工程硕士研究生随机过程复习题

3!3!工程硕士随机过程复习题1设有随机过程X(t)=Acos(o-1),其中o<t<8，®为常数，A是服从［1,2］上的均匀分布，确定t分别为％和%®时，求随机变量X⑴的概率密度.(12分)解(1)当r=—时X(t)=Accos=-Aoo□FA□FA(X)=[01<x<2其它所以,X(t)的概率密度为:-2<y<-1其它(2)当t(2)当t=—时4oX(t)=Accos冗4o[0—<y[0—<y<2其它f-(y)=f22y)*J2=2AA22设随机过程X(t)=e-At，t〉0，其中A是在区间(1,2)上服从均匀分布的随机变量，求随机变量X⑴的一维概率密度函数f(x;1)和一维分布函数F(x;1)。解(1)当t=1时X(t)=e-At=e-AI11<x<2f(X)=[0其它所以,X(t)的分布函数为:1,x>1/eF(x;1)=<2+Inx,1/e2<x<1/eX0x<1/e2

3设随机过程X(t)=Asin(w-1)+Bcos(w-1),其中o<t<s,w为常数,A和B互不相关,EA=EB=0,DA=DB=52,求x(t)均值函数和自相关函数.(12分)解：e[X(t)]=e(gsin(w-1)+耳cos(w-1))=Eg-sin(w-1)+E耳-cos(w-1)=0由于g和耳互不相关，E=Eg-En=0。又Eg2=E耳2=52因此R(t,t+T)=EX(t)X(t+T)=Eg2cosw•tcosw-(t+t)+En2sin(w•t)sinw•(t+t)=52coswt令N(t)，-g<t<g是参数为九的泊松过程，计算EN(t)N(t+s)。(10分)EN(t)N(t+s)=E[N(t)—N(0)][N(t+s)—N(t)+N(t)]=E[N(t)-N(0)][N(t+s)-N(t)]+EN2(t)]=九2st+Xt+(九t)2=九t(九s+1+九t)5已知强度为九的泊松分布的概率是p{X=k}=-,k=0,1,2,•••,。k!写出强度为X的泊松过程{N(t),t>0}需满足的三个条件；假设110报警电话在(0,t]内接到电话的呼叫数N(t)是具有强度(每分钟)为1的泊松过程，求2分钟内接到3次呼叫的概率。“第二分钟内收到第三次呼叫”的概率解：(1)泊松过程应满足的三个条件：它是独立增量过程；对任意的t>t>0，增量N(t)—N(t)~兀(X(t—t))；000N(0)=0。(2)X=1，t=2，k=3，(Xt)k•e—(Xt)23•e—243e2k!P{X=3}=P[N(2)—N(0)=3]===-3e2k!3)tP(N(1占N(0)kN-(2)N>(4)3)k00九2=e-x(1+九+)-e-x(-1九2+九22)6某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人数。假设男女顾客来商场的人数分别独立地服从每分钟2人与每分钟3人的泊松过程。试求到某时刻t时到达商场的总人数的分布；在已知t时刻以前有50人到达的条件下，试求其中恰有30位妇女的概率。解：设N(t),N(t),N(t)分别为(0,t)时段内到达商场的男顾客数、女顾客数及总人数。12(1)由已知，N(t)为强度X=2的泊松过程，N(t)为强度X=3的泊松过程；1122故，N(t)为强度X=X+X=5的泊松过程；于是,12P(P(N(t)=(51)ke-51k!

k=0,1,2,2)2)P(N(t)=30N(t)=50)2

P(N(t)=30,N(t)=50)2P(N(t)=50)P(N(t)=30)P(N(t)=20)

(31)30e-31/30!x(21)20e-21/20!(5t)50e-5t/50!(31)30e-3t/30!x(21)20e-21/20!32=C30(—)30(—)20(5t)50e-5t/50!50557已知平稳随机过程x7已知平稳随机过程x(t),-g<t<g的谱密度为S(①)=X,求X(t)的相关函数和EX2(EX2(t).(12分).解:®2+3®2+321S(x)===—x®4+3®2+2(®2+2)(®2+1)®2+1®2+2R(T)=匚R(T)=匚X-1(SX(①))=e_L丨—EX2(t)=R(0)=e_tX点e"2'T8设随机过程X(t)=AC0S(w0-t+O)，其中…t<8，w0为常数，:和①是相互独立的随机变量，匚服从［1,2］上的均匀分布,①服从［0,2“］上的均匀分布•试求⑴x(t)均值函数和自相关函数。(2)讨论X(t)的数学期望的各态历经性.(16分)解：(1)因为EA=-1,E①=—22兀EX(t)=EAcos(w-1+①)=00Rx(t,t+T)=Ex(t)x(t+T)=EAcos(wt+①)Acos(w(t+t)+①)00=EA2*Ecos(wt+①)cos(w(t+t)+①)00281=E(—(cosw((2t+t)+2①)+cos(wt)12200lx(t)：：=limlx(t)：：=limfAcos(wt+①)dt2T0—TTT8A=limsin(wt+①)TT82Tw0TT80A(2)=lim[sin(wT+①)—sin(w(-T)+①)](2)TT82Tw00TT80=0=Ex(t)所以,x(t)具有数学期望的各态历经性10已知均值为零的实平稳随机过程X(t),—8<t<8的相关函数R(T)=e—Pt，Y(t)满足X随机微分方程Y'(t)+aY(t)=X(t)，其中a,p,为常数。求(1)判断输出过程Y⑴是否为平稳过程，若是，求Y⑴的均值函数、自相关函数和谱密度(2)求X(t)和丫(t)的互谱密度.(1)对Y，(t)+aY(t)=X(t)两边作拉普拉斯变换有sY(s)+aY(s)=X(s)X(jO)S(O)=\h(jo)|2S(o)=YXa2+o21o2+p21a2+o2R(t)=g-1(S(o))=绥(丄e-^YYa2-p22p12ae-aLI)2)S(o)=H(jo)S(o)=YX11设有白噪声电压X(t),其自相关函数，将它加到如下图的RC电路中，求:输出的均值函数和自相关函数输出的平均功率；输出的谱密度求输入与输出的互谱密度dY(t)解：由题意(1)RC+Y(t)=X(t)dt对上式进行拉普拉斯变换得RCSY(s)+Y(s)=X(s)转移函数为H(s)=1单位频率响应为h(jo)=jrr其中，aRCm(t)=mYX(t)J+8h(t)dt=0—8工程硕士随机过程复习题1设有随机过程X(t)=Acos(t),其中0<t5,o为常数，A是服从［1,2］上的均匀分布，确定t分别为％和巧®时，求随机变量x(t)的概率密度.(12分)兀兀解(1)当t=时X(t)=Acoso=-Aoo1<x<2其它-2<y<-1其它所以,-2<y<-1其它f(y)=f(-y)=〔0-AA[0(2)当t=(2)当t=—时4oX(t)=Acoso冗4o2吕|o其它<2吕|o其它<y<0,其他⑵fx(x；1)="1/x,1/e2<x<1/ef-(y)=f(\‘2y)72=—TAA22设随机过程X(t)=e-At，t>0，其中A是在区间(1,2)上服从均匀分布的随机变量，求随机变量X(1)的一维概率密度函数f(x;1)和一维分布函数F(x;1)。解⑴当t=1时x(t)=e-At=e-A1<x<2其它所以,X(t)的分布函数为:1,x>1/eF(x;1)=<2+Inx,1/e2<x<1/eX0x<1/e222ii二0i二0N又S(W)=0X2对S(w)进行傅立叶变换有ry(t)=aN4e_N又S(W)=0X2对S(w)进行傅立叶变换有ry(t)=aN4e_a4互谱密度为S(W)二H(jW)S(W)二XYX1Noajw+1212设x,n>0是具有三个状态的齐次马氏链，一步转移概率矩阵为n「1/21/20-P=1/21/20001试证此链不是遍历的13设x,n>0是具有三个状态0，1，2的齐次马氏链,步转移概率矩阵为1/43/401/41/21/401/43/4初始分布为p(0)=iP{X0i}=1/3,i=0,1,2，求(1)P{x=0,X=1,X=2}12解：1)(3)P02(4)(4)判断此链是否具有遍历性，若是遍历的，求其平稳分布P(X0,X=1,X1=2}=p(0)pp011244162)因「1/43/40_「1/43/40一「1/49/163/16—1/41/21/41/41/21/4=3/161/25/1601/43/401/43/41/165/165/8P2=135103——(—■+一'+)31616168P{X=2}=ZP(X=i,X=2)=Zp(0)p(2)202ii2

P(4)=Zp(2)p(2)——020kk2256因为存在m=2,使得Pm>0(i,j—o,i,2)，所以此链具有遍历性i,j411兀42n—(411兀42n—(兀，兀，