概率论与数理统计第二章课后习题答案

概率论与数理统计课后习题答案第二章1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X

表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X

的分布律.【解】X

3,

4,

555C3C333P(

X

3)P(

X

4)P(

X

5)10.10.3C

5C240.6故所求分布律为X345P0.10.30.62222.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X

表示取出的次品个数，求：12X

的分布律；X

的分布函数并作图；(3)P{X

1},

P{1

X

3},

P{1X

},

3P{1

X

2}

.【解】151515223512C1

C2X

0,1,

2.C3P(

X

0)

C3

133CC135135C3.P(

X

1)2

1310.P(

X

2)13.故X的分布律为X012P22121353535（2）当x<0时，F（x）=P（X≤x）=0当0≤x<1时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)=2235当1≤x<2时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)=3435当x≥2时，F（x）=P（X≤x）=1故X

的分布函数0,220,

x

1x

0F

(x)35341,

x

210351,x

2(3)3.射手向目标独立地进行了

3次射击，每次击中率为

0.8，求

3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求

3次射击中至少击中

2次的概率.【解】设X

表示击中目标的次数.则X=0，1，2，3.0.0960.384(0.2)3

0.0083C1

0.8(0.2)2C3

2

(0.8)2

0.2P(

X

0)P(

X

1)P(

X

2)P(

X

3)(0.8)3

0.512故X的分布律为X0123P0.0080.0960.3840.512分布函数0,0.008,F

(x)x

00

x

10.104,10.488,

2x

2x

3x

31,P

(

X

2)

P

(

X

2)

P

(

X

3)

0.8964.（1）设随机变量

X

的分布律为kP{X=k}=

a

，k!其中

k=0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数

a.（2）设随机变量

X

的分布律为P{X=k}=a/N，

k=1，2，…，N，试确定常数

a.【解】（1）由分布律的性质知k1P(

X

k

)

a0

k

!k

0a

ek故a

e(2)由分布律的性质知k

1NN1P(

X

k

)a10a即k

1

Na

1

.5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为

0.6,0.7,今各投

3次，求：12两人投中次数相等的概率;甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令

X、Y

表示甲、乙投中次数，则

X~b（3，0.6）,Y~b(3,0.7)(1)P

(

X

3,Y

3)(0.4)3

(0.3)3

C1

0.6(0.4)2

C1

0.7(0.3)2

+3

3C2

(0.6)2

0.4C2

(0.7)2

0.3 (0.6)3

(0.7)33

30.32076(2)=0.2436.设某机场每天有

200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为

0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于

0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设X

为某一时刻需立即降落的飞机数，则

X~b(200,0.02)，设机场需配备

N

条跑道，则有P

(

X

N

)

0.01即200kC

2(000

.02)k

(0.98)200k0.01k

N

1利用泊松近似np

200

0.02

4.e4

4kk

N1

k

!P(

X

N

)0.017.有10查表得

N≥9.故机场至少应配备

9条跑道.一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为

0.000

1,在某天的该时段内有1000

辆汽车通过，问出事故的次数不小于

2

的概率是多少（利用泊

松定理）？【解】设X

表示出事故的次数，则

X~b（1000，0.0

001）8.已知在五重贝努里试验中成功的次数

X

满足

P{X=1}=P{X=2}，求概率

P{X=4}.【解】设在每次试验中成功的概率为

p，则故所以4

1

4

2

103

3

243P(

X

4) C5

(

).9.设事件

A

在每一次试验中发生的概率为

0.3，当

A

发生不少于

3次时，指示灯发出信号，12进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；进行了

7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.【解】（1）设X

表示

5次独立试验中

A

发生的次数，则

X~6（5，0.3）5P(

X

3)

k

C

(0.k

3)

(05.7k

)0.163085k

3(2)令Y

表示

7次独立试验中

A

发生的次数，则

Y~b（7，0.3）7P(Y

3)

kC

(0.k3)

(0.7

7k)0.352937k

310.某公安局在长度为

t

的时间间隔内收到的紧急呼救的次数

X

服从参数为（1/2）t

的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.（1）求某一天中午

12时至下午

3时没收到呼救的概率；（

2）求某一天中午

12时至下午

5时至少收到

1次呼救的概率.3

5【解】（1

）

P(X0)

e2P(

X

1)

1

P(

X

0)

1e

2211.设P{X=k}=(C2)k

pk

(1p)2kk,=0,1,2P{Y=m}=C

m

pm

(1

p)44m

,

m=0,1,2,3,45分别为随机变量

X，Y

的概率分布，如果已知

P{X≥1}=，试求

P{Y≥1}.95

49【解】因为

P(

X

1).而，故

P(

X

1)9P(

X

1)

P(

X

0)

(1

p)2故得即(1

p)24

,91从而p.365P(Y

1)

1

P(Y

0)

1 (1

81p)4

0.80247得e

2

255!12.某教科书出版了

2000册，因装订等原因造成错误的概率为

0.001，试求在这

2000册书中恰有

5册错误的概率.【解】令X

为2000册书中错误的册数，则

X~b(2000,0.001).利用泊松近似计算,np

2000

0.001

2P(

X

5)0.001813.进行某种试验，成功的概率为

3

，失败的概率为

1

.以X

表示试验首次成功所需试验的次4

4数，试写出

X

的分布律，并计算

X

取偶数的概率.【解】

X1,

2, ,

k

,1(k

)1

34

4P(

X

k

)P

(

X

2)

P

(

X

4)

P

(

X

2

k

)1

3 1

3

34

41

2k13(

)(

)41244

43

414

11(

)

541014.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为

0.002，每个参加保险的人在

1月1日须交

12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取

2000元赔偿金.求：12保险公司亏本的概率;保险公司获利分别不少于

10000元、20000元的概率.【解】以“年”为单位来考虑.（1）在1月1日，保险公司总收入为

2500×12=30000元.设

1年中死亡人数为

X，则

X~b(2500,0.002)，则所求概率为P(2000X

30000)

P

(

X

15)

1

P

(

X

14)由于

n

很大，p

很小，λ=np=5，故用泊松近似，有5

5kk

!14

eP(

X

15)

1k

0(2)P(保险公司获利不少于

10000)0.00006910P(30000

2000X10000)

P

(

X

10)!k

010

5

kke

50.986305即保险公司获利不少于

10000元的概率在

98%以上P（保险公司获利不少于

20000）P(30000

2000X

20000)

P

(

X

5)5

5kk

!k

05

e0.615961即保险公司获利不少于

20000元的概率约为

62%15.已知随机变量

X

的密度函数为f(x)=Ae求：（1）A

值；（2）P{0<X<1};

(3)|x|,

∞<x<+∞,F(x).【解】（1）由f

(

x

)dx1得Ae|x|0dx

2

Aex

dx

2A1故12A.2

x(2)

p(0

X

1)2

0

11e

dx11(1

e

)2(3)当x<0时，F

(x)1

exx2x

1

e

dx21

e0

2当x≥1

0时x，F

(x)|x|dx1exdxe

dxx0x故2x12

ex

,

x

0121

2

1

exF

(x)1e

x

016.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命

X

的密度函数为f(x)=100

,x

100,x

20,

x

100.1求：（1）在开始

150小时内没有电子管损坏的概率；在这段时间内有一只电子管损坏的概率；F（x）.【解】150

100100

x

2（1）

P(

X

150)dx3.10127p

[P(

X3150)]3

2

3(

)

8122

31

2

43

3

9(2)

p

C (

)(3)当x<100时F（x）=0x当x≥100时F

(x

)f

(t)dt100100xf

(t)dtf(t)dtx

100100

t

2100dt

x

1故1F

(

x

)x100

,x

1000,x

017.在区间［0，a］上任意投掷一个质点，以

X

表示这质点的坐标，设这质点落在［0，a］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求

X

的分布函数.【解】

由题意知

X~∪[0,a]，密度函数为1

,

0

x

aaf

(

x

)0,其他故当

x<0时F（x）=0x

x当0≤x≤a

时

F

(x)

f

(t)dt0当x>a

时，F（x）=1即分布函数f

(t)dx

t1

x

dt0

a

a0,xF

(x)a,x

00

x

ax

a1,18.设随机变量

X

在[2，5]上服从均匀分布.现对

X

进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于

3的概率.【解】X~U[2,5]，即1

,

2

x

53

0,f

(

x

)其他53

31

dx3P(

X

3)2故所求概率为2

2

2

1203

33

273C23

3(

)p

C3

(

)19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间

X（以分钟计）服从指数分布

E

(15).某顾客在窗口等待服务，若超过

10分钟他就离开.他一个月要到银行

5次，以Y

表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出

Y

的分布律，并求

P{Y≥1}.1【解】依题意知

X

~

E()，即其密度函数为5x1e

5

,

x

050,

x

0f

(x)该顾客未等到服务而离开的概率为110

5x10P(

X

10)e

5

dx

e2Y

~

b(5,e

2

),即其分布律为P(Y

k

)P(Y

1)

15Ck

(e

2

)k

(1 e

2

)5P(Y

0)

1

(1

ek

,

k

0,1,

2,3,

4,52

)5

0.516720.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间

X

服从N（40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间

X

服从

N（50，42）.12若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？又若离火车开车时间只有

45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】（1）若走第一条路，X~N（40，102），则1010P(

X

60)

Px

40

60

40(2)

0.97727若走第二条路，X~N（50，42），则4X

50

4

60

50P(

X

60)

P(2.5)0.9938

++故走第二条路乘上火车的把握大些.（2）若X~N（40，102），则10X40

1045

40P(

X

45)

P若X~N（50，42），则(0.5)0.691544P(

X

45)

P1X

50

45

50(

1.25)(1.25)

0.1056故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设X~N（3，22），10（1）

求

P{2<X≤5}，P{

4<X≤10}，P{｜X｜＞2}，P{X＞3};（2）确定

c

使P{X＞c}=P{X≤c}.22 3

2

X

3

5

32【解】（1）

P(2X

5)

P12(1)

1

2

(1)

10.8413

1

0.6915

0.5328P(

4

X

10)

P

224

2

3

X

3

10

372

72)

P

(

X

2

2)

P

(

X0.9996P(|

X

|2)2X

3

2

3222PPX

32

311511522220.691510.99380.6977P(

X

3)

P(

X3

23

-

3

)1(0)0.52(2)

c=322.由某机器生产的螺栓长度（cm）X~N（10.05,0.062）,规定长度在

10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率.X

10.05

0.12【解】

P(|

X

10.05

|

0.12)

P0.06

0.06(2)

(

2)

2[110.0456(2)]23.一工厂生产的电子管寿命

X（小时）服从正态分布

N（160，σ2），若要求

P{120＜X≤200}≥0.8，允许σ最大不超过多少？16

X

1600

200

160【解】

P(120

X

200)

P

12040402401

0.8故401.2931.251024.设随机变量

X

分布函数为A

Be0,xt

,x

(

0,

0),x

0.F（x）=求常数

A，B；求P{X≤2}，P{X＞3}；求分布密度

f（x）.lim

F

(

x

)

1x

0

x

0A

1B【解】（1）由x

得lim

F

(x) lim

F

(x)1（2）

P(

X

2)

F

(2)

1

eP(

X

3)

1

F

(3)231

(1

e

)

e3ex

,x

00,

x

0(3)

f

(x)

F

(x)25.设随机变量

X

的概率密度为x,f（x）=

2

x,0,0

x

1,1

x

2,其他.求X

的分布函数

F（x），并画出

f（x）及

F（x）.【解】当x<0时F（x）=0x

0xf

(t)dt

f

(t)dt

f

(t)dt0当0≤x<1时F

(x

)x

x

2tdt02x当1≤x<2时F

(x

)f

(t)dt010xf

(t)dt1101321xf

(t)dtf

(t)dttdt(2

t)dt2x2x22x

222x

1x当x≥2时F

(x

)f

(t)dt

1故2x221,0,x2,x

00

x

1F

(x)2x

1,1

x

2x

226.设随机变量

X

的密度函数为（1）

f(x)=

ae

|x|,λ>0;101(2)

f(x)=bx,

0

x

1,,

1

x

2,x

20,

其他.试确定常数

a,b，并求其分布函数

F（x）.【解】（1）由02a

dx|x|aexf

(x)dx2a1知1edx故2a即密度函数为

e2e

x

2xx,0f

(x)x

012xxxx当x≤0时F

(x)f

(

x)dxe

dxexdx

22x0xex当x>0时F

(x)f

(

x)dx02e

dx11

e2x故其分布函数1

2

1

e1e

,x

2x

,x

0F

(x)x

01

xb=b1xdx221b

0f

(x)dx211(2)由得1dx2即X

的密度函数为x

,

0

x

1f

(x)

1

,

1

x

2x20, 其他当x≤0时F（x）=000xx当0<x<1时F

(x

)f

(x)dx

f

(x)dxf

(x)dx0xxdx

x

221xdx02x

11

xx0当

1≤x<2

时

F

(x)

f

(x)dx

0dxdx3

12

x当x≥2时F（x）=1故其分布函数为0,x2,

0

x

1x

0F

(x)3

21

,

1

x

22

x101,x

227.求标准正态分布的上 分位点，（1） =0.01，求

z

;/

2

.0.01（2） =0.003，求

z

，z【解】（1）

P(

X z

)即即1(z

)

0.01(z

)

0.09故z

2.33z

)

0.003

得（2）由P(X1(z

)

0.003即查表得(z

)

0.997z2.75由

P(

X

z/

2

)0.0015

得1(z/

2

)0.0015即查表得(z/

2

)0.9985z/

22.9628.设随机变量

X

的分布律为X2

1013Pk求Y=1/5

1/6X2

的分布律.1/51/1511/30【解】Y

可取的值为

0，1，4，9P(Y

0)

P(

X

0)51P(Y

1)

P(

X1)

P(

X

1)1

1

76 15

30P(Y

4)

P(

X2)15P(Y

9)

P(

X

3)1130故Y

的分布律为Y0149Pk1/57/301/511/3029.设P{X=k}=(1

)k,k=1,2,…,令2Y1, 当X

取偶数时1, 当X

取奇数时.求随机变量

X

的函数

Y

的分布律.【解】

P(Y

1)

P

(

X

2)

P

(

X

4)P

(

X

2

k

)1

2

1

41(

)2(

)2(

)

/(141(

2k)2)1

14

3P(Y101)

1

P(Y

1)2330.设X~N（0，1）.123求Y=eX

的概率密度；求Y=2X2+1的概率密度；求

Y=｜X｜的概率密度.【解】（1）当y≤0时，FY

(y)P(Yy)0当y>0时，FY

(y)P(Yy)P

(

e

xy)P(

Xln

y)ln

yf

X

(x)dx故12πfY

(

y)dFyY

(

y)

y

1x

f

(ln

y)y

1

e2y/2ln,

y

0(2)

P(Y

2

X

2

1

1)

1当

y≤1

时

FY

(

y)

P(Y

y)

0当

y>1

时

FY

(

y)

P(Y

y)P

(

2

X

2

1

y

)P

X

2y

122PXy

1y

12(

y

1)/

2f

X

(

x)dx(

y

1)

/

22y

1d12f

Xy

12Y故f

(y)dyYF

(

y)4y

1fX1

2e(

y

1)/

4

,

y121y

12π(3)

P(Y

0)

1当

y≤0

时

FY

(

y)

P(Y

y)

0当

y>0

时

FY

(

y)

P(|

X

|

y)

P(y

X

y)yXf

(x)dxy故

fY

(

y)

dyd

FY(

y)

fX

(

y)

Xf

(

y)22π

e102y

/

2

,

y031.设随机变量

X~U（0,1），试求：12Y=eX

的分布函数及密度函数；Z= 2lnX

的分布函数及密度函数.【解】（1）

P(0X

1)

1故

P(1

Ye

Xe)

1当y1

时FY

(y

)P(Y

y

)

010当

1<y<e

时

YF

(

y)

P

(

e

X

y)

P(

X

ln

y)0ln

ydx

ln

y当y≥e时YF

(y)P

(

e

X

y)

1即分布函数FY(

y)0,1,y

1ln

y,

1

y

ey

e故Y

的密度函数为fY

(

y)11

y

ey,0, 其他（2）由P（0<X<1）=1知P

(

Z

0)

1当

z≤0

时，

FZ

(

z

)

P(Zz)0当

z>0

时，

FZ

(

z

)

P(Zz)P( 2

ln

X

z)P(ln

Xz

)P(

X

ez

/

2

)21edx

1

ez

/

2z/

2即分布函数FZ(

z

)0-

,z

/

2z

01-e

,z0故Z

的密度函数为fZ(

z

)1

e20,0z

/

2

z,z

032.设随机变量

X

的密度函数为f(x)=

π20,2

x

,0

x

π,其他.试求

Y=sinX

的密度函数.【解】

P(0

Y

1)

1当

y≤0

时，

FY

(

y)

P(Y

y)

0y)

P(sin

X

y)当

0<y<1

时，

FY

(

y)

P(YP(0

X

arcsin

y)

P

(

π

arcsin

y

X

π)0π22x

dxπ

arcsin

yπ2arcsin

y

2

x

dx

π1π2

π21（arcsin

y2

） 1-

（π-arcsin2

y）1fY

(

y)2

arcsin

yπ当

y≥1

时，

FY

(

y)

1故Y

的密度函数为2π10,,

0

y

1y2其他33.设随机变量X的分布函数如下：(2)

,1

,

x

(1)

,1

x

2

x

(3)

.F

(x)试填上(1),(2),(3)项.【解】由lim

F

(

x

) 1

知②填

1。x由右连续性

lim

F

(

x

)

F

(

x

0

)x

x0+从而③亦为

0。即1

知x00

，故①为

0。1

,

x

02xF

(x)1x

01,34.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现

6点为止，求抛掷次数

X

的分布律.1.且A1

与A2

相互独立。再设

C={每次【解】设Ai={第i枚骰子出现6点}。（i=1,2）,P(Ai6)=抛掷出现

6点}。则P(C)

P(

A1

A2

)

P(

A1)

P(

A2

)

P(

A1)P(

A2

)1

111116

66610故抛掷次数

X

服从参数为 的几36何分布。31611035.随机数字序列要多长才能使数字

0至少出现一次的概率不小于

0.9?【解】令X

为0出现的次数，设数字序列中要包含

n

个数字，则X~b(n,0.1)P(

X

1)

1

P(

X

0)

n

1 C0

(0.1)0

(0.9)n

0.9即得(0.9)n

0.1n≥22即随机数字序列至少要有

22个数字。36.已知2x.0,1F（x）=

x

,21,0x,1x

0,12则F（x）是（（A）连续型；）随机变量的分布函数.（B）离散型；（C）非连续亦非离散型.【解】因为

F（x）在（

∞,+∞）上单调不减右连续，且

lim

F

(

x

)

0xlim

F

(x

) 1

,所以

F（x）是一个分布函数。x但是

F（x）在

x=0处不连续，也不是阶梯状曲线，故

F（x）是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选（C）37.设在区间[a,b]上，随机变量

X

的密度函数为

f(x)=sinx，而在[a,b]外，f(x)=0，则区间[a,b]等于（

）(A)

[0,π/2];

(B)[0,π];(C)

[

π/2,0];(D)

[0,2

3

π

].ππ

/

2【解】在[0,2

]上sinx≥0，且0πsin

xdx1

.故f(x)是密度函数。在[0,π]上0sin

xdx2.故1f(x)不是密度函数。0

，故

f(x)不是密度函数。3在[2π

,0]上sin

x在[0, π]

上，当π数。

2故选（A）。3xπ

时，sinx<0，f(x)也不是密度函238.设随机变量

X~N（0，σ2），问：当σ取何值时，X

落入区间（1，3）的概率最大？X

3

)( )令g(

)1【解】因为

X

~

N

(0,

2

),

P(1

X

3)

P(

1(

3

)利用微积分中求极值的方法，有g

(

)(232(3

)

)2e

1/

2

[122111(

)122

21122e1/

228

/

23e9

/

223e

]

0令204ln

3得,则02ln

3又g

(0)

002ln

3故为极大值点且惟一。2故当 时

X

落入区间（1，3）的概率最大。ln

339.设在一段时间内进入某一商店的顾客人数

X

服从泊松分布

P（λ），每个顾客购买某种物品的概率为

p，并且各个顾客是否购买该种物品相互独立，求进入商店的顾客购买这种物品的人数

Y

的分布律.m

!em【解】

P(

X

m),

m

0,1,

2,设购买某种物品的人数为

Y，在进入商店的人数

X=m

的条件下，Y~b(m,p)，即P(Y

k

|

X

m) Ck

pk

(1m由全概率公式有p

)

m

k

,

k

0,1, ,

mP(Y

k

)

P(

Xm)P(Y

k

|

X

m)m

k(

pe)kemC

kp

(k1

p)

mm

!(

pe)k

,p

k

0,1,

2,k

!emmkm

kk(1

p

)pk

(1

p)mkm

kk

!

mk

!ee(

k

p)k

!(m

k

)![

(1m

k

p)](m

k

)!10此题说明：进入商店的人数服从参数为λ的泊松分布，购买这种物品的人数仍服从泊松分布，但参数改变为

λp.40.设随机变量

X

服从参数为

2

的指数分布.证明：Y=1 e

2X

在区间（0，1）上服从均匀分布.【证】X

的密度函数为2

x

,2e

x

00,

x

0Xf

(x)由于

P（X>0）=1，故

0<1 e

2X<1，即P（0<Y<1）=1当

y≤0

时，FY（y）=02

x当y≥1时，FY（y）=1当

0<y<1

时，

FY

(

y)

P(Y

y)

P(e

1

y)P(

X

1

ln(1

y))10221

ln(1

2ye)

2

xdx0y即Y

的密度函数为fY(

y)0

y

11,0,其他即Y~U（0，1）41.设随机变量

X

的密度函数为90,f(x)=,3

x

6,其他.1

,

032x

1,若k

使得

P{X≥k}=2/3，求

k

的取值范围.(2000研考)213k

1【解】由

P（X≥k）= 知

P（X<k）=3若k<0,P(X<k)=0k

1若0≤k≤1,P(X<k)=0

3dx3

3当k=1时P（X<k）=130

311

1dx13k若1≤k≤3时P（X<k）=0dx2

13

931

1k

2若3<k≤6，则P（X<k）=若

k>6,则P（X<k）=10

3dx3

9dx

1k故只有当

1≤k≤3时满足

P（X≥k）=

2.342.设随机变量

X

的分布函数为F(x)=0,0.4,x1,1

x

1,0.8,1,1

x

3,x

3.求

X

的概率分布. （1991

研考）【解】由离散型随机变量X分布律与分布函数之间的关系，可知X的概率分布为X113P0.40.40.243.设三次独立试验中，事件

A

出现的概率相等.若已知

A

至少出现一次的概率为

19/27，求A在一次试验中出现的概率.【解】令X

为三次独立试验中

A

出现的次数，若设

P（A）=p,则X~b(3,p)由

P（X≥1）=

19

知

P（X=0）=（1

p）3=

827

27故p=1344.若随机变量

X

在（1，6）上服从均匀分布，则方程

y2+Xy+1=0有实根的概率是多少？【解】1

,1

x

60

5, 其他f

(

x

)2)

P(

X

2)45P(

X

2

4

0)

P(

X

2)

P(

X45.若随机变量

X~N（2，σ2），且

P{2<X<4}=0.3，则P{X<0}=

.102

2

X

2

4

2X

4)

P(

)【解】

0.3

P(22(0)2故(

2

)因此2(

)

0.5(

)

0.8P(

X

0)

X

2

0

2P()

()1 (

2

)

0.2假设一厂家生产的每台仪器，以概率

0.7可以直接出厂；以概率

0.3需进一步调试，经调 试后以概率

0.8可以出厂，以概率

0.2定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了

n(n≥2) 台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）.求全部能出厂的概率α；其中恰好有两台不能出厂的概率β；其中至少有两台不能出厂的概率θ.10n【解】设A={需进一步调试}，B={仪器能出厂}，则A

={能直接出厂}，AB={经调试后能出厂}由题意知

B=A

∪AB，且P(

A)0.3,

P(B

|

A)0.8P(

AB)P(

A)P(B

|

A)0.30.8

0.24P(B)P(

A)

P(

AB)0.70.24

0.94令X

为新生产的

n

台仪器中能出厂的台数，则

X~6（n，0.94）,故P(

X

n)P(

X

nP(

X

n(0.94)n2)2

C

(n0.294)

2

(0.06)2)

1

P(

X

n

1)

P(

X

n)1

n(0.94)n

10.06

(0.94)n47.某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为

72分，96分以上的占考生总数的

2.3%，试求考生的外语成绩在

60分至

84分之间的概率.【解】设X

为考生的外语成绩，则

X~N（72，σ2）0.023

P(

X

96)

PX

72

96

721(

24

)故24(

)

0.977查表知242

,即σ=12从而X~N（72，122）故P(60X84)P601272

X1272

84

7212(1)(

1)2

(1)

10.68248.在电源电压不超过

200V、200V~240V和超过

240V三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为

0.1，0.001和0.2（假设电源电压

X

服从正态分布

N（220，252））.试求：（1）该电子元件损坏的概率α;(2)该电子元件损坏时，电源电压在

200~240V的概率β【解】设A1={电压不超过

200V}，A2={电压在

200~240V}，A3={电压超过240V}，B={元件损坏}。由

X~N（220，252）知P(

A1)

P(

X200)PX

220

200

22025

25(

0.8)1

(0.8)

0.212P(

A2

)

P(200

X

240)200

220

X

220

240

22025

25

25(0.8)

(

0.8)

0.576PP(

A3

)

P(

X

240)

1

0.212

0.576

0.212由全概率公式有3P(B)P

(

A

)

P

(

B

|

A

)i

i0.0642i

1由贝叶斯公式有2P(

A2

)P(B

|

A2

)P(

B)P(

A

|

B)0.009【解】

fX(x)49.设随机变量

X

在区间（1，2）上服从均匀分布，试求随机变量

Y=e2X

的概率密度

fY(y).1

x

21,0, 其他因为

P（1<X<2）=1,故P（e2<Y<e4）=1当y≤e2

时FY（y）=P(Y≤y)=0.当

e2<y<e4

时，

YF

(

y)

P(Y

y)

P(e2

X

y)P(1

X

1

ln

y)21121102

ln

dy

xln

y

1即Y当

y≥e4

时，

FY

(

y)

P(Y

y)

10,F

(

y)

1

n

y1,

e2

yl21,ye2e4ye4故fY(

y)1

,

e2ye42

y0, 其他50.设随机变量

X

的密度函数为Xf

(x)=