16.1 几何证明选讲

/第十六章选讲内容本章知识结构图几何证明选讲几何证明选讲平行线等分线段定理推论引理推论1推论2平行线分线段成比例定理相似三角形预备定理判定定理2判定定理1判定定理3直角三角形相似判定定理射影定理坐标系与参数方程切割线定理相交弦定理割线定理切线定义圆的切线的判定定理与性质定理坐标系圆周角定理参数方程柱坐标系球坐标系平面直角坐标系直角坐标系极坐标系直线和圆的参数方程圆锥曲线的参数方程平面上的坐标系弦切角的性质定理切线长定理四点共圆判定定理圆内接四边形性质定理四点共圆判定定理圆内接四边形性质定理直线和圆常见曲线推论2推论1直线和圆常见曲线推论2推论1空间中的坐标系曲线的极坐标方程抛物线的参数方程双曲线的参数方程椭圆的参数方程摆线和圆的渐开线的参数方程空间中的坐标系曲线的极坐标方程抛物线的参数方程双曲线的参数方程椭圆的参数方程摆线和圆的渐开线的参数方程不等式的基本性质不等式不等式不等式的基本性质不等式三个正数的算数-几何平均不等式基本不等式不等式和绝对值不等式三个正数的算数-几何平均不等式基本不等式不等式和绝对值不等式绝对值三角不等式绝对不等式绝对值三角不等式绝对不等式比较法绝对值不等式的解法比较法绝对值不等式的解法综合法与分析法不等式证明不等式的基本方法综合法与分析法不等式证明不等式的基本方法反证法与放缩法反证法与放缩法数学归纳法数学归纳法柯西不等式、排序不等式柯西不等式、排序不等式几何证明选讲考纲解读1.了解平行线截截割定理，会证明并应用直角三角形射影定理.2.会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理.3.会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.4.了解平行投影的含义、通过圆柱与平面的位置关系了解平行投影；会证明平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆）.命题趋势探究主要考查圆周角定理、圆的切线的判定定理与性质定理以及圆内接四边形的性质.知识点精讲一、平行截割定理1.平行线等分线段定理及其推论（1）定理：如果一组平行线在一条线段上截得的线段相等，那么在任意一条（与这组平行线相交的）直线上截得的相等也相等.(2)推论：经过梯形一腰的中点而平行与底边的直线平分另一腰.2.平行截割定理及其推论（1）定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例．（2）推论：平行于三角形一边的直线截其它两边，截得的三角形与原三角形的对应线段成比例．二、相似三角形1.相似三角形的判定（1）判定定理：=1\*GB3①两角对应相等的两个三角形相似.=2\*GB3②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．=3\*GB3③三边对应成比例，两三角形相似.（2）推论：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.(3)直角三角形相似的特殊判定：斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似.2.相似三角形的性质相似三角形对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．3.直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上的射影的乘积.三、圆的切线1.切线的性质及判定（1）切线的性质定理：原的切线垂直于经过切点的半径.（2）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.2.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线长相等.四、相交弦定理圆内两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.五、切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．六、圆内接四边形1.圆内接四边形的性质定理：圆的内接四边形的对角互补.2.圆内接四边形的判定定理:(1)如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形内接于圆.(2)若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆，特别地，对定线段张角为直角的点共圆.题型归纳及思路提示题型192相似三角形思路提示运用相似三角形的判定定理与性质，注意表示线段字母的对应，常考题型是“A”型或“8”型相似.例16.1如图16-1所示，已知求证：解析：证法一：因为所以.所以所以=1\*GB3①.又与同向，由等角定理知=2\*GB3②由=1\*GB3①=2\*GB3②得.证法二：因为所以，所以.即.所以.故，即.所以.变式1如图16-2所示，在中，作平行于的直线交于，交于E，若BE和CD相交于O，AO和DE相交于F，AO的延长线交BC与G.证明：（1）；（2）变式2如图16-3所示，已知AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P.若，则PE=__________________变式3如图16-4所示，已知PA，PB是的两条切线，PCD是的一条割线，E是AB与PD的交点.证明：（1）；（2）；（3）.例16.2如图16-5所示,四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和CD交于点P，若，则的值为__________________.解析：因为四边形ABCD是圆O的内接四边形.所以.又，所以，所以.故变式1.如图16-6所示，的弦ED，CB的延长线交于点A，若，则________________________.变式2如图16-7所示，过外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A、B两点，且是圆上一点使得则________________。题型193相交弦定理、切割线定理及其应用思路提示理解相交弦定理、切割线定理，掌握相交弦定理、切割线定理与四点共圆的等价性.例16.3（1）（2012年陕西理15）如图16-8所示，在中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，，垂足为F，若AB＝6，AE=1，则___________.（2）（2012年北京理5）如图16-9所示，，于点D,以BD为直径的圆与BC交于点E，则（）A.B.C．D.解析（1）在中，由射影定理得，由相交弦定理得，故.（2）在中，由射影定理得.由切割线定理得，所以，故选A.变式1（2012年广东理15）如图16-10所示，AB是的直径，点C在上，延长BC到D使BC=CD，过C作的切线交AD于E.若AB=6，ED=2，则BC=___________.变式2（2012年湖北理15）如图16-11所示，点D在的弦AB上移动，AB=4，连接OD，过点D作OD的垂线，交于点C，则CD的最大值为___________.变式3如图16-12所示，PT为的切线，T为切点，PA交于A，B两点，的角平分线交TA，TB于D，E，PT=2，PB=，例16.4如图16-13所示，外一点P，PA切于A，M为AP的中点，MBC为的割线.求证：解析若又则证明：由切割线定理，得.变式1如图16-14所示，已知PA与相切，A为切点PBC为割线，弦，相交于E点，F为CE上一点，且（1）求证：（2）求证：（3）若，求PA的长.变式2如图16-15所示，过外一点M作它的一条切线，切点为A，过A点作直线AP垂直于直线OM，垂足为P.（1）证明：；（2）N为线段AP上一点，直线NB垂直于直线ON，且交B点，过B点的切线交直线ON于K.证明：.题型194四点共圆思路提示掌握四点共圆的常用等价条件（对角互补，外角等于内对角，同弧所对圆周角相等，相交弦定理、切割线定理等）.例16.5如图16-16所示，D,E分别为的边AB和AC上的点，且不与的顶点重合，已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程的两个根，证明：四点共圆.解析连接DE，根据题意在和中，，即.又，从而，因此.所以四点共圆.变式1如图16-17所示，四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EF=ED.（1）证明：.（2）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：四点共圆.变式2如图16-18所示，已知AP是的切线，P为切点，AC是的割线，与交于B，C两点，圆心O在的内部，点M是BC的中点.（1）证明：A，P，O，M四点共圆；（2）求大小.题型195空间图形问题转化为平面问题例16.6如图16-16所示，从球外一点引球的切线，则（）A．可以引无数条切线，所有切点组成球的一个大圆B．可以引无数条切线，所有切点组成球的一个小圆C．只可以引两条切线，两切点连线过球心D．只可以引两条切线，两切点连线不过球心解析如图16-19所示，为球的大圆，为的两条切线，把以PO为旋转轴，旋转得球O，因为，所以切点随之旋转为球O的一个小圆.故选B.变式1若平面与球O相切，切点为M，则（）A．经过点M的直线都与球O相切B．不经过点M的直线都与球相离C．平面内不经过点M的直线有可能与球O相切D．平面内经过点M的直线都与球O相切变式2已知球的半径R=6，过球外一点P作球的切线长为8，则点P到球面上任一点Q的最短距离为（）A.3B.4C.5D.6变式3将一个圆柱形水杯（内有半杯水）倾斜成母线与桌面成时，杯内的水平面（水不溢出）呈椭圆形，则该椭圆的离心率为（）A.B.C.D.最有效训练题59(限时45分钟)1．如图16-20所示Rt△中，∠=90°，是斜边上的高，,,则等于()A.B.C.D.2．如图16-21所示,分别是△的边,上的点，//旦,那么△与四边形的面积比是()A．B．C．D．图16-20图16-20图16-213．是△的三边中点，设△的面积为,△的周长为，则△的周长与△的面积分别是()A．B．C．D．4．如图16-22所示，在梯形中，//,∠=，以为圆心，为半径，作⊙交,于两点，并交延长线于，则的度数是()A.B.C.D.5．如图16-23所示，自⊙外一点引圆的切线，切点为,为的中点，过引圆的割线交圆于两点，且∠,∠，则∠的大小为()A.B.C.D.图16-22图16-22图16-236．如图16-24所示，⊙与⊙相交于和，切⊙于，交⊙于和，交的延长线于,,，则=()A.3B.C.D.7．如图16-25所示，已知是⊙的直径,在的延长线上，切⊙于点，⊥于.若,，则⊙的半径为；=.图16-25图16-25图16-248．如图l6-26所示，已知是⊙的切线，切点为,交⊙于两点，,，则⊙的半径为,∠=.9．如图16-27所示，⊙的直径，为圆周上一点，,过作圆的切线，过作的垂线,垂足为，则线段的长为.图16-26图16-26图16-2710．如图1