函数模型及其应用3

§函数模型及其应用(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题7分，共35分)1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：x34y12现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()A．y＝2x－2 B．y＝eq\f(1,2)(x2－1)C．y＝log3x D．y＝2x－22．某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差 ()A．10元 B．20元C．30元 \f(40,3)元3．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3000＋20x－(0<x<240，x∈N*)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是 ()A．100台 B．120台 C．150台 D．180台4．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度可浴用，浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t分钟注入2t2升，当水箱内水量达到最小值时，动停止，现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供 ()A．3人洗浴 B．4人洗浴C．5人洗浴 D．6人洗浴5．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是 ()二、填空题(每小题6分，共24分)6．拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f(x)＝×[m]＋1)给出，其中m>0，[m]是大于或等于m的最小整数，若通话费为元，则通话时间m∈______.7．有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形最大面积为________．(8．(2022·浙江)某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则x的最小值是________．9．某商人购货，进价已按原价a扣去25%.他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的利润，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式为______________．三、解答题(共41分)10．(13分)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝eq\f(x2,5)－48x＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？11.(14分)某地上年度电价为元，年用电量为1亿千瓦时．本年度计划将电价调至元～元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y(亿千瓦时)与(x－元成反比例．又当x＝时，y＝.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若每千瓦时电的成本价为元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年增加20%？[收益＝用电量×(实际电价－成本价)]12．(14分)如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝3米，AD＝2米．(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？(2)当DN的长为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．答案1．B2．A3．C4．B5．A6．(17,18]7．2500m28．209．y＝eq\f(a,4)x(x∈N*)10．解(1)每吨平均成本为eq\f(y,x)(万元)．则eq\f(y,x)＝eq\f(x,5)＋eq\f(8000,x)－48≥2eq\r(\f(x,5)·\f(8000,x))－48＝32，当且仅当eq\f(x,5)＝eq\f(8000,x)，即x＝200时取等号．∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元．(2)设年获得总利润为R(x)万元，则R(x)＝40x－y＝40x－eq\f(x2,5)＋48x－8000＝－eq\f(x2,5)＋88x－8000＝－eq\f(1,5)(x－220)2＋1680(0≤x≤210)．∵R(x)在[0,210]上是增函数，∴x＝210时，R(x)有最大值为－eq\f(1,5)(210－220)2＋1680＝1660.∴年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元．11．解(1)∵y与(x－成反比例，∴设y＝eq\f(k,x－(k≠0)．把x＝，y＝代入上式，得＝eq\f(k,－，k＝.∴y＝eq\f,x－＝eq\f(1,5x－2)，即y与x之间的函数关系式为y＝eq\f(1,5x－2).(2)根据题意，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,5x－2)))·(x－＝1×－×(1＋20%)．整理，得x2－＋＝0，解得x1＝，x2＝.经检验x1＝，x2＝都是所列方程的根．∵x的取值范围是～，故x＝不符合题意，应舍去．∴x＝.答当电价调至元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.12．解(1)设DN的长为x(x>0)米，则AN＝(x＋2)米∵eq\f(DN,AN)＝eq\f(DC,AM)，∴AM＝eq\f(3x＋2,x)，∴SAMPN＝AN·AM＝eq\f(3x＋22,x).由SAMPN>32，得eq\f(3x＋22,x)>32，又x>0，得3x2－20x＋12>0，解得：0<x<eq\f(2,3)或x>6，即DN长的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))∪(6，＋∞)．(2)矩形花坛AMPN的面积为y＝eq\f(3x＋22,x)