柔性铰的动刚度计算公式

柔性铰的动刚度计算公式

1柔性误差融资柔性链作为一个没有摩擦的点，已经广泛使用。例如，螺丝刀、加速计算机、平衡、弹头控制喷嘴、控制器、指示器、记录装置、控制面、调整器、阀、升强器、计算机、附件和传输装置。在设计柔性铰链时,柔性铰链的刚度(柔度)计算是关键。早在1965年,Paros和Weisbord便给出了柔性铰链的设计计算公式,并一直沿用至今。由此,避免了繁杂、费时的数值计算,给柔性铰链的设计计算带来了极大的方便。由于精确计算公式十分复杂,针对当时所应用的柔性铰链的最小厚度远小于半径的特点,还给出了该种情况下的简化计算公式。自从20世纪70年代末,美国国家标准局利用柔性铰链机构放大压电致动器的位移,带有压电致动器的柔性铰链机构在许多领域被广泛使用,如:微操纵器、精密平台、光学显微镜聚焦系统、打印头、直线马达、金刚石车床、STM、X射线干涉仪等。压电致动器具有运动平稳、分辨率极高、刚度大和能量转换效率高等特点,是精密定位的理想驱动元件。虽然压电元件可提供大的输出力,但即使是层叠式的压电致动器一般也仅有几至几十微米的位移,而在许多工程应用中需要更大的运动范围(0.05～0.5mm或更大)。柔性铰链利用了弹性材料微小角变形及其自回复的特性而具有许多优点,如:运动平稳、无需润滑、无回退空程、无摩擦和高精度等。因此在绝大多数情况下,利用柔性铰链机构是传递和放大压电致动器位移最适宜的方法。同时柔性铰链机构还为压电致动器提供适当的预紧力,以使其工作在理想状态,并为系统提供压电致动器所不能承受的拉力。在设计该类柔性铰链机构时,为了得到高的刚度和固有频率以及紧凑的机械结构,柔性铰链的最小厚度往往接近其切割半径。因此,Paros的简化计算公式不再适用,而精确公式又过于复杂。沿z轴方向柔性铰链的转动刚度要相对其它方向小得多,因此它可以在机械结构中起到铰链的作用,而其刚度计算也成为了柔性铰链设计的关键。这里利用力学的基本公式和微积分对柔性铰链沿z轴方向的转动刚度设计计算公式进行了推导。同时还给出了常用的直圆柔性铰链沿z轴方向的转动刚度精确计算公式,其表达十分简洁,这将有利于柔性铰链及柔性铰链机构的设计分析。2微元的刚度变化如图1所示的柔性铰链,其杆部截面是矩形,铰链由两个垂直于端面的对称圆柱面切割而成。由于它在设计、制造和分析上均较为简单,所以被广泛地采用。这里就该类柔性铰链进行分析,并沿用了Paros和Weisbord对柔性铰链形状、受力和变形的定义,采用了其相关的符号。图1表明了柔性铰链的几何结构、受力和变形。柔性铰链的几何尺寸为宽度b、最小厚度t、切割半径R、高度h和圆心角θm。柔性铰链左端所受力矩为Mz。假设柔性铰链的右端为固定端,则柔性铰链左端的变形为αz。柔性铰链沿z轴方向的转动刚度是设计柔性铰链最重要的设计参数。计算柔性铰链沿z轴方向的转动刚度时,由于柔性铰链的变形集中在柔性铰链的圆弧部分,所以忽略柔性铰链圆弧以外的变形。为了便于分析,在圆心角θ处截取微元如图2所示。其中,微元的高度为:a=t+2R-2Rcosθ(1)微元的宽度为b,微元的厚度为:du=d(Rsinθ)=Rcosθdθ(2)在力矩Mz作用下,微元的受力如图3所示。根据材料力学的基本公式,可得微元在力矩作用下沿z轴的角变形dαz:dαz=ΜzEΙzdu=12ΜzEbR2cosθ(tR+2-2cosθ)3dθ(3)其中:E为材料的弹性模量。Iz是微元截面沿z轴方向的惯性矩:Ιz=ba312(4)由此可得:αzMz=12EbR2∫θm-θmcosθ(tR+2-2cosθ)3dθ(5)在柔性铰链的柔度公式推导过程中涉及到了一个关键的积分公式:∫θm-θmcosθ(tR+2-2cosθ)3dθ(6)为此,设c=t/R+2,可先求不定积分∫cosθ(c-2cosθ)3dθ。这个不定积分的被积函数是三角有理式,可通过半角变换化为有理函数,再求解不定积分。最后求出定积分。设:T=tgθ2(7)则:dθ=21+Τ2dT(8)sinθ=2tgθ21+tg2θ2=2Τ1+Τ2(9)cosθ=1-tg2θ21+tg2θ2=1-Τ21+Τ2(10)∫cosθ(c-2cosθ)3dθ=-2(c+2)2∫1(c-2)+(c+2)Τ2dΤ+4(c-2)(c+2)2∫1[(c-2)+(c+2)Τ2]2dΤ+16c(c+2)2∫1[(c-2)+(c+2)Τ2]3dΤ(11)对于:∫1[(c-2)+(c+2)T2]kdT=Τ[(c-2)+(c+2)Τ2]k+2k∫(c+2)Τ2[(c-2)+(c+2)Τ2]k+1dΤ=Τ[(c-2)+(c+2)Τ2]k+2k∫1[(c-2)+(c+2)Τ2]kdΤ-2k(c-2)∫1[(c-2)+(c+2)Τ2]k+1dΤ(12)所以:∫1[(c-2)+(c+2)Τ2]k+1dΤ=2k-12k(c-2)∫1[(c-2)+(c+2)Τ2]kdΤ+12k(c-2)Τ[(c-2)+(c+2)Τ2]k(13)因此可得:∫cosθ(c-2cosθ)3dθ=4c(c-2)(c+2)2Τ[(c-2)+(c+2)Τ2]2+6c+2(c-2)2(c-2)2(c+2)2Τ[(c-2)+(c+2)Τ2]+6c(c-2)2(c+2)2∫1[(c-2)+(c+2)Τ2]dΤ=4c(c-2)(c+2)2tgθ2[(c-2)+(c+2)tg2θ2]2+6c+2(c-2)2(c-2)2(c+2)2tgθ2[(c-2)+(c+2)tg2θ2]+6c(c-2)52(c+2)52arctg(√c+2c-2tgθ2)+C1(14)其中:C1为常数。设:s=R/t,则:c=1/s+2。由上可得:∫θm-θmcosθtR+2-2cosθ3dθ=8s4(2s+1)(4s+1)2tgθm2[1+(4s+1)tg2θm2]2+4s3(6s2+3s+1)(4s+1)2tgθm2[1+(4s+1)tg2θm2]+12s4(2s+1)(4s+1)52arctg(√4s+1tgθm2)(15)3设计的公式化通常情况下使用最多的是直圆柔性铰链。直圆柔性铰链的切口是两个垂直于端面的对称的半圆柱面,即θm=90°。对于直圆柔性铰链,可以得到更为简洁的设计计算公式。将θm=90°代入公式(5)和(15),可得直圆柔性铰链产生沿z轴的转动柔度表达式如下:αzΜz=12EbR2[2s3(6s2+4s+1)(2s+1)(4s+1)2+12s4(2s+1)(4s+1)52arctg4s+1](16)由于当柔性铰链θm>90°时,在θ=90°以外的圆弧部分对柔性铰链的转动刚度没有影响,所以也可以使用直圆柔性铰链的转动刚度计算公式。4柔性新型用药公式为了便于比较,以下给出迄今一直沿用由Paros给出的柔性铰链绕z轴的转动刚度(柔度)计算公式:αzΜz=32EbR2[12β+β2]⋅{[1+βγ2+3+2β+β2γ(2β+β2)][1-(1+β-γ)2]+[6(1+β)(2β+β2)3/2][tan-1(2+ββ×(γ-β)1-(1+β-γ)2)]}(17)其中:β=t/2R,γ=h/2R。同时,文献中也给出了在柔性铰链的最小厚度t远小于柔性铰链的高度h和切割半径R时的简化公式:αzΜz=9πR1/22Ebt5/2(18)Paros的柔性铰链的简化的设计计算公式虽然相对简单,简化了计算过程,但其适用的对象有一定的局限性。取铰链的参数为:E=2.000×1011N/m2;G=8.000×1010N/m2;θm=90°;b=10mm;R=1mm。并使t在0.01R到R之间变化,求柔性铰链简化计算公式和精确计算公式所得柔度结果的比值,如图4所示。其中:r1为αz/Mz的简化公式和精确公式计算结果的比值。由此可见,当t/R的比值接近1时,Paros文中αz/Mz的简化公式存在一定的误差。而在柔性铰链的应用中为了减小机构的尺寸,并保持一定的刚度,就希望柔性铰链的切割半径尽可能小些,甚至小于柔性铰链的最小厚度。在此给出的直圆柔性铰链的转动刚度计算公式具有既精确又简洁的特点,尤其适用于切割半径与最小厚度相当的直圆柔性铰链。5直圆柔性新型真柔性铰链在科学技术领域有着十分广泛的应用。利用力学的基本公式和微积分对柔性铰链的转动刚度计算公式进行了推