初中数学三角函数公式最全汇总

初中数学三角函数公式最全汇总01定义式02函数公式倒数关系：①$\sin\theta=\cfrac{1}{\csc\theta}$，$\csc\theta=\cfrac{1}{\sin\theta}$②$\cos\theta=\cfrac{1}{\sec\theta}$，$\sec\theta=\cfrac{1}{\cos\theta}$③$\tan\theta=\cfrac{1}{\cot\theta}$，$\cot\theta=\cfrac{1}{\tan\theta}$商数关系：①$\sin\theta\div\cos\theta=\tan\theta$平方关系：①$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$②$1+\tan^2\theta=\sec^2\theta$③$1+\cot^2\theta=\csc^2\theta$03诱导公式公式1：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：$\sin(\pi+\theta)=-\sin\theta$，$\cos(\pi+\theta)=-\cos\theta$，$\tan(\pi+\theta)=\tan\theta$公式2：设为任意角，与的三角函数值之间的关系：$\sin(-\theta)=-\sin\theta$，$\cos(-\theta)=\cos\theta$，$\tan(-\theta)=-\tan\theta$公式3：任意角与的三角函数值之间的关系：$\sin(\pi-\theta)=\sin\theta$，$\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta$，$\tan(\pi-\theta)=-\tan\theta$公式4：与的三角函数值之间的关系：$\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)=\cos\theta$，$\cos(\frac{\pi}{2}-\theta)=\sin\theta$，$\tan(\frac{\pi}{2}-\theta)=\cfrac{1}{\tan\theta}$公式5：与的三角函数值之间的关系：$\sin(\frac{\pi}{2}+\theta)=\cos\theta$，$\cos(\frac{\pi}{2}+\theta)=-\sin\theta$，$\tan(\frac{\pi}{2}+\theta)=-\cot\theta$公式6：及与的三角函数值之间的关系：$\sin(2\pi-\theta)=\sin\theta$，$\cos(2\pi-\theta)=\cos\theta$，$\tan(2\pi-\theta)=\tan\theta$记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限，即形如（$2k+1$）$90°±\alpha$，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如$2k×90°±\alpha$，则函数名称不变。04基本公式【和差角公式】◆二角和差公式$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$$\tan(\alpha\pm\beta)=\cfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}$◆三角和公式$\sin\alpha+\sin\beta=2\sin(\cfrac{\alpha+\beta}{2})\cos(\cfrac{\alpha-\beta}{2})$$\sin\alpha-\sin\beta=2\cos(\cfrac{\alpha+\beta}{2})\sin(\cfrac{\alpha-\beta}{2})$$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos(\cfrac{\alpha+\beta}{2})\cos(\cfrac{\alpha-\beta}{2})$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin(\cfrac{\alpha+\beta}{2})\sin(\cfrac{\alpha-\beta}{2})$【和差化积公式】口诀：正加正，正在前，余加余，余并肩，正减正，余在前，余减余，负正弦．$\sin\alpha+\sin\beta=2\sin(\cfrac{\alpha+\beta}{2})\cos(\cfrac{\alpha-\beta}{2})$$\sin\alpha-\sin\beta=2\cos(\cfrac{\alpha+\beta}{2})\sin(\cfrac{\alpha-\beta}{2})$$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos(\cfrac{\alpha+\beta}{2})\cos(\cfrac{\alpha-\beta}{2})$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin(\cfrac{\alpha+\beta}{2})\sin(\cfrac{\alpha-\beta}{2})$【积化和差公式】$\sin\alpha\sin\beta=\cfrac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)]$$\cos\alpha\cos\beta=\cfrac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)]$$\sin\alpha\cos\beta=\cfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]$$\cos\alpha\sin\beta=\cfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)]$【倍角公式】◆二倍角公式$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$$\tan2\alpha=\cfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$◆三倍角公式$\sin3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha$$\cos3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha$$\tan3\alpha=\cfrac{3\tan\alpha-\tan^3\alpha}{1-3\tan^2\alpha}$◆四倍角公式$\sin4\alpha=-4[\cos\alpha\sin\alpha(\sin^2\alpha-\cos^2\alpha)]$$\cos4\alpha=\cos^4\alpha-6\cos^2\alpha\sin^2\alpha+\sin^4\alpha$$\tan4\alpha=\cfrac{4\tan\alpha-4\tan^3\alpha}{1-6\tan^2\alpha+\tan^4\alpha}$◆五倍角公式$\sin5\alpha=5\sin\alpha-20\sin^3\alpha+16\sin^5\alpha$$\cos5\alpha=16\cos^5\alpha-20\cos^3\alpha+5\cos\alpha$$\tan5\alpha=\cfrac{5\tan\alpha-10\tan^3\alpha+\tan^5\alpha}{1-10\tan^2\alpha+5\tan^4\alpha}$◆半角公式$\sin\cfrac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\cfrac{1-\cos\alpha}{2}}$$\cos\cfrac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\cfrac{1+\cos\alpha}{2}}$$\tan\cfrac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\cfrac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}$（正负由所在的象限决定）◆万能公式$\sin\alpha=\cfrac{2\tan\cfrac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\cfrac{\alpha}{2}}$$\cos\alpha=\cfrac{1-\tan^2\cfrac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\cfrac{\alpha}{2}}$$\tan\alpha=\cfrac{2\tan\cfrac{\alpha}{2}}{1-\tan^2\cfrac{\alpha}{2}}$◆辅助角公式$\sin\alpha=\sin(180°-\alpha)$$\cos\alpha=-\cos(180°-\alpha)$$\tan\alpha=-\tan(180°-\alpha)$$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$$\cos(-\alpha)=\cos\alpha$$\tan(-\alpha)=-\tan\alpha$◆余弦定理$a^2=b^2+c^2-2bc\cosA$$b^2=a^2+c^2-2ac\cosB$$c^2=a^2+b^2-2ab\cosC$◆三角函数公式算面积定理：在$\triangleABC$中，其面积就应该是底边对应的高的1/2，不妨设$BC$边对应的高是$AD$，那么$\triangleABC$的面积就是$AD×BC×1/2$。而$AD$是垂直于$BC$的，这样$\triangleADC$就是直角三角形了，显然，由此可以得出，$AD=AC\sinC$，同将这个式子带回三角形的计算公式中就可以得到：$\triangleABC=\cfrac{1}{2}AB\cdotAC\cdot\sinC$，即可得出三角形的面积等于两邻边及其夹角正弦值的乘积的一半。◆公式：若$\triangleABC$中角$A$，$B$，$C$所对的三边是$a$，$b$，$c$：则$S\triangleABC=\cfrac{1}{2}ab\sinC=\cfrac{1}{2}bc\sinA=\cfrac{1}{2}ac\sinB$。◆反三角函数反三角函数主要是三个：$y=\arcsin(x)$，定义域$[-1,1]$，值域$[-\pi/2,\pi/2]$$y=\arccos(x)$，定义域$[-1,1]$，值域$[0,\pi]$$y=\arctan(x)$，定义域$(-\infty,+\infty)$，值域$(-\pi/2,\pi/2)$$\sin\arcsin(x)=x$，定义域$[-1,1]$，值域$[-\pi/2,\pi/2]$◆反三角函数公式:$\arcsin(-x)=-\arcsinx$$\arccos(-x)=\pi-\arccosx$Arctan(-x)等于负的Arctan(x)。Arccot(-x)等于π减去Arccot(x)。当sin(x)和cos(x)的和等于π/2时，有Arctan(x)+Arccot(x)=π/2。同时，当sin(x)=x时，有x=Arcsin(x)；当cos(x)=x时，有x