2021年中考数学复习知识点过关梳理练习：《圆的综合》（二） (一)

决战2021年中考数学复习知识点过关梳理练习:

《圆的综合》(二)

1.如图，。。是的外接圆，且45=4C,点〃在弧8c上运动，过点。作如〃8C,DE

交48的延长线于点£,连接/〃、BD.

(1)求证：NADB=4E；

(2)当四=6,纯=3时，求朋的长？

(3)当点〃运动到什么位置时，如是。。的切线？请说明理由.

2.如图，是。。的直径，AC±AB,8c交。。于点。，点£在劣弧切上，底的延长线交

命的延长线于点F,连接4E交劭于点G.

(1)求证：ZAED=ZCAD-,

(2)若点£是劣弧劭的中点，求证：E"=EG-EA；

(3)在(2)的条件下，若BO=BF,DE=2,求)的长.

3.如图，四边形力仇》为圆内接四边形，对角线4C、劭交于点£,延长以、第交于点尸.

(1)求证：△必/"△RIC；

(2)如果劭平分N47a劭=5,BX2,求”的长；

(3)如果20。=60°,DC=DE,求证：AE=AF.

(备用图)

4.如图，已知熊是。。的直径，444,点C是阳延长线上一点，且8c=2,点。是半圆

的中点，点户是。。上任意一点.

(1)当即与48交于点E且PC=CE时,求证：外与。。相切；

(2)在(1)的条件下，求外的长；

(3)点户是。。上动点，当小。C的值最小时，求户C的长.

5.如图，丝是。。直径，点夕是下方的半圆上不与点48重合的一个动点，点C为北

中点，延长比交。。于点。，连接4。，过点。作。。的切线交阳的延长线于点£,连CE

(1)求证：△DAg/\ECP;

(2)填空：

①当NDAP=时，四边形DEPC为正方形;

②在点夕运动过程中，若。。半径为10,tanNZV/,则4?=.

D

6.如图1,四为。。的直径，点。为。。上一点，CD平分NACB交©0千点D,交48于点£

(1)求证：△/做为等腰直角三角形；

(2)如图2,口绕点。顺时针旋转90°,得至,连接维'，证明：BE'为。。的

切线；

(3)如图3,点尸为弧劭的中点，连接〃；交劭于点G,若。F=1,求4G的长.

7.如图1,是。。的一条弦，点C是溢上一点.

(1)若ZACB=30°,AB=4.求00的半径.

(2)如图2,若点户是。。外一点.点只点。在弦四的同侧.连接以、PB.比较NAPB

与的大小关系，并说明理由.

(3)如图3.设点G为4C的中点，在赢上取一点。.使得俞=标，延长班至£,使

AE^AB,连接如，打为然的中点，过点4作维的垂线，交。0于点只连接外；PG.写

出夕G与中的数量关系，并说明理由.

8.在Rt^/ISC中，N8=90°,CE平分NBCA交AB干点、E,在4?上取一点0,以0C为半径

的圆恰好经过点£,且分别交4C,8c于点〃，F,连结如，EF.

(1)求证：48是。。的切线；

(2)若4?=2,00=3；

①求△/&?的面积；

②求所的长.

9.如图，设四边形483内接于。0,8c为。。的直径，E为DC上一点、,韦AEHBC、AE=EC

=5,48=4,

(1)求朋的长；

(2)求的面积.

D

10.如图，(DO的直径448,半径0CL48,。为弧外上一动点(不包括8、。两点)，DE

rOC,DFLAB,垂足分别为£、F.

(1)求配的长.

(2)若点E为0c的中点，

①求弧①的度数.

②若点"为直径上一动点，直接写出好外的最小值.

参考答案

1.证明：；48=4?,

LABC=ZACB,

NADB=/ACB,

：.NADB=NABC,

•：DE//BC,

：.2ABC=乙AED,

NADB=ZE；

(2)解：由(1)知，NADB=NE,

'：NBAD=/BAD,

:.丛ABD^/\ADE,

.AB_AD

"AD"AE'

■：AB^6,BE=3,

.6AD

"AD

：.AD=3五,

.•J。的长为3捉；

(3)当。为市的中点时，然是。。的切线，理由为:

为前的中点，

C.ADLBC,4。过圆心,

•：DE//BC,

：.ADLED,

•••点。在。。上，

，底为圆。的切线.

2.(1)证明：•.)8是。。的直径，

/.ZADB=9Q°,

■：AC±AB,

AZ045=90°,

/ABg4CAD,

:标=菽,

，NAED=4ABD,

：.ZAEg/CA氏

(2)证明：..•点£是劣弧做的中点,

--•DE=BE-

：.AEDB=ADAE,

•：NDEG=NAED,

：.AEDGS4EAD,

.ED_EA

■,EG'ED'

：.E"=EG・EA；

(3)解：连接如，

••.点£是劣弧劭的中点,

NDAE=NEAB,

'：OA=OE,

・・・NOAE=NAEO,

:・/AEO=/DAE、

：,0E//AD,

.OFJF

"OA"DE,

\'BO=BF=OA,DE=2,

.2,EF

…丁可，

:.EF=4.

3.(1)证明：•：NADB=NACB,4AFC=Z.BFD,

：.t\FBD^/\FAGy

(2)解：•・•9?平分N4?C,

^ADB=Z.BDC,

4ADB=NACB,

/.NACB=NBDC,

•//EBC=NCBD、

:.△BEXABCD、

.BC^BD

，，-BE"EC1

・2二

・'BE

.・.BE=±,

D

421

:,DE=BD-8r=5-£=告；

55

(3)证明：・・・NOIZ?=60°,

:・NABF=/ADC=V10°-N〃Z?=120°-4DEC,

=120°-(60°+N4?£)=60°-NADE,

而N月=60°-/ACF,

,：4ACF=/ADE,

NABF=NF,

：.AB=AF.

,•,四边形48CD内接于圆,

D

/.NABD=/ACD,

又,：DE=DC,

・•・Z.DCE=NDEC=/AEB,

：.NABD=NAEB,

：.AB=AE.

；,AE=AF.

4.(1)证明：如图1,

.・•点。是半圆的中点,

：.ZAPD=45°,

连接0P,

0A=OP,

/.NOAP=ZOPA、

PEC=NOAR/APE=NOPA"APE=NAPE-ZOPE^ZAPE=2ZAPE-ZOPE=90°

4OPE,

,:PC=EC,

CPE=NPEC=9G-/APE、

・•・NOPC=NOPB-ZCPE=N0阳90°-NOPE=9N,

•・•点户在。。上,

.fC是。0的切线;

(2)解：由(1)知，40Pg90。，

F8=4,

：.OP=OB=^AB=2,

\'BC=2,

：・OC=O济BC=4,

22=2

根据勾股定理得，CP=7OC-OPVs；

(3)解：连接①，如图2,

...。是半圆。的中点，

.­.Z80D=90°,要使小QC的值最小，则连接缈交。。于户'，

即点P在P,的位置时，见"C最小，

由(2)知，00=4,

在RtZkC勿中，勿=仍=2,

根据勾股定理得，^7OD2-K)C2=2V5,

连接BP,AD,则四边形?!酎8是。。的内接四边形，

乙CBP'=4CDA,

,：/BCP=4DCA,

:.XCBP'sXCDA、

.CPy_BC

AC-CD'

.CP7^2

"4+2=275，

5

图1

5.（1）证明：为初的中点且c。过圆心a

：.AC=CP,DC1.AP,

:.NDCA=/DC-9Q°,

为。。上一点且48为。。的直径，

：.4APB=qG,

•••底为。。的切线，

：.ZCDE=9Q°,

，四边形CPED是矩形,

：.CD=PE,2CPE=9Q°=NACD,

'AC=CP

在△"IC和△&?尸中，，ZACD=ZCPE,

CD=PE

:.△DAC^XECPQSAS；

解：⑵①由（1）知，AC=CP,

•••四边形田已为正方形，

egCP,

AC=CD、

・・・NZ?〃=90°,

/.ZDAP=45°,

故答案为：45°；

②由（1）知，四边形⑦配是矩形,

：.CD//PE,

:.NCEP=/DCE,

由(1)知，△以彦

NADC=/CEP、

/.NADC=/DCE,

\'tanZP6^，=-1L,

2

「.tanN4?61=工

2

在中，设47=x,

「・tanN/0g,

CD2

22=

・，32x,^7AC<DV5^

•・・。。的半径为10,

：.0A=0D=W,

：,0C=CD-0D=2x-10,

在RtZ\/lC。中，曲OC=OR、

.\x2+(2x-10)2=102,

-'-x=0(舍)或x=8,

：.AD=yf^x=8娓,

故答案为8泥

6.证明(1)：・・・48是。。的直径，

:・NADB=4ADB=9N,

,:CD斗吩乙ACB,

AD=BD，

.\AD=BD^

・••△/48Z?是等腰直角三角形.

(2)由旋转的性质得，NEDE=90°,DE=DE,

•••NADB=9G,

/.NADE=NBDE',

•:AD=BD,

・•.△ADE9/\BDE'(SAS'),

:・NDAE=4DBE,

•：NEAD=/DCB=A50,NABD=NDCA=45°,

/.ZOBE=^ABD^ZDBE=90°,

二8f为。。的切线；

（3）解：•.,点尸为前的中点，

/.ZFAD=^-ZDAB=22.5°,

2

取4G的中点〃，连结力/,

・・•/408=90°,

:・DH=AH=GH、

・・・N4W=N9=22.5°,

DHF=NAD出/FAD=45°,

•：ZAFD=ZACD=45°,

・•・NDHF=4AFD,

：.DH=DF=3

:,AG=2DH=2.

7.解：（1）如图1,连接），OB,

OA=OB,

'：ZACB=30°,

「・N408=2/46=60°,

...△儿应是等边三角形，

：.OA=AB=^,

即。。的半径为4；

（2）如图2,能与。。的交点记作点。，连接力。,

/.NAQB>/APB,

*/NAQB=4ACB,

・•・NAPBVNACB；

(3)PG=PF,理由：如图3,

连接8G,并延长至“，使Z/G=8G,连接力//,

•・.点G是4c的中点，

AG=CG、

在△4G，和aCGb中，

'AG=CG

,ZAGH=ZCGB,

HG=BG

:.XAGH^XCGB(SAS'),

：.AH=BC,4HAG=4BCG,

:・AH〃BC,

・•・N%•N/8J80。,

,''AD=BC.

:.AgBC、

：.AD=AH,

"AD=BC>

AD+DirC=BC+DirC，

AirC二BinD，

・•・NABC=/BAD,

・•,NBA卅NBAD='8G0,

・・・/£4分/勿/?=180°,

:./EAA/BAH、

•：AE=AB,

:.△EAD^XHBA(SIS),

:・/AED=/ABH、DE=BH、

.・•点厂是蛇的中点,

:・EF*DE、

：・EF*BH,

•；BG=HG,BG=^BH,

:.EF=BG、

连接户£PB,

'：PA'BE、AE=AB,

:・PE=PB,

/.4PEA=/PBA、

•：NAED=4ABH,

:・NPEA-NAED=NPBA-NABH,

PEF=/PBG,

：./\PEF^/\PBG(SAS'),

:・PG=PF.

图2

m

C

O

、：CE平俵/ACB、

：.Z.ECO=^FCO,

•：OC=OE,

・•・NECO=4CE0,

/.4FC0=/CEO,

C.OE//BC,

又•：NB=90°,

，40EA=9N,

即48是。。的切线;

(2)®-：OE//BC,

:、△AEO^lXABC、

.OE_A0

"BC'AC1

24

:・BC=S

b

ZOEA=90°,

在RtZ\〃O中，AE=5,

148

:，S△上士AE・BC=*\

ND

②Y0E〃BC、

.AE_A0

'EB=OC

又,：/AEMNOED=ZOEM/OEC=90°,

/-NAED=NOEC=/ECF、

■：/AD曰/EDC=/EDO/EFC=\8G,

/ADE=/EFC、

:•△AED^AECF,

,AE^AD

"EC