数列中的存在性问题专题

数列中的存在性问题1.若不等式4x2+9y2N2kxy对一切正数x,y恒成立，则整数k的最大值为.2.已知数列｛an｝的前n项和Sn=2n2+pn,a7=11,若ak+ak+1>12,则正整数k的最小值为.

5.设各项均为正整数的无穷等差数列｛an｝,满足a54=2014,且存在正整数k,使a1,a54,%成等比数列，则公差d的所有可能取值之和为.3 .一3.设数列｛an｝的首项a1=2，前n项和为Sn,且满足2an+1+Sn=3(nEN*).则满足祟普<8的所有n的和为.n

6.各项均为正偶数的数列气，a2,a3,a4中，前三项依次成公差为d(d>0)的等差数列，后三项依次成公比为q的等比数列.若a4—a1=88,则q的所有可能的值构成的集合为.4.已知等差数列｛an｝和等比数列｛bn｝满足a1=b1=—2,a2=b2=4,则满足an=bn的n的所有取值构成的集合是 .

7.设数列｛an｝的前n项和Sn=n2,数列｛bn｝满足 n nb=—^(mEN*).na+m若%,b2,b8成等比数列，试求m的值；是否存在m,使得数列｛bn｝中存在某项bt满足b],b4,bt(tEN*,tN5)成等差数列？若存在，请指出符合题意的m的个数；若不存在，请说明理由.8.已知数列｛an｝的通项公式为an=2若存在，请指出符合题意的m的个数；若不存在，请说明理由.3n+1(n《N*).求数列｛气｝的最大项；设bn=竺，试确定实常数p的值，n使得｛妇为等比数列；设m,n,pEN*,m<n<p，问：数列｛an｝中是否存在三项am,an,ap,使数列am,an,ap是等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由.b1b1=1+n，b2=翥，b8答案：3.解析：不等式4x2+9y2N2kxy对一切正数x,y恒成立，则等价为竺严=号+9>恒成立，律+9y32\：幸=2X6=x\yx12当且仅当4x=9y，即2x=3y时取等号，要使4x2+9y2=4x+9y^2k恒成立，则2kW12，因为k是整数，所以整数k的最大值为3,故答案为3.答案：6.解析：..•前n项和Sn=2n2+pn，「.S7=2X72+7p=98+7p，S=2X62+6p6=72+6p,可得a7=S7—S6=26+p=11，所以p=—15.「.S=2n2—15n.V数列{aj1是等差数列，气+气+1=a1+如W{a}的前2k项和S=n 2k2k(a+a) 、,,—2 —=k(ak+气+)>12k.又VS=2(2k)2—1 2k15X(2k)=8k2—30k.「・8k221—30k>12k，解之得心了(舍去负值).因此，正整数k的最小值为6.答案:7.解析：由2an+1+Sn=3，得2(Sn+1—Sn)+Sn=3,即S—3=?(S—3)，•{Sn+1 2n n13—3｝以2为公比，一成为首项，求得Sn—3=—2・(2)n-1=—3X(~)n，•-S=3(1—(?)n)，「.n2lr=1+(2)n，从而1^w(2)nn<7，nEN*，「・n=3，4.•所有n的和为7.答案:｛1，2,4｝.解析：设等差数列｛a｝n的公差为d，等比数列｛b｝n的公比为q，所以d=a2—a1b=6，q=b2=—2，所以an1=—2+6(n—1)=6n—8，b=n—2(—2)n—1=(—2)n，因为等差数列｛a｝的首项为n负，从第二项起均为正数，等比数列｛bn｝奇数项为负，偶数项为正:所以除首项外，当an=bn时，n为偶数，n=4时a4=16，b4=(—2)4=16，n=6时，a=28<b66=(—2)6=64,因为n为偶数时，数列｛an｝，数列｛bn｝均递增，所以当nN2k(k=3,4,5，…)时，an<bn.综上可得，满足an=bn的n的所有取值为1，24.答案：92.解析：无穷正整数数列，则｛a｝公差d为自然数.nd=0，｛a｝为常数列，n满足题意；当d>0时，(a”一53d)(a+(k—54)d)=a2，TOC\o"1-5"\h\z54 5428(k—107) “得d= k—54 =38—38X53k—54'要使得d是正整数，故(k—54，d)e｛(53X2，19)，(53X19，36)，(53X38，37)｝.d的可能取值和为0+19+36+37=92.答案：《5，8».解析：设气，气+d，气+2d，a1+88，其中a1，d均为正偶数，则(a1+2d)2=(a1+d)(a1+88)，整理得4d(22—d)、八八、*a1= 3d—88 >0，(注意体会这里用“a1>0”而不用“户2”的好处)所以(d—8822)(3d—88)<0，即22<d<;，3所以d的所有可能值为24,26,28,当d=24时斜=12，q=5;当d=26时，a=2083 1 5(舍去)；当d=28时，a1=8168，q=7，所以q的所有可能值构成的集合为'58\3，7/.答案:(1)9；(2)9个.解析：(1)因为Sn=n2，所以当nN2时，a=S—Snnn=2n—1,又当n=1时，—1a1=S1=1，适合上式，所以a=2n—1(n《N*)n2n1所以bn=2—■，则15E，由b22=b1b8，得(击2=1+^15京，解得m=0(舍)或m=9,所以m=9.(2)假设存在山，使得2t—1+m2t—1+m'化简得t=7+(2)b=

n,4,

2+3—!+pb1,b4，bt(tCN*,tN5)成等差数列：即2b4=b1+bt，则2X=卜+7+m 1+mm^.所以当m-5=1,2'3'4,6,9,12,18,36时，分别存在t=43,25,19,16,13,11,10,9,8适合题意，即存在这样m,且符合题意的m共有9个.答案：(1)an=4；(2)±2；(3)不存在.解析：(1)由题意a=2n4+一7,随着n的增大而减3n—1小，所以｛a｝中的最大项为na1=4.3n—1(2+p)(3n—1)+444TOC\o"1-5"\h\z(3)因为a=2+ ,m 3m—1,4 ,4a=2+―,a=2+~~7,n 3n—1p 3p—1若存在三项a『an,ap,使数列am,an,ap是等差数列，则2an=am+ap，所以2(2+44n__)=2+__7+2+3n—1 3m—14n，化简得3n(2X3p-n—3p—13p-m—1)=1+3p-m—2X3n—m(*)，因为m,n,pEN*,m<n<p,所以p—mNp—n+1，p—mNn—m+1,所以3p—mN3p-n+1=3X3p-n，3p-mN3n—m+1=3X3n—m,(*)左边W3n(2X3p-n—3X3p-n—1)3n(—3p-n—1)<0，右边N1+3X3n—m—2X3n—m=1+3n-m>0,所以(*)式不可能成立，故数列｛a｝中不存在n三项a.,an，ap,使数列a.,an，ap是等差数列.(2+p)3n+(2—p)4若｛bn｝为等比数列，则bn+12—bb=0(nEN*)，所以nn+2bn=1,所以,时｛b｝为n[(2+p)3n+1+(2—p)]2—[(2+p