初中奥数题及答案

初中奥数题及答案初中奥数试题一一、选择题（每题1分，共10分）1.如果a，b都代表有理数，并且a+b=0，那么a，b互为相反数。2.下面的说法中正确的是整式与整式的和是整式。3.下面说法中不正确的是没有最大的负整数。4.如果a，b代表有理数，并且a+b的值大于a-b的值，那么b＞a。5.大于-π并且不是自然数的整数有4个。6.有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。这四种说法中，不正确的说法的个数是1个。7.a代表有理数，那么a和-a的大小关系是不一定大于-a。8.在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边都加上1。解析：1.利用实例得出结论，a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此a、b互为相反数。2.根据整式的定义，单项式与单项式的和是多项式，多项式与多项式的和是多项式，整式与整式的和是整式。3.最大的负整数是-1，故C错误。4.设a=x，b=y，则x+y>x-y，化简得y>x/2，即b＞a/2。由于a，b都代表有理数，所以可以得出b＞a。5.在数轴上容易看出：在-π右边的左边（包括在内）的整数只有-3，-2，-1，共4个。6.正数的平方大于它本身，正数的立方大于它本身，负数的平方是正数，一定大于它本身，只有负数的立方不一定大于它本身，故丙错误。7.令a=0，即可得出a和-a的大小关系不一定大于-a。8.为使得到的方程和原方程同解，需要进行等式变形，可以在原方程的两边都加上同一个数，也可以在原方程的两边都乘以同一个非零数，选项D都加上1是不正确的。解析：对于第一题，可以将原文中的排版错误进行修正，同时将一些表述稍作修改，如：“易知其根为x=2”可以改为“由方程x-2=0可知其根为x=2”。对于第二题，可以将错误的段落删除，同时将原文中的“依题意可得”改为“根据题意可知”，更加简洁明了。在第三题中，可以将答案的计算过程补充上去，同时将“原式==”改为“原式=”。最后，在第四题中，可以将计算过程中的单位“千克”统一，使得表述更加规范。1.甲乙两人每年收入相等，甲每年储蓄全年收入的4/5，乙每月比甲多开支100元，三年后负债600元，求每人每年收入多少？解：设每人每年收入为x元，甲每年开支为4/5x元，依题意有：3（4/5x+1200）=3x+600，即(3-12/5)x=3600-600，解得x=5000。所以每人每年收入5000元。2.一个人以3千米/小时的速度上坡，以6千米/小时的速度下坡，行程12千米共用了3小时20分钟，试求上坡与下坡的路程。解：设上坡路程为x千米，下坡路程为y千米。依题意则有2x+y=20，y=12-x。将y代入第一个式子中得到2x+12-x=20，解得x=8千米，y=4千米。所以上坡路程为8千米，下坡路程为4千米。3.求和：1+2+3+...+n。解：第n项为n，共有n项，所以总和为n(n+1)/2。4.证明：质数p除以30所得的余数一定不是合数。证明：设p=30q+r，其中0≤r＜30。因为p为质数，故r≠1，即1＜r＜30。假设r为合数，则r的最小质约数只可能为2，3，5。由p=30q+r知，当r的最小质约数为2，3，5时，p不是质数，矛盾。所以，r一定不是合数。5.解方程：(2p-1)(2q-1)=mpq。解：设k=2p-1，l=2q-1，则kl=mpq。因为k和l都是奇数，所以k和l互质。可知m＜4。由原方程可得(4-m)pq+1=2(p+q)，即(4-m)kl+1=2(k+l)。因为m＞0且为整数，所以m=1,2,3。分别代入可得：当m=1时，有(k,l,p,q)=(1,1,1,1)，与已知不符；当m=2时，无解；当m=3时，有(k,l,p,q)=(3,5,2,4)或(5,3,4,2)。所以，p+q=8。注：文章中的排版格式错误已经被删除。答案：设提价x元，则每天卖出的件数为100-10x，每件商品的利润为(4+x)元。则每天的总利润为(100-10x)(4+x)=400+60x-10x²。对该式求导，得到一次函数y=-20x+60，其最大值为y=60，即当x=1.5时，利润最大，最大利润为460元。1.下面给出的四对单项式中，同类项的一对是()A.x²y与-3x²zB.3.22m²n与nm²C.0.2a²b与0.2ab²D.11abc与ab答案：C2.已知正整数a、b、c满足a+b+c=2019，且a、b、c中最大数不超过1000，则a、b、c的最小值为()A.672B.673C.674D.675解析：最小值出现在a、b、c尽量接近的情况下，且最大数不超过1000，所以a=b=c=673时最小，答案为B。3.甲、乙、丙三个人同时从A地到B地，甲的速度是乙的3/4，丙的速度是甲的2/3，丙比乙早到达B地20分钟，从A地到B地的距离是360千米，甲、乙、丙的速度分别是多少千米/小时？A.80、60、40B.90、60、40C.80、70、50D.90、70、50解析：设甲的速度为v，则乙的速度为3v/4，丙的速度为2v/3。根据时间和距离的关系，得到：360/v+20/60=360/(3v/4)+20/60+360/(2v/3)。解方程得到v=80，乙的速度为60，丙的速度为40，答案为A。4.如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF交于点G，若AB=4，则AG的长度为()（图略）A.2√2B.3C.2√3D.4/√5解析：由于AE=EF=FB，所以三角形AEF是等边三角形，AG是AE的中线，所以AG=1/2AE=1/2AB=2，答案为B。5.如图，在三角形ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，F为BC上一点，且DE=DF，若AB=6，AC=8，则BE的长度为()（图略）A.2B.2.5C.3D.3.5解析：由于DE=DF，所以三角形DEF是等腰三角形，所以∠EDF=∠ABC/2。又因为AE=EC，所以∠AEC=∠ACB/2。所以∠DEF=∠AEC-∠EDF=∠ACB/2-∠ABC/2=∠BAC。所以三角形BFE与三角形ABC相似，所以BE/AB=BF/BC，代入数据计算得到BE=3，答案为C。二、填空题1.已知正整数a、b、c满足a+b+c=2019，且a、b、c中最大数不超过1000，则a、b、c的最小值为__________。答案：673。2.如图，在三角形ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，F为BC上一点，且DE=DF，若AB=6，AC=8，则BE的长度为__________。答案：3。三、解答题1.已知正整数x、y满足x²+y²=2019，求x、y的最大值和最小值。解析：根据勾股定理，x²+y²为半径为√2019的圆的面积，所以x²+y²的取值范围是[0,2019]。当x=y=√1009时，x²+y²取得最大值2018；当x=0，y=√2019时，x²+y²取得最小值2019。2.已知正整数a、b、c满足a+b+c=2019，且a、b、c中最大数不超过1000，求a、b、c中最小数的所有可能值。解析：最小值出现在a、b、c尽量接近的情况下，且最大数不超过1000。设a=b，c=2019-2a，则a、b、c满足条件，且最小值为a。所以a的取值范围是[1,1000]，对应的b、c的值也可以求出。3.如图，在三角形ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，F为BC上一点，且DE=DF，若AB=8，AC=10，则BE的长度为多少？（图略）解析：由于DE=DF，所以三角形DEF是等腰三角形，所以∠EDF=∠ABC/2。又因为AE=EC，所以∠AEC=∠ACB/2。所以∠DEF=∠AEC-∠EDF=∠ACB/2-∠ABC/2=∠BAC。所以三角形BFE与三角形ABC相似，所以BE/AB=BF/BC，代入数据计算得到BE=4，答案为4。答案：原式化简得6ax-6x=3-6b+4ab，即6x(a-1)=3-6b+4ab，当a≠1时，可以继续化简得x=(3-6b+4ab)/(6(a-1))。3.假设一开始桶内有V升液态农药，倒出8升后剩下V-8升，再用水灌满，浓度为72%，即剩下的液态农药为剩下的液体的28%。所以有0.28(V-8)=4，解得V=50。因此，桶的容量为50升。4.6．题目要求求解点P到三角形ABC三个顶点的距离和与三角形周长之比的取值范围。根据图1-105，在三角形PBC中，可以得出不等式BC＜PB＋PC（①）。接着，延长BP交AC于点D，可以证明PB＋PC＜AB＋AC（②）。由①和②可以得到BC＜PB＋PC＜AB＋AC（③）。同理，可以得到AC＜PA＋PC＜AC＋BC（④）和AB＜PA＋PB＜AC＋AB（⑤）。将③、④、⑤相加，可以得到AB＋BC＋CA＜2(PA＋PB＋PC)＜2(AB＋BC＋CA)。因此，P到三角形ABC三个顶点的距离和与三角形周长之比的取值范围为2/3≤PA＋PB＋PC/AB＋BC＋CA＜2。5.这道题目要求求解两个人步行相向而行碰面时，甲比乙多行的距离，以及两个站点之间的距离。设甲的步行速度为x千米