2021年中考数学21 菱形（解析版）

专题21菱形

专题常识回顾

1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2.菱形的性质：（1）菱形的四条边都相等；（2）菱形的两条对角线彼此垂直，并且每一条对角线平分

一组对角。

3.菱形的判断定理：

（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形：（2）对角线彼此垂直的平行四边形是菱形；

（3）四条边相等的四边形是菱形。

4.菱形的面积:S^=底边长*高=两条对角线乘积的一半

专题典型题考法及解析

【例题1】（2021内蒙古赤峰）如图，菱形48CD周长为20,对角线4C、BD订交于点。，E是CD

的中点，则OE的长是（）

D

A.2.5B.3C.4D.5

【答案解析】A

【试题解答】•••四边形488为菱形，

:.CD=BC=詈=5,且。为BD的中点，

■:E为CD的中点，

：.OE为△8CO的中位线，

：.OE=^CB=2.5

【例题2】（2021广西梧州）如图，在菱形ABCD中，AB=2,N/MZ）=60。，将菱形绕点A逆

时针方向旋转，对应得到菱形AEFG,点E在AC上，EF与CD交于点P,则0P的长是.

G

D.

【答案解析】拒-1

【试题解答】毗邻必交AC于O,如图所示：

•.•四边形ABCD是菱形，

：.CD=AB=2,NBCD=NBAD=60°,ZACD=ZBAC=-ZBAD=30°,OA=OC,AC1.BD.

2

:.OB=-AB=\,

2

:.OA=gOB=£,

AC=2y/3,

由旋转的性质得：AE=AB=2,N£4G=NR4Z)=60。，

:.CE=AC-AE=243-2,

•.•四边形A£FG是菱形，:.EFHAG,

NCEP=NE4G=60。，

.•.ZC£P+ZACD=90°,:.ZCPE=90°.

:.PE=-CE=y/3-\,PC=CPE=3-6

2

/.DP=CD-PC=2-(3-^)=73-1

专题典型练习题

一、挑选题

1.（2021四川泸州）一个菱形的边长为6,面积为28,则该菱形的两条对角线的长度之和为（）

A.8B.12C.16D.32

【答案解析】

【试题解答】如图所示:

:.AO=CO=DO=BO=ACLBD,

•.•面积为28,

1-

•••菱形的边长为6,

：.OD2+OA2=36（2）,

由①②两式可得：（OO+AO）2=0。2+042+20。.40=36+28=64.

：.OD+AO=8,

A2（OD+AO）=16,即该菱形的两条对角线的长度之和为16.

2.（2021•四川省绵阳市）如图，在平面直角坐标系中，四边形0ABe为菱形，。（0,0）,A（4,0）,

ZAOC=60。，则对角线交点E的坐标为（）

D.（3,我

【答案解析】D

［试题解答］过点E作EFLx轴于点F,

•四边形OA8C为菱形，NAOG60。,

:.Z.AOE=:ZT4OC=30°,ZFAE=60°,

VA(4,0),

：.OA=4,

/.AE=-AO=Ix4=2,

22

AF="AE=1,EF=/A炉—幺产=\/22—l2=x/3,

姝

二。尸=40/尸=4/=3,

:.E（3,4）.

3.（2021•四川省广安市）如图，在边长为的菱形A8CD中，ZB=30°5过点A作AE_LBC于

点E，现将△ABE沿直线AE翻折至△AFE的位置，AF与CD交于点G则CG等于（）

BECF

[T1y/3

A.6-1B.lC.-D,—

【答案解析】A

【试题解答】因为ZB=30°,AB=HAE1BC,

所以所以改=百-3,

22

则CF=3-B

又因为CG//AB,

所以生="

ABBF

所以CG-V3-1.

4.（2021四川省雅安市）如图，在四边形ABCD中，AB=CD,AC、BD是对角线，E、F、G、H

分别为AD、BD、BC、AC的中点，毗邻EF、FG、GH、HE,则四边形EFGH的形状是（）

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形

【答案解析】C

【试题解答】由点E、尸、G、”分别为随意率性四边形A8C3中A。、BD、BC、CA的中点，根

据三角形中位线性质，得EF=GH=^AB,EH=FG=LCD.又由AB=CD,得EF=FG=GH=EH时,

22

四边形EFGH是菱形.

\•点E、F、G、，分别为随意率性四边形ABCO中A。、BD、BC、C4的中点，：.EF=GH=^.AB,

2

EH=FG=LCD,VAB=CD,；.EF=FG=GH=EH时,四边形EFGH是菱形，故选C.

2

5.（2021•贵州安顺）如图，在菱形ABC。中，按以下步骤作图：

①分别以点C和点。为圆心，大于*CZ）的长为半径作弧，两弧订交于M、N两点;

②作直线MN,且MN恰好经由点A,与CD交于点E,毗邻8E.

B.S^ABE=2S^ADE

D.sinZCBE=^^-

C.若A8=4,贝l]8E=4听

14

【答案解析】C

［试题解答】由作法得AE垂直平分CD.即CE=DE,AE1CD.

:四边形A8CZ）为菱形,

：.AD=CD=2DE,AB〃DE,

在RdADE中,““。=堕=1_,

AD2

.,.ZD=60°,

ZABC=60°,所以4选项的结论正确；

SMBE=—AB'AE,SMDE=—DE'AE,

22

而AB=2OE,

•'•SAASE=2SAADE,所以8选项的结论正确；

若A8=4,贝l]OE=2,

.".AE=2y[2,

22=2

在RAABE中，BE=^4+(2A/3)^,所以。选项的结论错误;

作E4J_BC交BC的耽误线于凡如图，

设A8=4a,则CE=2a,BC=4a,BE=2\fla,

在△CHE中，ZECH=ZD=60°,

.'.CH=a,EH=\[yi,

；.s加NCBE=旦旦=1土=返1,所以。选项的结论正确.

BE277a14

6.（2021•贵州贵阳）如图所示，菱形ABCD的周长是4cvn,ZABC=60°,那么这个菱形的对角线AC

的长是（）

A.\cmB.2cmC,3cmD.4cm

【答案解析】A

【试题解答】因为四边形ABC。是菱形，AC是对角线，根据NA8C=60。,而AB=8C,易证△B4C

是等边三角形，从而可求AC的长.

•••四边形ABC。是菱形，4c是对角线，

：.AB=BC=CD=AD,

ZABC=60°,

••.△ABC是等边三角形，

：.AB=BC^AC,

:菱形ABCQ的周长是4cm,

***AB=BC=AC=1cm.

7.（2021•贵州省铜仁市）如图，四边形ABC。为菱形，AB=2,ZDAB=60°,点、E、尸分别在边DC、

BC上，且CE=LC£>,CF^kcB,贝USACEF=（）

33

A.返B.返C.返D.立

2349

【答案解析】D.

【解答】：四边形48co为菱形，AB=2,ZDAB=60°

：.AB=BC=CD=2,ZDCB=60°

•；CE=LCD,CF=LCB

33

/.CE=CF=—

3

:.ACEF为等边三角形

:.S&CEF=®X由2=与

4、39

8.(2021•河北省)如图，菱形ABCQ中，ZD=150°,则Nl=()

D

C

B

A.30°B.25°C.20°D.15°

【答案解析】D.

【解答】•••四边形48co是菱形，ZD=150°,

J.AB//CD,ZBAD=2Z1,

.•.ZBAD+ZD=180°,

.,.ZBAD=180°-150°=30°,

二、填空题

9.（2021广西北部湾）如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD交与点O,过点A作AHLBC于点

H,已知BO=4,S/ABCD=24,则AH=.

【答案解析】—.

5

【试题解答】本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式，根据菱形面积=对角线积的一半可

求AC,再根据勾股定理求出BC,然后由菱形的面积即可得出成果.

:四边形ABCD是菱形，

.".BO=DO=4,AO=CO,AC±BD,

；.BD=8.

11

・S菱形ABCD=-ACxBD=24,..AC=6,..OC=-AC=3,

22

：.BC=ylOB2+OC2=5,

24

S知ABCD=BCXAH=24,；.AH=一.

5

10.（2021内蒙古通辽）如图，在边长为3的菱形中，NA=60°,M是A。边上的一点，且

AM=LADN是48边上的一动点，将△AMN沿所在直线翻折得到AA'MN,毗邻A'C.则

3

A'C长度的最小值是.

【答案解析】V19-।

［试题解答］过点M作MHLCD交CD耽误线于点H,毗邻CM

3

：.AM=\,MD=2

•：CD〃AB、

•♦・N”OM=NA=6（r

，HD=^MD=1,HM=MHD=M

：.CH=4

'A/C=VMH2+CH2=疝

:将△AMN沿MN所在直线翻折得到△%'MN,

.\AM=A'M=\,

点4在以例为圆心，AM为半径的圆上，

二当点4在线段MC上时，4c长度有最小值

.,.AC长度的最小值=MC-M4=SW-1

11.（2021湖南常德）规定：参加一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四

边形为广义菱形.根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边

形是广义菱形；③对角线彼此垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、N

的坐标分别为（0,1）,（0,-1）,P是二次函数的图象上在第一象限内的随意率性

4

点，PQ垂直直线y=-1于点Q,则四边形PMNQ是广义菱形.其中对的是.（填

序号）

【答案解析】①②④.

【试题解答】①根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，①正确；

②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误；

③由给出前提无法得到一组对边平行，③错误；

④设点上加），则。（肛-1）,

4

-'-MP=y/w2+（j-n,2-l）2=l1m2+lI，心和2+1,

•.•点尸在第一象限,

/n>09

得31，

:.MP=PQ,

又,：MN〃PQ,

四边形PMNQ是广义菱形.

④正确；

故答案为①②④.

12.（2021湖北十堰）如图，已知菱形ABCD的对角线4C,BD交于点O,E为8C的中点，若OE=

3,则菱形的周长为.

【答案解析】24

【试题解答】•••四边形ABCO是菱形,

：.AB=BC=CD=AD,BO=DO,

•.•点E是8c的中点，

.♦.OE是△BCD的中位线，

：.CD=2OE=2X.3=6,

...菱形ABC。的周长=4义6=24

13.（2021北京市）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼

成如图2,图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为.

【答案解析】12

【试题解答】设图1中小直角三角形的两直角边长分别为a,b（a>b）；

[a+b=5[a=3

则由图2和图3列得方程组人,,由加减消元法得L°,

二菱形的面积S=4x；ab=4xgx3x2=12.故填12.

14.（2021辽宁抚顺）如图，菱形ABCZ）的边长为4MZA=60°,3。是以点A为圆心，48长为

半径的弧，CO是以点8为圆心，BC长为半径的弧，则阴影部分的面积为cm2.

D

【答案解析】4M.

【试题解答】毗邻BD,判断出△48。是等边三角形，根据等边三角形的性质可得ZABD=60°,再

求出NC8/）=60°,然后求出阴影部分的面积计算即可得解.

如图，毗邻8Q,

•••四边形48co是菱形，

：.AB=AD,

,.,ZA=60o,

.♦.△AB。是等边三角形，

AZABD=60°,

又,菱形的对边4O〃8C,

二NA8c=180°-60°=120°,

：.ZCBD=\20°-60°=60°,

S阴影=S域形BDC-（S扁形ABD-SAABD）

-S^ABD,

15.(2021湖南岳阳)如图，在菱形ABC。中，点E、F分别为A。、CD边上的点，DE=DF,

求证：Z1=Z2.

【答案解析】见解析.

【试题解答】证明：•••四边形ABC。是菱形,

：.AD=CD,

'AD=CD

在△AOF和△(?£＞《中，＜ND=ND,

DF=DE

/.(SAS),

/.Z1=Z2.

16.(2021•海南省)如图，在边长为/的正方形ABC。中，E是边C。的中点，点P是边AO上一

点(与点A、。不重合)，射线PE与8c的耽误线交于点Q.

(1)求证：APOE丝

(2)过点、E作EF〃BC交PB于点F,连结AF,当PB=PQ时，

①求证：四边形AFEP是平行四边形；

②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明来由.

D

口。

【试题解答】(1)由四边形48。。是正方形知/£>=NECQ=90。，由E是CO的中点知。£=CE,联

合NDEP=NCEQ即可得证；

(2)①由P8=P。知/P8Q=NQ,联合A£>〃BC得/4P8=/尸8Q=/Q=NEP£>,由△PDEg4

QCE知PE=QE,再由EF//BQ知PF=BF*根据RtAPAB中AF=尸尸=8尸知乙4?尸=NE4尸，从而得

/如F=NEPD据此即可证得PE//AF,从而得证；

②设AP=x,则PD=l-x,若四边形4FEP是菱形，则PE=F=x,由P/A/jgWpF得关于工的

方程，解之求得x的值，从而得出四边形AFE尸为菱形的情况.

【解答】(1)•••四边形ABCO是正方形，NO=/ECQ=90。，

是CO的中点，：.DE=CE,

又,：NDEP=NCEQ,

：./\PDE^^QCE(ASA)；

(2)@'：PB=PQ,:"PBQ=NQ,

\'AD//BC,

:.NAPB=NPBQ=NQ=NEPD,

'：△PDE丝△QCE,:.PE=QE,

,JEF//BQ,：.PF=BF,

...在中，AF=PF=BF,

：.ZAPF=ZPAF,

：.ZPAF^ZEPD,

：.PE//AF,

,JEF//BQ//AD,

四边形AFEP是平行四边形；

②当AP=5时，四边形AFEP是菱形.