2023年中考数学常见几何模型全归纳(全国通用版)：专题13 最值模型-瓜豆原理（解析版）

专题13最值模型-瓜豆原理动点轨迹问题是中考的重要题型，受学生解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。【模型解读】瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。模型1、运动轨迹为直线模型1-1如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．模型1-2如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？解析：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。理由：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值；2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定：=1\*GB3①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；=2\*GB3②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；=3\*GB3③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④若动点轨迹用上述方法都合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。例1．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，在中，，，，且，若，点是线段上的动点，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据相似三角形的性质得到，得到，，过B作于H，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，当时，PQ的值最小，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：，，，解得：（负值舍去），，，，，，，，过B作于H，，，，，当时，PQ的值最小，，，，，故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．例2．（2021·四川广元·中考真题）如图，在中，，，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．则的最小值是（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】以CD为边作等边三角形CDE，连接EQ，由题意易得∠PDC=∠QDE，PD=QD，进而可得△PCD≌△QED，则有∠PCD=∠QED=90°，然后可得点Q是在QE所在直线上运动，所以CQ的最小值为CQ⊥QE时，最后问题可求解．【详解】解：以CD为边作等边三角形CDE，连接EQ，如图所示：∵是等边三角形，∴，∵∠CDQ是公共角，∴∠PDC=∠QDE，∴△PCD≌△QED（SAS），∵，，点D是边的中点，∴∠PCD=∠QED=90°，，∴点Q是在QE所在直线上运动，∴当CQ⊥QE时，CQ取的最小值，∴，∴；故选B．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题，熟练掌握等边三角形的性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题是解题的关键．例3．（2022·湖北·鄂州市三模）如图，在边长为的正方形中，是边的中点，是边上的一个动点不与重合，以线段为边在正方形内作等边，是边的中点，连接，则在点运动过程中，的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接AM，在点运动过程中，点M在∠EAF的平分线上，所以当AM⊥PM时，PM取得最小值，根据等边三角形的性质得到AM⊥EF，∠EAM=30°，求得∠PAM=60°，进而即可得到PM最小值．【详解】解：∵P是边AD的中点，AD=6，∴AP=3，如图，连接AM，∵等边，是边的中点，∴AM平分∠EAF，∴在点运动过程中，点M在∠EAF的平分线上，∴当AM⊥PM时，PM取得最小值，∵是等边的边的中点，∴PM⊥AM，∠EAM=30°，∴∠PAM=60°，∴PM=AP=，故选：C．【点睛】本题考查了正方形的性质，垂线段最短，等边三角形的性质，推出在点E运动过程中，点M在∠EAF的平分线上，是解题的关键．例4．（2022·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P是x轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是__________．【答案】2【分析】点F运动所形成的图象是一条直线，当OF⊥F1F2时，垂线段OF最短，当点F1在x轴上时，由勾股定理得：，进而得，求得点F1的坐标为，当点F2在y轴上时，求得点F2的坐标为（0，-4），最后根据待定系数法，求得直线F1F2的解析式为y=x-4，再由线段中垂线性质得出，在Rt△OF1F2中，设点O到F1F2的距离为h，则根据面积法得，即，解得h=2，根据垂线段最短，即可得到线段OF的最小值为2．【详解】解：∵将线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，∴∠APF=60°，PF=PA，∴△APF是等边三角形，∴AP=AF，如图，当点F1在x轴上时，△P1AF1为等边三角形，则P1A=P1F1=AF1，∠AP1F1=60°，∵AO⊥P1F1，∴P1O=F1O，∠AOP1=90°，∴∠P1AO=30°，且AO=4，由勾股定理得：，∴，∴点F1的坐标为，如图，当点F2在y轴上时，∵△P2AF2为等边三角形，AO⊥P2O，∴AO=F2O=4，∴点F2的坐标为（0，-4），∵，∴∠OF1F2=60°，∴点F运动所形成的图象是一条直线，∴当OF⊥F1F2时，线段OF最短，设直线F1F2的解析式为y=kx+b，则，解得，∴直线F1F2的解析式为y=x-4，∵AO=F2O=4，AO⊥P1F1，∴，在Rt△OF1F2中，OF⊥F1F2，设点O到F1F2的距离为h，则，∴，解得h=2，即线段OF的最小值为2，故答案为2．【点睛】本题属于三角形的综合题，主要考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等边三角形的性质以及待定系数法的运用等，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形以及面积法求最短距离，解题时注意勾股定理、等边三角形三线合一以及方程思想的灵活运用．例5．（2022·福建福州模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，将绕点逆时针旋转，得到点，连接，则最小值为______．【答案】【分析】设，作轴，作，作，根据可证明，由此可求，令，，可得在直线上运动，当时，的值最小，再由得，进而得出，即可得出答案．【详解】设，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，∵，∴.∵，∴.∵，∴，∴，.∵，∴，，∴，令，，∴，∴点在直线上运动，当时，的值最小.在中，令，则，令，则，∴，，∴．∵，∴，∴，在中，令，则，∴，∴.∵，即，解得，所以的最小值为.故答案为：．【点睛】本题主要考查了一次函数的图象及性质，旋转的性质，三角形全等的判定及性质，确定点的运动轨迹是解题的关键．例6．（2022·河南南阳·二模）如图所示，，，于点B，点D是线段BC上一个动点，且于点D，，连接CE，则CE长的最小值是______．【答案】3【分析】在BC上截取，构造相似，可得出，过C点作CH⊥EQ可得出即可求出CE的长【详解】解：在BC上截取，则，中，，∵，∴在中，，∴∴，，∴，∴，∴，∴的角度固定不变，∴CH为CE的最小值．过C点作CH⊥EQ∴∠CHQ=∠ABQ=90°∵∴∠CQH=∠QAB∴，∵，∴，CE的最小值是3.【点睛】本题主要考查相似的性质与性质，正确作出辅助线是解题的关键．【模型解读】模型2、运动轨迹为圆弧模型2-1.如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．【总结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，由Q为AP中点可得：AM=AO．Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．模型2-2.如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，Q点轨迹是？【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．模型2-3.如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？【分析】考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．【模型原理】动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。确定动点轨迹为圆或者圆弧型的方法：1）动点到定点的距离不变，则点的轨迹是圆或者圆弧。2）当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆，具体运用如下：=1\*GB3①见直角，找斜边，想直径，定外心，现圆形；=2\*GB3②见定角，找对边，想周角，转心角，现圆形。例1．（2022·四川乐山·三模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，点D为线段BC上一动点．以CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，则BE的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】连接CE，可得∠CED＝∠CEA＝90°，从而知点E在以AC为直径的⊙Q上，继而知点Q、E、B共线时BE最小，根据勾股定理求得QB的长，即可得答案．【详解】解：如图，连接CE，∴∠CED＝∠CEA＝90°，∴点E在以AC为直径的⊙Q上，∵AC＝10，∴QC＝QE＝5，当点Q、E、B共线时BE最小，∵BC＝12，∴QB＝＝13，∴BE＝QB﹣QE＝8，故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理和勾股定理，解决本题的关键是确定E点运动的规律，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．例2．（2021·山东威海·中考真题）如图，在正方形ABCD中，，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若，则BG的最小值为__________________．【答案】．【分析】根据SAS证明△DEA≌△AFB，得∠ADE=∠BAF，再证明∠DGA=90°，进一步可得点G在以AD为直径的半圆上，且O，G，B三点共线时BG取得最小值．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC-∠DAE，AD=AB，∵AE=BF∴△DEA≌△AFB，∴∠DAF+∠BAF=∠DAB=90°，∠ADE+∠DAF=90°∴∠DGA=90°∴点G在以AD为直径的圆上移动，连接OB，OG，如图：∴在Rt△AOB中，∠OAB=90°∴OB=∵∴当且公当O，G，B三点共线时BG取得最小值．∴BG的最小值为：．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，三角形三边关系，圆周角定理等相关知识，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．例3．（2021·四川达州·中考真题）如图，在边长为6的等边中，点，分别是边，上的动点，且，连接，交于点，连接，则的最小值为___________．【答案】．【分析】首先证明，推出点P的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的弧．连接CO交⊙O于，当点P运动到时，CP取到最小值．【详解】如图所示，∵边长为6的等边，∴，又∵∴∴∴∴∴点P的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的弧此时连接CO交⊙O于，当点P运动到时，CP取到最小值∵，，∴∴，∴又∵∴，∴即故答案为：【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、圆、特殊角的三角函数等相关知识．关键是学会添加辅助线，该题综合性较强．例4．（2022·广东·二模）如图，在中，AB是的直径，，AD，BC交于点E，点D为的中点，点G为平面内一动点，且，则AG的最小值为__________．【答案】##【分析】连接AC，以BE为直径作，先证明点G在上，连接AM，当AM于交于点G时，此时AG最短，再求得BE＝AE＝，CE＝AE＝1，则MG＝MB＝ME＝BE＝1，得到CM＝CE＋ME＝2，由勾股定理得到AM，即可得到答案．【详解】解：连接AC，以BE为直径作，∵BG⊥EG，∴∠BGE＝90°，∴点G在上，连接AM，当AM于交于点G时，此时AG最短，如图，∵AD＝BC，∴，∵点D为的中点，∴，∴∠CBD＝∠CBA＝∠BAD＝∠CAD，∴AE＝BE，∵AB为的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAD＋∠BAD＋∠ABC＝90°，∴∠CBD＝∠CBA＝∠BAD＝∠CAD＝30°，∴AC＝AB＝×2＝，∴BE＝AE＝，CE＝AE＝1，∵MG＝MB＝ME＝BE＝1，∴CM＝CE＋ME＝2，∴AM＝，∴AG＝AM－MG＝，即AG的最小值为，故答案为：【点睛】此题考查了圆周角定理、勾股定理、解直角三角形等知识，作辅助圆是解题的关键．例5．（2022·山东·二模）如图，中，，，，点是上的点，将沿翻折，得到，过点作交的平分线于点，连接，则长度的最小值为______．【答案】【分析】先求出AC=，AB=，由平行线的性质和角平分线的性质可求AB=BF=，由勾股定理可求CF的长，由点A'在以点C为圆心，AC为半径的圆上，则当点A'在FC上时，A'F有最小值，即可求解．【详解】解：如图，，，，，，，，平分，，，，，，，将沿翻折，得到，，点在以点为圆心，为半径的圆上，则当点在上时，有最小值，最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了翻折变换，锐角三角函数，直角三角形的性质等知识，求出CF的长是本题的关键．例6．（2022·广西贵港·三模）如图，在△ABC中，，，，点D在AC边上，且，动点P在BC边上，将△PDC沿直线PD翻折，点C的对应点为E，则△AEB面积的最小值是（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】连接BD，作点C关于BD的对称点N，以点D为圆心，以DC为半径作，过点D作DM⊥AB于M，交于Q．根据勾股定理，相似三角形的判定定理和性质求出DM的长度，根据轴对称的性质求出QM的长度，根据点E的运动轨迹确定当点E与点Q重合时，点E到AB的距离最短为QM，再根据三角形面积公式求解即可．【详解】解：如下图所示，连接BD，作点C关于BD的对称点N，以点D为圆心，以DC为半径作，过点D作DM⊥AB于M，交于Q．∵，，，DM⊥AB于M，∴∠AMD=∠ACB，．∵∠MAD=∠CAB，AD=2，∴，DC=AC-AD=1．∴，DQ=DC=1．∴．∴．∵动点P在BC边上，△PDC沿直线PD翻折，点C的对应点为E，∴DE=DC=DN．∴点E在上移动．∴当点E与点Q重合时，点E到AB的距离最短为QM．∴△AEB面积的最小值为．故选：A．【点睛】本题考查勾股定理，相似三角形的判定定理和性质，轴对称的性质，三角形面积公式，综合应用这些知识点是解题关键．例7．（2020·四川成都市·中考真题）如图，在矩形中，，，，分别为，边的中点．动点从点出发沿向点运动，同时，动点从点出发沿向点运动，连接，过点作于点，连接．若点的速度是点的速度的2倍，在点从点运动至点的过程中，线段长度的最大值为_________，线段长度的最小值为_________．【答案】【分析】连接EF，则EF⊥AB，过点P作PG⊥CD于点G，如图1，由于，而PG=3，所以当GQ最大时PQ最大，由题意可得当P、A重合时GQ最大，据此即可求出PQ的最大值；设EF与PQ交于点M，连接BM，取BM的中点O，连接HO，如图2，易证△FQM∽△EPM，则根据相似三角形的性质可得EM为定值2，于是BM的长度可得，由∠BHM=∠BEM=90°可得B、E、H、M四点共圆，且圆心为点O，于是当D、H、O三点共线时，DH的长度最小，最小值为DO－OH，为此只需连接DO，求出DO的长即可，可过点O作ON⊥CD于点N，作OK⊥BC于点K，如图3，构建Rt△DON，利用勾股定理即可求出DO的长，进而可得答案．【详解】解：连接EF，则EF⊥AB，过点P作PG⊥CD于点G，如图1，则PE=GF，PG=AD=3，设FQ=t，则GF=PE=2t，GQ=3t，在Rt△PGQ中，由勾股定理得：，∴当t最大即EP最大时，PQ最大，由题意知：当点P、A重合时，EP最大，此时EP=2，则t=1，∴PQ的最大值=；设EF与PQ交于点M，连接BM，取BM的中点O，连接HO，如图2，∵FQ∥PE，∴△FQM∽△EPM，∴，∵EF=3，∴FM=1，ME=2，∴，∵∠BHM=∠BEM=90°，∴B、E、H、M四点共圆，且圆心为点O，∴，∴当D、H、O三点共线时，DH的长度最小，连接DO，过点O作ON⊥CD于点N，作OK⊥BC于点K，如图3，则OK=BK=1，∴NO=2，CN=1，∴DN=3，则在Rt△DON中，，∴DH的最小值=DO－OH=．故答案为：，．【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、四点共圆以及线段的最值等知识，涉及的知识点多、综合性强、具有相当的难度，属于中考压轴题，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．课后专项训练1．（2022·安徽·合肥市三模）如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在BC，AB边上，连接DE，将△BDE沿DE翻折，使点B落在点F的位置，连接AF，若四边形BEFD是菱形，则AF的长的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】连接BF交ED于点0，设EF与AC交于点G．根据菱形的性质可得点F在∠ABC的平分线上运动，从而得到当AF⊥BF时，AF的长最小．再证明△BEO∽△BAF，可得，再证明△AGE∽△ACB，，从而得到GF=1，再由勾股定理，即可求解．【详解】解：如图，连接BF交ED于点O，设EF与AC交于点G．∵四边形BEFD是菱形，∴BF平分∠ABC，∴点F在∠ABC的平分线上运动，∴当AF⊥BF时，AF的长最小．在菱形BEFD中，BF⊥ED，OB=OF，EF∥BC，∴EO∥AF，∴△BEO∽△BAF，∴，∴，在中，AC=4，BC=3，∴AB=5，∴BE=AE=2.5，∵AF⊥BF，∴EF=2.5，∵EF∥BC，∴△AGE∽△ACB，∴，∴，∴GF=EF-EG=1，∵∠AGF=∠AGE=90°，∴．故选：A【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，菱形的性质，准确得到点F在∠ABC的平分线上运动是解题的关键．2．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，在中，，点P为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为_________．【答案】##2.4【分析】利用勾股定理得到BC边的长度，根据平行四边形的性质，得知OP最短即为PQ最短，利用垂线段最短得到点P的位置，再证明利用对应线段的比得到的长度，继而得到PQ的长度．【详解】解：∵，∴，∵四边形APCQ是平行四边形，∴PO＝QO，CO＝AO，∵PQ最短也就是PO最短，∴过O作BC的垂线，∵,∴,∴，∴，∴，∴则PQ的最小值为，故答案为：．【点睛】考查线段的最小值问题，结合了平行四边形性质和相似三角形求线段长度，本题的关键是利用垂线段最短求解，学生要掌握转换线段的方法才能解出本题．3．（2022·广东·东莞二模）如图，已知等腰三角形PAB，∠BAP＝45°，AB＝AP，将三角形放在平面直角坐标系中，若点A（，0），点B在y轴正半轴上，则OP的最小值是_____．【答案】##【分析】把△AOB绕点A顺时针旋转，使AB与线段AP重合，点O的对应点为C，直线CP交x轴于点D，证得△ACD为等腰直角三角形，可得点P的运动轨迹在直线CP上，当OP⊥CP时，OP最短，当OP⊥CP时，△OPD为等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性质和勾股定理即可解决问题．【详解】解：如图，把△AOB绕点A顺时针旋转，使AB与线段AP重合，点O的对应点为点C，直线CP交x轴于点D，则△AOB≌△ACP，∴∠BAO=∠PAC，∠C=∠AOB=90°，AC=AO=3，∵∠BAP=45°，即∠BAO+∠PAO=45°，∴∠PAC+∠PAO=45°，即∠CAO=45°，∴△ACD为等腰直角三角形，∴点P的运动轨迹在直线CP上，∴当OP⊥CP时，OP最短，当OP⊥CP时，△OPD为等腰直角三角形，∵△ACD为等腰直角三角形，AC=3，∴AD=AC=6，∴OD=6-3，∴OP=3-3．即OP最小值为3-3．故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，坐标与图形性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解决本题的关键是得到△ACD和△OPD为等腰直角三角形．4．（2022·广东·乐昌市二模）如图，△ABC中，，，，线段DE的两个端点D，E分别在边AC，BC上滑动，且，若点M，N分别是DE，AB的中点，则MN的最小值为_________．【答案】【分析】根据三角形斜边中线的性质求得，，由当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，即可求得MN的最小值．【详解】解：如图，连接CM、CN，中，，，，∴．∵，点M，N分别是DE，AB的中点，∴，．当C，M，N三点在同一条直线上时，MN取最小值，∴MN的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了三角形三边关系，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理的应用等，明确C、M、N在同一直线上时，MN取最小值是解题的关键．5．（2022·江苏宿迁·三模）如图在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．D是AB上一动点，以DC为斜边向右侧作等腰Rt△DCE，使∠CED＝90°，连接BE，则线段BE的最小值为__________________．【答案】【分析】以AC为斜边在AC右侧作等腰直角三角形AE1C，边E1C与AB交于点G，连接E1E延长与AB交于点F，作BE2⊥E1F于点E2，由Rt△DCE与Rt△AE1C为等腰直角三角形，可得∠DCE＝∠CDE＝∠ACE1＝∠CAE1＝45°，于是∠ACD＝∠E1CE，因此△ACD∽△E1CE，所以∠CAD＝∠CE1E＝30°，所以E在直线E1E上运动，当BE2⊥E1F时，BE最短，即为BE2的长．【详解】解：如图，以AC为斜边在AC右侧作等腰直角三角形AE1C，边E1C与AB交于点G，连接E1E延长与AB交于点F，作BE2⊥E1F于点E2，连接CF，∵Rt△DCE与Rt△AE1C为等腰直角三角形，∴∠DCE＝∠CDE＝∠ACE1＝∠CAE1＝45°∴∠ACD＝∠E1CE∵，∴△ACD∽△E1CE，∴∠CAD＝∠CE1E＝30°，∵D为AB上的动点，∴E在直线E1E上运动，当BE2⊥E1F时，BE最短，即为BE2的长．在△AGC与△E1GF中，∠AGC＝∠E1GF，∠CAG＝∠GE1F，∴∠GFE1＝∠ACG＝45°∴∠BFE2＝45°，∵∠CAD＝∠CE1E＝30°，∴点A，点C，点F，点E1四点共圆，∴∠AE1C＝∠AFC＝90°，且∠ABC＝60°，BC＝2，∴BF＝1，∵BF＝BE2，∴BE2＝，故答案为：．【点睛】本题旋转的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握含30°角和45°角的直角三角形的性质是解题的关键．6．（2022·广东·珠海市三模）如图正方形的边长为3，E是上一点且，F是线段上的动点．连接，将线段绕点C逆时针旋转90°得到，连接，则的最小值是_____．【答案】【分析】如图，连接BG．由△CBG≌△CDF，推出∠CBG＝∠CDF，因为∠CDF是定值，推出点G在射线BG上运动，且tan∠CBG＝tan∠CDF＝＝，根据垂线段最短可知，当EG⊥BG时，EG的长最短．【详解】解：如图，作射线BG．∵四边形ABCD是正方形，∴CB＝CD，∠BCD＝90°，∵∠FCG＝∠DCB＝90°，∴∠BCG+∠BCF=90°，∠DCF+∠BCF=90°，∴∠BCG＝∠DCF，在△CBG和△CDF中，∴△CBG≌△CDF，∴∠CBG＝∠CDF，∵∠CDF是定值，∴点G在射线BG上运动，且tan∠CBG＝tan∠CDF＝＝，根据垂线段最短可知，当EG⊥BG时，EG的长最短，此时tan∠EBG＝＝，设EG＝m，则BG＝3m，在Rt△BEG中，∵BE2＝BG2+EG2，∴4＝m2+9m2，∴m＝（负根已经舍弃），∴EG的最小值为，故答案为．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，垂线段最短是解答本题的关键．7．（2022·陕西师大附中三模）如图，正方形中，，点E为边上一动点，将点A绕点E顺时针旋转得到点F，则的最小值为__________．【答案】【分析】上截取，过点作交的延长线于点，证明，是等腰直角三角形，进而根据垂线段最短即可求解．【详解】如图，上截取，过点作交的延长线于点，正方形中，，将点A绕点E顺时针旋转得到点F，是等腰直角三角形,在射线上运动，则是等腰直角三角形，与点重合时，取得最小值，等于即的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，垂线段最短，求得的轨迹是解题的关键．8．（2022·浙江绍兴·二模）如图，在△ABC中，AB＝5，BC=3，AC＝4，点P从A点出发沿AB运动到B点，以CP为斜边作如图的等腰直角三角形PQC，∠PQC＝90°，则Rt△PQC的外心运动的路径长为_____，BQ的最小值为_____．【答案】

；

【分析】根据直角三角形的外心就是斜边的中点，可得外心的运动路径就是以AC、BC的中点为端点的线段；利用特殊位置，斜边为AC、BC的情形，确定点Q的运用路径是线段，利用垂线段最短，作出垂线段，利用三角形相似计算即可．【详解】AB＝5，BC=3，AC＝4，，，，Rt△PQC的外心就是斜边的中点，设AC、BC的中点分别是M、N，外心的运动轨迹就是线段MN，即三角形ABC的中位线，，当点P与点A重合时，即点，此时以CA为斜边作如图的等腰直角三角形AQ1C，当点P与点B重合时，即点，此时以CB为斜边作如图的等腰直角三角形BQ2C，为点Q的运动轨迹，BQ的最小值为点B到的垂线段的长度，过点B作，垂足为E，三角形AQ1C，三角形BQ2C均为等腰直角三角形，AC=4，BC=3，，，，，，，

，即，解得，故答案为：；．【点睛】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的外心，三角形相似的判定和性质，垂线段最短，熟练掌握相似三角形的判定和性质，明确垂线段最短是解题的关键．9．（2022·江苏盐城·三模）如图，A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（-1，0），点C为y轴上一动点，以AC为边向下作Rt，使得，，连接线段，则线段的最小值为____．【答案】##【分析】连接，作于，当点运动到点时，则点运动到，求得，为动点的运动轨迹，当运动到时，最小，据为角所对的直角边，为斜边即可求得答案．【详解】解：由题意得，连接，作于，如图所示：、当点运动到点时，则点运动到，，，由题意可得：直线为动点的运动轨迹，当运动到时，有最小值，，故答案为．【点睛】本题考查了计算线段最值的问题，根据题意，找准为动点的运动轨迹，当运动到时，有最小值是解题的关键．10．（2022·江苏连云港·二模）如图，在中，，，D是斜边AC的中点，E，F分别是AB，BC上的动点，且，连接EF，G为EF的中点，则点E，F在运动过程中，DG的最小值为______米．【答案】2【分析】根据等腰直角三角形的斜边中线性质得出∠A=∠C=45°，∠ABD=∠CBD=45°，AC=8，AD=BD，BD⊥AC，进而证得△ADE≌△BDF(SAS)，得到DE=DF，∠ADE=∠BDF，∠EDF=90°，从而证得点G在BD的垂直平分线上，证得点E，F运动过程中，点G经过的路线是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理求得结果．【详解】解：在中，，，∴∠A=∠C=45°，如图，连接BD、BG，∵，D是斜边AC的中点，∴∠ABD=∠CBD=45°，AC=8，AD=BD，BD⊥AC，在△ADE和△BDF中，，∴△ADE≌△BDF(SAS)，∴DE=DF，∠ADE=∠BDF，∴，∵G为EF的中点，∴，∴点G在BD的垂直平分线上，∴在点E、F运动过程中，点G经过的路线是的中位线，如图，∴DG的最小值为DG=BG=BD=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判断和性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．11．（2022·河南·二模）如图，正方形中，，，点坐标为，连接，点为边上一个动点，连接，过点作于点，连接，当取最小值时，点的纵坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取CD的中点为O1，连接EO1，所以点E的运动轨迹在以点O1为圆心，EO1为半径的圆上，证明当O1、E、A三点共线时，AE最小，作，，再证明，利用相似性质及已知条件求解即可．【详解】解：∵，∴，取CD的中点为O1，连接EO1，则，∴点E的运动轨迹在以点O1为圆心，EO1为半径的圆上，∵点为边上一个动点，∴E从O运动到C（逆时针），∴当O1、E、A三点共线时，AE最小，作，，∵，，点坐标为且OABC为正方形，∴，∵O1为CD中点，∴，，，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，即，解得：．故选：B【点睛】本题考查动点问题，勾股定理，相似三角形的判定及性质，解题的关键是找出当O1、E、A三点共线时，AE最小．12．（2022·山东临沂·二模）如图，正方形ABCD的边长为，直线EF经过正方形的中心O，并能绕着O转动，分别交AB、CD边于E、F点，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设正方形的中心为O，可证EF经过O点．连接OB，取OB中点M，连接MA，MG，则MA，MG为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．【详解】解：设正方形的中心为O，连接OB，取OB中点M，连接MA，MG，则MA，MG为定长，过点M作MH⊥AB于H．∵正方形ABCD的边长为，AC是正方形的对角线，∴BD=，∵直线EF经过正方形的中心O，∴OB=OD=2，∵M是OB中点，∴OM=BM=1，∵EF⊥BG，∴，∵Rt△BHM是等腰直角三角形，∴MH=BH=，AH=，由勾股定理可得MA=，∵AG≥AM-MG=，当A，M，G三点共线时，AG最小=，故选：D．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是求出AM，MG的值．13．（2022·安徽·三模）如图，点P是边长为6的等边内部一动点，连接BP，CP，AP，满足，D为AP的中点，过点P作，垂足为E，连接DE，则DE长的最小值为（

）A．2 B． C．3 D．【答案】D【分析】在中，，易得，故点P在的外接圆的弧BC上，当时，AP有最小值，则DE的最小值是．【详解】解：如图所示，∵PE⊥AC，∴是直角三角形，∵D为AP的中点，∴DE=AP，∴当AP最小时，DE最小．∵是等边三角形，∴∠1+∠PBC=60º，∵∠1=∠2，∴∠2+∠PBC=60º，∴∠BPC=180º-(∠2+PBC)=120º，∴点P在的外接圆的上，找出的外心点O并作出其外接圆，点P的运动轨迹就是，∴当时，AP有最小值，延长AP与BC交于点F，此时∠PFC=90º，∠PBC=∠PCB=30º，FC=BC==3，∴PF=FC·tan∠PFC=3×=，AF===3，∴AP的最小值=AF-PF=3-=2，∴DE的最小值=AP=×2=．故选：D【点睛】此题考查了等边三角形的性质、三角形外接圆的性质、解直角三角形、勾股定理等知识；解题的关键是正确作出辅助线灵活运用知识解题．14．（2022·江苏·徐州市三模）如图，中，，，为边上的一动点，以、为边作，则线段的最小值为______．【答案】【分析】根据平行四边形的性质可知点在平行的线段上运动，当时，最小，根据勾股定理即可求解．【详解】解：四边形是平行四边形，，则点在平行的线段上运动，当时，最小，，则，在中，，，，即最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，确定点的轨迹是解题的关键．15．（2022·广东·深圳市二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为边BC上一动点，F为AE中点，G为DE上一点，BF＝FG，则CG的最小值为______．【答案】【分析】如图1，连接AG，先证明AF=FG=EF，则∠AGE=∠AGD=90°；再根据圆周角定理可可得点G在以AD为直径的圆上运动，取AD的中点O，当O、G、C三点共线时，CG的值最小；连接OG，由圆的性质可得OD=OG=2,再用勾股定理求得OC的长，即可求得CG的长．【详解】解：如图1，连接AG，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，DC=AB=3，∵F是AE的中点∴BF=AE=AF=EF，∵BF=FG，∴AF=FG=EF，∴∠AGE=∠AGD=90°，∴点G在以AD为直径的圆上运动，取AD的中点O，如图2：当O，G，C三点共线时，CG的值最小，连接OG，∴OD=OG=2，∴OC=，∴CG的最小值为，故答案为：．【点睛】本题主要考查旋转的性质、矩形的性质、圆周角定理、线段的性质等知识点，正确添加常用辅助线、构造动点G的轨迹成为解答本题的关键．16．（2022·广东·测试·编辑教研五一模）如图，抛物线交轴于、两点在的左侧，交轴于点，点是线段的中点，点是线段上一个动点，沿折叠得，则线段的最小值是______．【答案】##【分析】先根据抛物线解析式求出点A，B，坐标，从而得出，，，再根据勾股定理求出的长度，然后根据翻折的性质得出在以为圆心，为半径的圆弧上运动，当，，在同一直线上时，最小；过点作，垂足为，由中位线定理得出，的长，然后由勾股定理求出，从而得出结论．【详解】解：令，则，解得，，，，，，令，则，，，，为中点，，由沿折叠所得，，在以为圆心，为半径的圆弧上运动，当，，在同一直线上时，最小，过点作，垂足为，，，，，又，，故答案为：．【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，翻折变换、勾股定理以及求线段最小值等知识，关键是根据抛物线的性质求出，，的坐标．17．（2022·河南洛阳·二