历年高中数学联赛真题分类汇编59初等数论

1/5历年高中数学联赛真题分类汇编专题59初等数论第二缉1．【2016年山东预赛】使ab【答案】6,2【解析】令d=a,ba=du,b=dvu、v∈设p=ab2因为u+v,u=所以，uv又p为素数，则v=1，且u=1或p.若u=1，则d2因为p为素数，所以，pd故p=2，此时，a,b=若u=p，则d⇒从而，a,b=综上，a,b=2．【2016年山西预赛】若12个互不相同的正整数之和为2016，则这些正整数的最大公约数的最大值为__________.【答案】24【解析】设最大公约数为d，12个数分别为a1记S=i=112a欲使d最大，应使S取最小．由于a1S≥1+2+⋯+12=78.注意到，S2016又2016=故d≤24，且d=24可以取到，只需令a13．【2016年江西预赛】若将数1,2,…,9分别填入3×3方格表的九个格中,使得每行三个数的和、每列三个数的和均为素数,则填法为______.【答案】179263845（答案不唯一）【解析】1,2,…,9中三个数的和为素数7，11，13，17，19，23，先排四个偶数2684，再填奇数，调整，可得一解，1792638454．【2016年江西预赛】把1至n(n>1)这n个连续正整数按适当顺序排成一个数列,使得数列中每相邻两项的和为平方数.则n的最小值为______.【答案】15【解析】例如,排出的一个数列为8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9记这n个连续正整数的集合为M={1,2,…,n}.由于n>1,则集合M中必有2,而2+7=9,于是,n≥7.当n=7时,从1至7这七个数可以搭配成满足条件的三个数段:(1,3,6),(2,7),(4,5),但它们不能连接成一个7项的数列,故应增加后续的数,增加8可使得第一段扩充成(8,1,3,6),增加9可使得第二段扩充成(2,7,9),但新的三段也不能连接,还需增加新数,即n≥10.而之前的数若与8、9、10邻接,只有8+1=9,9+7=16,10+6=16这三段扩充为(8,1,3,6,10),(2,7,9),(4,5),仍旧不能连接,应当借助新的平方数25,从1至10这十个数能搭配成和为25的最小数是15,则n≥15.当M={1,2,…,15}时,可排出上面的情形8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9.5．【2016年湖北预赛】已知素数p、q满足q5−2p【答案】14【解析】由q=q−1易知，q4+q则q−1=2⇒q=3⇒2⇒p+q=14.6．【2015年全国】对四位数abcd(1≤a≤0 、  0≤b 、  c 、  d≤9)，若a>b，b<c，【答案】285【解析】记P类数、Q类数的全体分别为A、B，再记个位数为零的P类数全体为A0，个位数不为零的P对任一四位数abcd∈A1注意到，a>b，则dcba∈B反之，每个dcba∈B唯一对应于A1中的元素因此，建立了A1故N(P)−N(Q)=|A|−|B|=|A下面计算|A对任意四位数abc0∈A0，b可取0，1，…，9，对其中每个b，由b<a≤9故|A因此，N(P)−N(Q)=285.故答案为：2857．【2015年上海预赛】使得n2的各位数字之和为34的最小正整数n是______.【答案】167【解析】注意到n2至少为五位数,所以n至少为三位数,计算可得16728．【2015年新疆预赛】20142015【答案】4【解析】用gn表示一个自然数n则g=g=g=g=gg从而，201420159．【2015年天津预赛】设s=k=12015k【答案】6【解析】由s=⇒2s=⇒s=2s−s==2015×=2014×2由210=1024，知当正整数220+n从而，22016除以100与216除以100有相同的余数，均为36，知10．【2015年四川预赛】对任意正整数n，定义函数μn：μ1=1，且当n=p1a1【答案】0【解析】由12=22×3则i=111．【2015年北京预赛】已知p1,p2,⋅⋅⋅,p2015【答案】∅【解析】由2x−y−z、2x−y−z≡2y−z−x≡2z−x−ymod3由已知得m为3的倍数.再根据式①，若题中不定方程成立，则2x−y−z、2y−z−x、2z−x−y均为3的倍数，即原方程左边有因子33从而，原方程的正整数解集为∅.12．【2015年陕西预赛】若正整数m、n满足m+n!【答案】144【解析】由m+n!5040=10×9×8×7，知m+n=10从而，m!n=144.13．【2015年山西预赛】设a=3x+1+3y+1+3z+1，其中，x+y+z=1【答案】4【解析】注意到：a23z+1则a≤18又0≤x、y、z≤1，于是，x≥x故a≥=x+1从而，4≤a<5⇒a14．【2015年江西预赛】若三位数n=abc为平方数，其数字和a+b+c也为平方数，则称n【答案】13【解析】可顺次列举出100、121、144、169、196、225、324、400、441、484、529、900、961.15．【2015年江西预赛】在前一万个正整数构成的集合1,2,⋯,10000中，被3除余2，且被5除余3、被7除余4的元素有______________个。【答案】95【解析】由题意，知对于每个满足条件的数n，数2n应当被3、5、7除皆余1，且为偶数.因此，2n−1应为3、5、7的公倍数，且为奇数，即2n−1为105的奇倍数.而当n∈1,2,⋯10000时，其在1,2,⋯1999916．【2015年吉林预赛】从0，1，…，9中选出三个不同数字组成四位数（其中的一个数字可以出现两次），如5224.则这样的四位数共有______个.【答案】3888【解析】分三种情形讨论.四位数中不含0的有C9四位数中含0且0只出现一次的有C9从而，共有3024+648+216=3888个17．【2015年湖北预赛】使得p+12与p【答案】7【解析】设p+12显然，p>y>x，由p+1=2x2，又pp>2为素数且p>y−x，则p因为2p>y+x，所以，p=y+x.故p−1=2⇒4x=2x从而，满足条件的p只有一个，即p=7.18．【2015年河南预赛】不能表示为7x−3×2y（x、y【答案】3【解析】因为x、y∈Z,所以7x−3×2y恒为奇数，且71而7x于是，不存在正整数x、y,使得7x因此，所求的最小正奇数为3.19．【2015高中数学联赛（第01试）】对四位数abcd(1≤a≤9，0≤b，c，d≤9)，若a>b，b<c，c>d，则称abcd为P类数：若a<b，b>c，c<d，则称abcd为Q类数.用N(P)与N(Q)分别表示P类数与Q类数的个数，则N(P)－N(Q)的值为 .【答案】285【解析】分别记P类数、Q类数的全体为A，B，再将个位数为零的P类数全体记为A0，个位数不等于零的P类数全体记为A1，对任一四位数abcd∈A1注意到a>b,b<c,c>d⩾1，故dcba∈B，反之，每个dcba∈B唯一对应于A1中的元素abcd，这建立了A1与因此有N(P)−N(Q)=|A|−|B|=A下面计算A0：对任一四位数abc0∈A0,b可取0，1，…，9，对其中每个b，由b<a≤9及b<c≤9知，a从而A0因此N(P)−N(Q)=285.20．【2018年陕西预赛】若既约分数pqp,q∉N∗化为小数是0.18…，则当A．9B．7C．5D．2【答案】D【解析】由题意得0.18<pq<0.19⇔100p19当p=1时，不存在满足条件的整数q；当p=2时，q=11满足条件.故qmin21．【2018年陕西预赛】若既约分数pqp,q∉N∗化为小数是0.18…，则当A．9B．7C．5D．2【答案】D【解析】由题意得0.18<pq<0.19⇔100p19当p=1时，不存在满足条件的整数q；当p=2时，q=11满足条件.故qmin22．【2018年陕西预赛】若既约分数pqp,q∉N∗化为小数是0.18…，则当A．9B．7C．5D．2【答案】D【解析】由题意得0.18<pq<0.19⇔100p19当p=1时，不存在满足条件的整数q；当p=2时，q=11满足条件.故qmin23．【2018年辽宁预赛】方程1xA．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解析】(x,y)=(−42,6当x=7时无解；当x≠7时y=7x所以x−7|49，所以x=−42故答案为：A24．【2018年辽宁预赛】设三位数，若以为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数有()A．45个B．81个C．165个D．216个【答案】C【解析】试题分析：要能构成三角形的边长，显然均不为0。即

（1）若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为，由于三位数中三个数码都相同，所以（2）若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三位数的个数为，由于三位数中只有2个不同数码.设为，注意到三角形腰与底可以置换，所以可取的数码组共有组.但当大数为底时，设，必须满足。此时，不能构成三角形的数码是a987654321b4，3

2，14，3

2，13，2

13，2

11，21，211共20种情况。同时，每个数码组中的二个数码填上三个数位，有种情况。

故.综上，.考点：排列组合问题.25．【2017年辽宁预赛】对于三位数abc,满足abc=37a+bA.13 B.14 C.15 D.16【答案】C【解析】提示：因为三位数abc,满足abc=37即63a所以当a=b当{a−c=3当{a−c=−3所以满足abc=26．【2017年陕西预赛】设n是正整数,以下各组数a、b中,使ba为既约分数的是( (A)a=n+1(C)a=n+1,【答案】D【解析】提示：因为3n+1,27．【2015年天津预赛】用x表示不超过实数