}，

(-

,b)={x|x<b}，

(-

,+

)={x||x|<+

}。xO[a,+

)a首页设d是一正数，则称开区间(a-d,a+d)为点a的d

邻域，记作U(a,d)，即

U(a,d)={x|a-d<x<a+d}={x||x-a|<d}。其中点a称为邻域的中心，d称为邻域的半径。xOa-dU(a,d)a+d

a四、邻域以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域，记作U(a)。去心邻域：xOa-da+d

aU(a,d)。结束§1.3函数关系四、多值函数二、函数关系三、函数符号f(x)的使用一、关系(略)上页下页铃结束返回首页五、隐函数下页二、函数关系我们熟悉如下公式或方程：圆周长公式：L=2pr(r

0)；

圆面积公式：S=pr2(r

0)

；

自由落体的速度公式：V=gt

(t

0)

。

直线方程：y=ax+b(-

<x<+

)；

抛物线方程：y=(x-a)2+b(-

<x<+

)；

双曲线方程：xy=1(x

0）。它们的共同点是至少有两个变量，当一个变量在给定的范围内取得一个定值后，可以通过公式或方程确定出另一个变量的值。引例：下页

定义1．9

设D是一个给定的数集，如果对于每一个数x

D，变量y按一定的对应规则总有一个确定的数值与之相对应，则称变量y是变量x的函数，记作y=f(x)，x称作自变量，y称作因变量，D称作函数y=f(x)的定义域。函数的定义：函数y=f(x)中的“f”表示的是一个对应规则，即对每一个x

D按规则f有一个确定的y值与之对应。对应规则也常用y，j，h，g，F等表示，此时函数就记作y(x)，j(x)，h(x)，g(x)，F(x)等。例如，设f是这样一个对应规则：对任意x

R，有y=x2+1与之对应，所以y是x的函数。这个函数就记作y=x2+1、f(x)=x2+1、y=f(x)。下页当x取值x0

D时，与x0对应的y的值称作函数y=f(x)在点x0的函数值，记作y0、f(x0)等。当x取遍D的每一个数值，对应的函数值的全体{y|y=f(x),x

D}称为函数y=f(x)的值域，记作Z或Z(f)。

定义1．9

设D是一个给定的数集，如果对于每一个数x

D，变量y按一定的对应规则总有一个确定的数值与之相对应，则称变量y是变量x的函数，记作y=f(x)，x称作自变量，y称作因变量，D称作函数y=f(x)的定义域。函数的定义：例如，取x0=2，则函数y=x2+1的值为，

y0=f(2)=22+1=5，值域为Z(f)=[1,+

)。下页在平面直角坐标系中，取自变量在横轴上变化，因变量在纵轴上变化，则平面点集{(x,y)|y=f(x),x

D}称为函数y=f(x)的图形。函数的图形：420240246810函数y=x2+1的图形：例如若f(x)=x2，那么有

f(2)=22=4，

f(a)=a2，

f(x+1)=(x+1)2=x2+2x+1，

f[f(x)]=(x2)2=x4

。

f(x)表示将规则f施用于x，如果把f(x)中括号内的x转换成D(f)中的某个具体数值或表示数值的字母以及某个数学式子，则表示将规则f施用于那个具体数值或表示数值的字母以及某个数学式子。三、函数符号f(x)的使用结束讨论：

1．y=arcsin(2+x2)是否是函数关系？

2．x>y是否是函数关系？定义域和对应规则是确定函数关系的两个要素。下页

解：要使函数有意义，必须3x-2>0且lg(3x-2)

0，因此，函数的定义域为在抽象地研究用算式表达的函数时，函数的定义域就是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值。下页定义域的确定：

解：要使函数有意义，必须解之得-4

x<5，于是得函数的定义域为D=[-4,5]。在抽象地研究用算式表达的函数时，函数的定义域就是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值。定义域的确定：下页应注意的问题：

在函数中，常量一般用字母a，b，c，d，k，l，m，n等表示。变量一般用字母x，y，z，u，v，w，s，t等表示。有一些字母既可以表示常量也可以表示变量，如r，a，b，q

等。常量与变量用什么符号不是绝对的，但应尊重数学习惯。首页我们把对于非空集合D中的x值有多个y值与之对应的关系称为多值函数。讨论：设变量x与y满足x2+y2=25，x

[-5,5]，问y是否是x的函数？答案：不是，因为对每个x

[-5,5]，可以确定两个y的值：不符合函数的定义。四、多值函数下页单值分支：数的单值分支。

首页方程F(x,y)=0可能确定一个y与x的函数关系，但不是任意一个F(x,y)=0都能确定一个y与x的函数关系。有些函数，它们的对应规则是用一个方程F