2018中考数学试题分类汇编考点30切线的性质和判定含解析

2018中考数学试题分类汇编：考点30切线的性质和判定.选择题（共11小题）1.（2018?哈尔滨）如图，点P为OO外一点，PA为OO的切线，A为切点，PO交OO1./P=30°,OB=3则线段BP/P=30°,OB=3则线段BP的长为（ ）D.9直接利用切线的性质得出/OAP=90，进而利用直角三角形的性质得出OP的长.【解答】解：连接OA•/PA为OO的切线,•••/OAP=90,•••/P=30°,OB=3•AO=3,贝UOP=6故BP=6-3=3.（2018?眉山）如图所示，AB是OO的直径，PA切OO于点A,线段PO交OO于点C,连结BC,若/P=36°,则/B等于（ ）A.27°B.32°C.36°D.54°【分析】直接利用切线的性质得出/OAP=90，再利用三角形内角和定理得出/AOP=54,结合圆周角定理得出答案.

【解答】解：•••PA切OO于点A:丄OAP=90,•••/P=36°,•••/AOP=54,•••/B=27°.故选：A.(2018?重庆)如图，已知AB是OO的直径，点P在BA的延长线上，PD与OO相切于点D,过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C,若OO的半径为4,BC=6,则PA的长为( )【分析】直接利用切线的性质得出/PDO=90,再利用相似三角形的判定与性质分析得出答案.【解答】解：连接DO•••PD与OO相切于点D,•••/PDO=90,•••/C=9C°,•DO//BC,DO二P0=4=2设PA=x,设PA=x,则x+4=_2乂+g3解得：x=4,故PA=4.故选：A.（2018?畐建）女口图，AB是OO的直径，BC与OO相切于点B,AC交OO于点D,若/ACB=50,A,根据圆周角定【分析】根据切线的性质得到/A,根据圆周角定理计算即可.【解答】解：•••BC是OO的切线,•••/ABC=90,•••/A=90°-ZACB=40,由圆周角定理得，/BOD=2/A=80°,故选：D.（2018?泸州）在平面直角坐标系内，以原点 O为圆心，1为半径作圆，点P在直线'=—；•：—上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A,则PA的最小值为（ ）A.3 B.2 C.-D.-【分析】如图，直线y==x+2二与x轴交于点C,与y轴交于点D,作OHLCD于H,先利用一次解析式得到D（0,2典）,C（-2,0），再利用勾股定理可计算出CD=4则利用面积法可计算出OH=二连接OA如图，禾U用切线的性质得OALPA贝UPA=』.jjr；然后利用垂线段最短求PA的最小值.【解答】解：如图，直线y=二x+2二与x轴交于点C,与y轴交于点D,作OHLCD于H,

当x=0时，y=一x+2_=2一，则D(0,2_),当y=0时，-x+2二=0，解得x=-2,则C(-2,0),•••CD=._. =4，•••—OH?CD=0C?0,220H= \-连接OA如图，•/PA为OO的切线，OA!PAPA=-’.；=:-,当OP的值最小时，PA的值最小，而OP的最小值为OH的长，•PA的最小值为 I .（2018?（2018?泰安）如图， BM与OO相切于点B,若/MBA=140,ACB的度数为（ ）A.40A.40°B.50°C.60°D.70°【分析】连接OAOB由切线的性质知/OBM=9°，从而得/ ABOMBAO=50，由内角和定理知/AOB=80，根据圆周角定理可得答案.【解答】解：如图，连接OAOB•••/0BM=9°,•••/MBA=140,•••/ABO=50,•/OA=OB•••/ABO=zBAO=50,•••/AOB=80,•••/ACB=/AOB=40,2故选：A.（2018?深圳）如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放， A为60°角与直尺C,C,连接OAOB由切线长定理得出AB=AC=3/OAB=60,根据OB=ABtar^OAB可得答案.【解答】解：设三角板与圆的切点为C,连接OAOB由切线长定理知AB=AC=3OA平分/BAC•••/OAB=60,在Rt△ABO中,OB=ABtanZOAB=3二,•光盘的直径为6~,故选：D.&（2018?重庆）如图，△ABC中，/A=30°,点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，OO恰好与AC相切于点D,连接BD.若BD平分/ABCAD=^，则线段CD的长是（ ）A.A.2【分析】连接OD得Rt△OAD由/A=30°,AD=^，可求出ODAO的长；由BD平分/ABCOB=OD可得OD与BC间的位置关系，根据平行线分线段成比例定理，得结论.【解答】解：连接OD•/OD是OO的半径，AC是OO的切线，点D是切点，OD!AC在Rt△AOD中，•••/A=30°,AD=2—,OD=OB=2AO=4/ODB2OBD又TBD平分/ABC/OBD2CBD/ODB2CBDOD//CBAD_AOCD^OB故选：B.（2018?湘西州）如图，直线AB与OO相切于点A,ACCD是OO的两条弦，且CD//AB,A.10B.8 C.4-D.4?【分析】由AB是圆的切线知AOLAB,结合CD//AB知AOLCD从而得出CE=4,Rt△COE中求得OE=3及AE=8,在Rt△ACE中利用勾股定理可得答案.【解答】解：•••直线AB与OO相切于点A,•••OA!AB,又•••CD//AB•AO丄CD记垂足为E,•/CD=8在Rt△OCE中,OE='|；「j ..-=I=3,•AE=AO+OE=8则AC=1存.;J= ；：：=4~,故选：D.

（2018?宜昌）如图，直线AB是OO的切线，C为切点，OD//AB交OO于点D,点E在OO上，连接OCECED,则/CED的度数为（ ）A.30°B.35°C.40°D.45°【分析】由切线的性质知/OCB=90,再根据平行线的性质得/COD=9°,最后由圆周角定理可得答案.【解答】解：•••直线AB是OO的切线，C为切点，•••/OCB=90,TOD//AB,•••/COD=90,•••/CED=/COD=4°,2故选：D.（2018?无锡）如图，矩形ABCD中,G是BC的中点，过ADG三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F,给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE3）3）BC与圆O相切，其中正确说法的个数是（D.3【分析】连接DGAG作GHLAD于H,连接OD如图，先确定AG=DG贝UGH垂直平分AD,则可判断点O在HG上，再根据HGLBC可判定BC与圆O相切；接着利用OG=O可判断圆心O不是AC与BD的交点；然后根据四边形AEFD为OO的内接矩形可判断AF与DE的交点是圆O的圆心.【解答】解：连接DGAG作GHLAD于H,连接0D如图,•••G是BC的中点，•••AG=DG•••GH垂直平分AD,•••点0在HG上，•/AD//BC,HGLBC,BC与圆0相切；•/OG=OG•••点0不是HG的中点，•圆心0不是AC与BD的交点；而四边形AEFD为O0的内接矩形，AF与DE的交点是圆0的圆心；•••（1）错误，（2）（3）正确.二.填空题（共14小题）（2018?安徽）如图，菱形 ABOC勺边AB,AC分别与O0相切于点D,E.若点D是AB的中点，则/D0E=60 °.【分析】连接0A根据菱形的性质得到△A0B是等边三角形，根据切线的性质求出/ A0D同理计算即可.【解答】解：连接OA•••四边形ABOC是菱形,•••BA=BO•••AB与OO相切于点D,••ODLAB,•••点D是AB的中点，•直线OD是线段AB的垂直平分线,OA=OB△AOB是等边三角形，•••AB与OO相切于点D,ODLAB,•••/AOD=/AOB=30,2同理，/AOE=30,/DOE2AOD社AOE=60,（2018?连云港）如图， AB是OO的弦，点C在过点B的切线上，且OCLOAOC交AB于点P,已知/OAB=22，则/OCB=44° .【分析】首先连接OB由点C在过点B的切线上，且OCLOA根据等角的余角相等，易证得/CBP=/CPB利用等腰三角形的性质解答即可.

【解答】解：连接【解答】解：连接OB•••BC是O0的切线，•••0B丄BC,•••/OBA+ZCBP=90,•/OCL0A•••/A+ZAPO=90,•/OA=OBZOAB=22,ZOABZOBA=22,ZAPOZCBP=68,vZAPOZCPBZCPB玄ABP=68,ZOCB=180-68°-68°=44°,故答案为：44°%（2018?泰州）如图，△ABC中，ZACB=90,sinA=±,AC=12将厶ABC绕点C顺时丄o针旋转90°得到△A'B'C,P为线段AB'上的动点，以点P为圆心，PA长为半径作OP,当OP与厶ABC的边相切时，OP的半径为 或耳.25T3【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当OP与直线AC相切于点Q时，如图2中，当OP与AB相切于点T时，【解答】解：如图1中，当OP与直线AC相切于点Q时，连接PQ

设PQ=PA=r,•/PQ//CA,.PQ=PB‘r_13^r■-=■…r=…r=156如图2如图2中，当OP与AB相切于点T时，易证A'、B'、T共线,AJT=AJB:=-”T=lf12Ts，•••AT=•「=,AT=综上所述，Op的半径为 或「•（2018?宁波）如图，正方形ABCD的边长为8,M是AB的中点，P是BC边上的动点,

连结PM以点P为圆心，PM长为半径作OP.当OP与正方形ABCD的边相切时，BP的长为3或4匸.【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当OP与直线CD相切时；如图2中当OP与直线AD相切时.设切点为K,连接PK贝UPKLAD,四边形PKDC是矩形；【解答】解：如图1中，当OP与直线CD相切时，设PC=PM=m在Rt△PBM中,vpM=bM+p£,--x=4+(8-x),•••x=5,•••PC=5,BP=BC-PC=8-5=3.如图2中当OP与直线AD相切时.设切点为K,连接PK贝UPKLAD四边形PKDC是矩形.•••PM=PK=CD=2BM/•BM=4PM=8在Rt△PBM中,PB=』7.j；=4综上所述，BP的长为3或4一.（2018?台州）如图，AB是OO的直径，C是OO上的点，过点C作OO的切线交AB的延长线于点D.若/A=32°，则/D=26度.【分析】连接OC根据圆周角定理得到/COD=ZA,根据切线的性质计算即可.【解答】解：连接OC由圆周角定理得，/COD=ZA=64°,•/CD为OO的切线，•OCLCD•••/D=90-ZCOD=26,A,B,D在OO上，ZA=20°,BC是OO的切线，B为切点，OD【解答】解:•/ZA=20°,

•••/BOC=40,•••BC是OO的切线，B为切点,•••/OBC=90,•••/OCB=90-40°=50°,故答案为：50.如图，如图，BD是OO的直径，BA是OO的弦，过点A的切线交BD延长线于30°角所对的30°角所对的直角边与斜边的关系、垂径定理可以求得 OE的长.【解答】解：连接OAAD,如右图所示，•••BD是OO的直径，BA是OO的弦，过点A的切线交BD延长线于点C,OELAB于E,•••/DAB=90，/OAC=90,•/AB=AC•••/B=ZC,在厶ACO^D^BAD中，fZC=ZB2AC二AB“ZCA0=ZBAD，△ACO^ABAD（ASA,AO=AD•/AO=ODAO=OD=AD△AOD是等边三角形，•••/ADONDAO=60,•••/B=ZC=30，/OAE=30，/DAC=30,•••AD=DC•••CD=2",•-AD=2/;,•••点O为AD的中点，OE//ADOE!AB•°E=J/,（2018?山西）如图，在Rt△ABC中，/ACB=90°,AC=6BC=8,点D是AB的中点，以CD为直径作O0,0°分别与ACBC交于点E,F,过点F作OO的切线FG交AB于点G,则FG的长为【分析】先利用勾股定理求出AB=10,进而求出CD=BD=5再求出CF=4,进而求出DF=3,再判断出FGLBD,利用面积即可得出结论.【解答】解：如图，在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB=1Q•••点D是AB中点，CD=BD=AB=5,连接DF,•/CD是OO的直径，•••/CFD=90,BF=CF=BC=4,DF二…■.-；=3,连接OF,•/OC=ODCF=BF•••OF//AB,•••/OFC=/B,•••FG是OO的切线，•/OFG=90,/OFC+ZBFG=90,/BFG+ZB=90°,•FG丄AB,•S^bd=DFXBF=BDXFG:勺 茫sJJFXBF3X412sJJFXBF3X412FG=BD（2018?包头）如图，AB是OO的直径，点C在OO上，过点C的切线与BA的延长线交于点D,点E在反上（不与点B,C重合），连接BE,CE若/D=4C°,则/BEC=115度.【分析】连接OC,根据切线的性质求出/DCO求出/COB即可求出答案.【解答】解:连接OC•••DC切OO于C,•••/DCO=90,•••/D=40,•••/COB2D+ZDCO=130,i「的度数是130°,汁的度数是360°-130°=230°,ZBEC=：m、=115°,故答案为：115.（2018?湘潭）如图，AB是OO的切线，点B为切点，若ZA=30,则ZAOB=60【分析】根据切线的性质得到ZOBA=90，根据直角三角形的性质计算即可.【解答】解：•AB是OO的切线，•ZOBA=90,•ZAOB=90-ZA=60°,故答案为：60°.（2018?徐州）如图，AB是OO的直径，点C在AB的延长线上，CD与OO相切于点D.若ZC=18，则ZCDA=126度.【分析】连接OD构造直角三角形，利用OA=OD可求得ZODA=36,从而根据ZCDAZCDO+ZODA计算求解.【解答】解：连接OD则/ODC=90，/COD=72;•/OA=OD•••/0DA2A=/COD=36,2•••/CDA=/CDOyODA=90+36°=126°n（2018?青岛）如图， Rt△ABC/B=90°,ZC=30,O为AC上一点，OA=2以O为圆心，以OA为半径的圆与CB相切于点E,与AB相交于点F,连接OEOF,则图中阴影部分的面积是【分析】根据扇形面积公式以及三角形面积公式即可求出答案.【解答】解：•••/B=90°，/C=3C°,:丄A=60°,•/OA=OF•△AOF是等边三角形，•••/COF=12C,•/OA=2,兀X4 4•扇形OGF勺面积为： …一 =.I•/OA为半径的圆与CB相切于点E,•••/OEC=90,•OC=2OE=4•AC=OC+OA=6

•••AB=AC=32•由勾股定理可知：BC=3—•△ABC•△ABC的面积为:•••△OAF的面积为:•阴影部分面积为：/3X3-=；2X一=_,24. 24. （2018?广东）如图，矩形ABCD中,BC=4,CD=2以AD为直径的半圆O与BC相切于点E,E,连接BD则阴影部分的面积为 n（结果保留n）【分析】连接OE如图，禾U用切线的性质得OD=2OELBC,易得四边形OEC助正方形，先利用扇形面积公式，利用 S正方形OECD-S扇形EOD计算由弧DE线段ECCD所围成的面积，然后利用三角形的面积减去刚才计算的面积即可得到阴影部分的面积.【解答】解：连接OE如图，•••以AD为直径的半圆O与BC相切于点E,•OD=2OELBC,易得四边形OECD为正方形，2 ■9^•由弧DE线段EGCD所围成的面积=S正方形oec—S扇形eo=2 =4-n,360•••阴影部分的面积==X2X4-（4-n）=n.故答案为n.

（2018?南京）如图，在矩形ABCD中,AB=5BC=4,以CD为直径作OO.将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形AB'CD'的边AB'与OO相切，切点为E,边CD与OO相交于点B C【分析】连接OE延长EO交CD于点G作OHLB'C,由旋转性质知/B'=/B'CD=90°AB=CD=5BC=BC=4,从而得出四边形OEBH和四边形EB'CG都是矩形且OE=OD=OC=2.5继而求得CG=BE=OH=J「||- 丁=2,根据垂径定理可得CF的长.【解答】解：连接OE延长EO交CD于点G作OHLB'C于点H,B C则/OEB=/OHB=90°,•••矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为AB'CD',•••/B'=ZB'CD=90°,AB=CD=5BC=BC=4,•••四边形OEBH和四边形EB'CG都是矩形，OE=OD=OC=2,5B'H=OE=2.5CH=BC-B'H=1.5,CG=BE=OH=Jud：〜「：「一」产=2,•••四边形EBCG是矩形，•••/0GC=9°,即卩OGLCD,•••CF=2CG=4故答案为：4.三•解答题（共25小题）（2018?可桥区模拟）如图，已知三角形 ABC的边AB是OO的切线，切点为B.AC经过圆心O并与圆相交于点DC,过C作直线CE丄AB,交AB的延长线于点E.（1）求证：CB平分/ACE（2）若BE=3CE=4求OO的半径.【分析】（1）证明：如图1,连接OB由AB是O0的切线，得到OBLAB,由于CE丄AB,的OB//CE,于是得到/1=/3,根据等腰三角形的性质得到/ 1=/2,通过等量代换得到结果.（2）如图2,连接BD通过△DB3ACBE得到比例式一一-：，列方程可得结果.dCCd【解答】（1）证明：如图1,连接OB•/AB是O0的切线，OB丄AB,•/CE丄ABOB//CE:丄仁/3,•/OB=OC•••/2=73,•CB平分/ACE(2)如图2,连接BD•/CE丄AB•••/E=90°,二 忙「= :I=5,•/CD是O0的直径，•••/DBC=90,•••/E=ZDBC•••△DBC^ACBE.CDBC•，bC=cd?ceCD亠仝,4 4'•0C=L=，(2018?天津)已知AB是OO的直径，弦CD与AB相交，/BAC昭8°,(I)如图①，若D为「的中点，求/ABC和/ABD的大小；(n)如图②，过点D作OO的切线，与AB的延长线交于点P,若DP//AC,求/OCD勺大小.ABC和/ABD的大小;【分析】ABC和/ABD的大小;（n）根据题意和平行线的性质、切线的性质可以求得/ OCD勺大小.【解答】解：（I）TAB是OO的直径，弦CD与AB相交，/BAC=38,•••/ACB=90,•••/ABC玄ACB-ZBAC=90-38°=52°,•/D为，「的中点，/AOB=180,•••/AOD=90,•••/ACD=45;(n)连接OD•••DP切OO于点D,•••ODLDP,即/ODP=90,由DP//AC,又/BAC=38,•••/P=ZBAC=38,•/ ODP的一个外角，•••/AOD2P+ZODP=128,•••/ACD=64,•/OC=OAZBAC=38,ZOCAZBAC=38,ZOCDZACD-ZOCA=64-38°=26°(2018?荆门)如图，AB为OO的直径，C为OO上一点，经过点C的切线交AB的延长线于点E,AD丄EC交EC的延长线于点D,AD交OO于F,FMLAB于H,分别交OOAC于MN,连接MBBC.求证：AC平分/DAE若cosM=',BE=1,①求OO的半径；②求FN的长.【分析】(1)连接OC如图，禾U用切线的性质得OCLDE,则判断OC//AD得到/仁/3,加上/2=73,从而得到/1=/2;(2)①利用圆周角定理和垂径定理得到 :=「，则7COE7FAB,所以/FAB=/M=7COE设OO的半径为r,然后在Rt△OCE中利用余弦的定义得到 '=",从而解方程求出r即可;r+15②连接BF,如图，先在Rt△AFB中利用余弦定义计算出AF=±，再计算出OC=3接着证明5△AFN^AAEC然后利用相似比可计算出 FN的长.【解答】(1)证明：连接OC如图，•••直线DE与OO相切于点C,•••OCLDE又•••ADLDEOC//AD.•••/1=73•/OA=OC72=73,71=72,AC平方7DAE(2)解：①TAB为直径，7AFB=90,而DEIAD•••BF//DE•••0C±BF,•••[=「，•••/COENFAB,而/FAB=ZM•••/COENM设OO的半径为r,在Rt△OCE中,cosNCOE=-詁，即卩'一詁，解得r=4,OE5 r+15即OO的半径为4；②连接BF,如图,AF在Rt△AFB中，cosNFAB=,AB•AF=8X"=55在Rt△OCE中,OE=5OC=4CE=3,•/AB丄FM•■'I,N5=N4,•/FB/DE•N5=NE=N4,•N仁N2,•△AFN^AAEC32，-=,•FN=

(2018?随州)如图， AB是OO的直径，点C为OO上一点，CN为OO的切线,OMLAB于点O,分别交ACCN于OMLAB(2)根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可.•••CN为OO的切线,•••OCLCM/OCA在ACM=90,•/OMLAB,•••/OAC+/ODA=90,•/OA=OC•••/OAC2OCA•••/ACMMODA2CDM•MD=MC(2)由题意可知AB=5X2=10,AC=4!,

•/AB是O0的直径,•••/ACB=90,•-BC= 1〔广-「匚:'：=•••/AOD2ACB/A=ZA,△AOSAACB•J： 冃口<< ，即--222x+2.5)=x+5,可得：OD=2.5,设MC=MD=x222x+2.5)=x+5,解得：x=」,即MC=1.4(2018?黄冈)如图，AD是OO的直径，AB为OO的弦，OPLAD,OP与AB的延长线交于点P,过B点的切线交OP于点C.(1)求证：/CBP=zADB(2)若OA=2AB=1,求线段BP的长.【分析】(1)连接OB如图，根据圆周角定理得到/ABD=90，再根据切线的性质得到/OBC=90，然后利用等量代换进行证明；(2)证明△AOSAABD然后利用相似比求BP的长.【解答】(1)证明：连接OB如图，•/AD是OO的直径，•••/ABD=90，•••/A+ZADB=90，•••BC为切线，

•••OB丄BC,•••/OBC=90,•••/OBA+ZCBP=90,而OA=OB•••/A=ZOBA•••/CBPZADB(2)解：TOPLAD:丄POA=90,•••/P+ZA=90,•••/P=ZD,△AOP^AABD•如=迪即1+QP=2•而=丽,~~=1BP=7.(2018?襄阳)如图， AB是OO的直径，AM和BN是OO的两条切线，E为OO上一点,过点E作直线DC分别交AMBN于点D,C,且CB=CE求证：DA=DE若AB=6CD=4一，求图中阴影部分的面积.ADM【分析】(1)连接OE推知CD为OO的切线，即可证明DA=DE(2)利用分割法求得阴影部分的面积.【解答】解：(1)证明：连接OEOC•/OB=OE•••/OBE=/OEB•/BC=EC•••/CBE玄CEB•••/OBC2OEC•••BC为OO的切线，•••/OEC2OBC=90;TOE为半径，CD为OO的切线，•••AD切OO于点A,DA=DE(2)如图，过点D作DF丄BC于点F,则四边形ABFD是矩形,AD=BFDF=AB=6DC=BC+AD=4_.TFC=.f]j仁"少’=2 '，BC-AD=2—,BC=3一.在直角△OBC中，tan/BOE==_,BO/BOC=60.在厶OEC^OBC中,fOE=OB勺OOOC,LCE=CB•△OEC^AOBC(SSS,•/BOE=ZBOC=120…S阴影部分…S阴影部分=S四边形BCE—S扇形 BC?OB =9一3n(2018?长春)如图，AB是OO的直径，AC切OO于点A,BC交OO于点D.已知OO的半径为6，/C=40.求/B的度数.求的长.(结果保留n)【分析】(1)根据切线的性质求出/A=90°，根据三角形内角和定理求出即可;(2)根据圆周角定理求出/AOD根据弧长公式求出即可.【解答】解：(1)•••AC切OO于点A,/BAC=90,•••/C=40,•••/B=50°;•••/AOD=ZB=100,•••二的长为10Q7TX6•••二的长为10Q7TX618010(2018?白银)如图，点O是厶ABC的边AB上一点，OO与边AC相切于点E,与边BC,AB分别相交于点D,F,且DE=EF【分析】(1)连接OEBE,因为DE=EF所以DE二EF，从而易证/OEB=/DBE所以0E//BC从可证明BC丄AC；(2)设0O的半径为r,则AO=5-r，在Rt△AOE中,sinA='= =，从而可求出r的0A"5值.【解答】解：(1)连接OEBE,•/DE=EF•- 'H•••/OBE/DBE•/OE=OB•/OEB/OBE/OEB/DBEOE//BC•••OO与边AC相切于点E,OE丄ACBC丄AC/C=903(2)在厶ABC/C=90,BC=3sinA='5AB=5,设OO的半径为r,则AO=5-r,HFr3在Rt△AOE中,sinA=—= =OA5-r5

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y(2018?绵阳)如图，AB是OO的直径，点D在OO上(点D不与A,B重合)，直线AD交过点B的切线于点C,过点D作OO的切线DE交BC于点E.(1)求证：BE=CE(2)若DE//AB,求sin/ACO的值.A\QIB【分析】(1)证明：连接OD如图，利用切线长定理得到 EB=ED利用切线的性质得ODLDEAB丄CB再根据等角的余角相等得到/ CDE=/ACB贝UEC=ED从而得到BE=CE(2)作OH丄AD于H,如图，设OO的半径为r,先证明四边形OBED为正方形得DE=CE=,再利用△AOD^ACDE都为等腰直角三角形得到接着根据勾股定理计算出 OC=「r，然后根据正弦的定义求解.【解答】(1)证明：连接OD如图，•/EB、ED为OO的切线，•••EB=EDODLDE,AB丄CB,•••/ADO丄CDE=90，/A+ZACB=90,•/OA=OD•ZA=ZADO

•••/CDE=/ACB•••EC=EDBE=CE(2)解：作OHLAD于H,如图，设OO的半径为r,•••DE//AB,•••/DOB=/DEB=90,•四边形OBED为矩形，而OB=OD•四边形OBED为正方形，DE=CE=,易得△AOD^ACDE都为等腰直角三角形，OH=DH^r,CD=一r,在Rt△OCB中,OC=二.=门，在在Rt△OCH中,即sin/ACO的值为」A\OB(2018?德州)如图，AB是OO的直径，直线CD与OO相切于点C,且与AB的延长线交，于:丿E,丿C是：-的中点.求证：AD丄CD若/CAD=30,OO的半径为3，一只蚂蚁从点B出发，沿着BE-EC-—爬回至点B,求蚂蚁爬过的路程(n疋3.14,c1.73，结果保留一位小数)【分析】（1）连接0C根据切线的性质得到 0C±CD证明OC//AD,根据平行线的性质证明；（2）根据圆周角定理得到/COE=60，根据勾股定理、弧长公式计算即可.【解答】（1）证明：连接OC•••直线CD与OO相切，•••OCLCD•••点C是I；的中点，•••/DAC=zEAC•/OA=OC•••/0CA2EAC•••/DAC=zOCAOC//AD,AD丄CD（2）解：I/CAD=30,•••/CAE玄CAD=30,由圆周角定理得，/COE=60,厂 l亠60KX3•••OE=2OC=6EC=：OC=3-，，一=n,•••蚂蚁爬过的路程=3+3二+n~11.3.（2018?北京）如图， AB是OO的直径，过OO外一点P作OO的两条切线PC,PD,切

点分别为C,D,连接opCD求证：OPLCD连接AD,BC,若/DAB=50，/CBA=70,OA=2求OP的长.【分析】(1)先判断出Rt△ODP^Rt△OCP得出/DOP2COP即可得出结论；(2)先求出/COD=60,得出△OCD是等边三角形，最后用锐角三角函数即可得出结论.【解答】解：(1)连接OCOD•••OC=OD•••PD,PC是OO的切线,[0D=0C1OP二OP•••/ODP2OCP=90,在Rt△ODF和Rt[0D=0C1OP二OP•Rt△ODP2Rt△OCP•••/DOP2COP•/OD=OC•OP丄CD；(2)如图，连接ODOC•••OA=OD=OC=OB=2•••/ADONDAO=50,/BCOMCBO=70,•••/AOD=80,/BOC=40,•••/COD=60,•/OD=OC•△COD是等边三角形，由(1)知，/DOPNCOP=30,(2018?铜仁市)如图，在三角形 ABC中，AB=6,AC=BC=5以BC为直径作OO交AB于点D,交AC于点G,直线DF是OO的切线，D为切点，交CB的延长线于点E.(1)求证：DF丄AC；(2)求tan/E的值.【分析】(1)连接OCCD,根据圆周角定理得/BDC=90，由等腰三角形三线合一的性质得：D为AB的中点，所以OD是中位线，由三角形中位线性质得： OD//AC,根据切线的性质可得结论；(2)如图，连接BG先证明EF/BG则/CBGME,求/CBG的正切即可.【解答】(1)证明：如图，连接OCCD,•/BC是OO的直径，•••/BDC=90,•••CD丄AB,•/AC=BCAD=BD•/OB=OCOD是厶ABC的中位线•OD//AC,

•/DF为O0的切线,•••ODLDF,•••DFLAC;(2)解：如图，连接BG•/BC是O0的直径，•••/BGC=90,•••/EFC=90=ZBGC•EF//BG•••/CBG2E,Rt△BDC中，TBD=3BC=5,--CD=4,ab(=丄竝，二：工忙6X4=5BGBG=，由勾股定理得:=「BG2424•tan/CBG=tan/E= =—=1=「BG2424(2018?昆明)如图， AB是OO的直径，ED切OO于点C,AD交OO于点F,/AC平分/BAD连接BF.(1)求证：ADLED(2)若CD=4AF=2,求OO的半径.【分析】(1)连接0C如图，先证明OCAD,然后利用切线的性质得 OCLDE从而得到ADLED(2)0C交BF于H,如图，利用圆周角定理得到/AFB=90，再证明四边形CDFH为矩形得到FH=CD=4/CHF=90，利用垂径定理得到BH=FH=4然后利用勾股定理计算出AB,从而得到O0的半径.【解答】(1)证明：连接0C如图，•/AC平分/BAD•••/仁/2,•/OA=OC:丄仁/3,•••/2=73,0C//AD,•••ED切OO于点C,OCLDEAD丄ED(2)解：OC交BF于H,如图，•/AB为直径，•••7AFB=90,易得四边形CDFH为矩形，FH=CD=47CHF=90,OH!BF,BH=FH=4BF=8,在Rt△ABF中，：］于=;J=2 ：,(2018?陕西)如图，在Rt△ABC中，/ACB=90,以斜边AB上的中线CD为直径作OO,分别与ACBC交于点MN.过点N作OO的切线NE与AB相交于点E,求证：NE!AB;连接MD求证：MD=NB【分析】(1)连接ON如图，根据斜边上的中线等于斜边的一半得到 CD=AD=D,B则/仁/B,再证明/2=ZB得到ON//DB接着根据切线的性质得到 ON!NE然后利用平行线的性质得到结论；(2)连接DN如图，根据圆周角定理得到/CMDNCND=90，则可判断四边形 CMDF为矩形，所以DM=CN然后证明CN=BN从而得到MD=NB【解答】证明：(1)连接ON如图，•/CD为斜边AB上的中线，CD=AD=D,•••/仁/B,•/OC=ON•••/仁/2,•••/2=ZB,ON//DB•••NE为切线，/.ONLNE•••NELAB;(2)连接DN如图，•/AD为直径，•••/CMDNCND=90,而/MCB=90,•四边形CMDf为矩形,DM=CN•/DNLBC,/仁/B,CN=BNMD=NB(2018?曲靖)如图，AB为OO的直径，点C为OO上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，连接OCCDBD过点C的切线与线段BA的延长线交于点P,连接AD,在PB的另一侧作/MPB=/ADC(1)判断PM与OO的位置关系，并说明理由；(2)若PC=一，求四边形OCDB勺面积.【分析】(1)连接DC并延长交PM于E,如图，利用折叠的性质得OC=DCBO=BD则可判断四边形OBDC为菱形，所以ODLBC,AOCD^D^OBD都是等边三角形，从而计算出/ COP=/EOP=60，接着证明PM/BC得到0E1PM,所以OE丄OR根据切线的性质得到OCLPC,则OC=.OP,从而可判定PM是OO的切线;(2)先在Rt△OPC中计算出OC=1然后根据等边三角形的面积公式计算四边形 OCDB勺面积.【解答】解：(1)PM与OO相切.理由如下：连接DO并延长交PM于E,如图，•••弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，•••OC=DCBO=BD•••OC=DC=BO=BD•四边形OBDC为菱形，ODLBC,•••△OCD^n^OBD都是等边三角形，•••/CODMBOD=60，•••/COPMEOP=60，•••/MPBMADC而/ADCMABC•••/ABC玄MPBPM//BC,•••OE!PM•••PC为OO的切线,•OCLPC,•••OC=OP•OE=OC而OELPC•PM是OO的切线;•••四边形OCDB勺面积=2S^oc=2X x12= .4 2A/（2018?邵阳）如图所示， AB是OO的直径，点C为OO上一点，过点B作BD丄CD垂足为点D,连结BC.BC平分/ABD【分析】先利用BC平分/ABD得到/OBCMDBC再证明OC//BD,从而得到OCLCD然后根据切线的判定定理得到结论.【解答】证明：IBC平分/ABD•••/OBCMDBC•/OB=OCMOBCMOCBMOCBMDBCOC//BD,•/BD丄CDOCLCDCD为OO的切线.（2018?黄石）如图，已知AB、C、DE是OO上五点，OO的直径BE=2—,MBCD=120,A为丘!的中点，延长BA到点P,使BA=AP连接PE.求线段BD的长；求证：直线PE是OO的切线.【分析】(1)连接DB,如图，禾U用圆内接四边形的性质得/DEB=60，再根据圆周角定理得到/BDE=90，然后根据含30度的直角三角形三边的关系计算 BD的长；(2)连接EA如图，根据圆周角定理得到/BAE=90，而A为:的中点，则/ABE=45,再根据等腰三角形的判定方法，利用BA=AP得到厶BEP为等腰直角三角形，所以/PEB=90,然后根据切线的判定定理得到结论.【解答】(1)解：连接DB,如图，•••/BCD+ZDEB=180,•••/DEB=180-120°=60°,•••BE为直径，•••/BDE=90,在Rt△BDE中,DE=BE=X2二=二，BD=_DE=-X-=3;(2)证明：连接EA如图，•••BE为直径，•••/BAE=90,•••A为「的中点，•••/ABE=45,•/BA=AP而EA1BA•△BEP为等腰直角三角形，•••/PEB=90,•PE丄BE,（2018?怀化）已知：如图，AB是OO的直径，AB=4,点F,C是OO上两点，连接AC,AF,OC弦AC平分/FAB,/BOC=60,过点C作CDLAF交AF的延长线于点D,垂足为点D.(2)易证/FAC=/ACO从而可知AD//OC由于CDLAF,所以CDLOC所以CD是OO的切线.【解答】解：(1)•••AB=4,OB=2•//COB=60,, 6071X42H…S扇形OB= =(2)•••AC平分/FAB•••/FAC=/CAO•/AO=CO/ACO/CAO•/FAC=/ACO•••AD//OC•「CD丄AF,CD丄OC•/C在圆上，CD是OO的切线(2018?新疆)如图，PA与OO相切于