泛函极值及变分法

第二章泛函极值及变分法(补充内容)变分的基本概念泛函和变分泛函是一种广义的函数，是指对于某一类函数｛y(%)｝中的每一个函数y(%)，变量J有一值与之对应，或者说数J对应于函数y(%)的关系成立，则我们称变量J是函数y(%)的泛函，记为J[y(%)]。例1：如果表示两固定端点A(%A,yA)，B(%B，yB)间的曲线长度J(图2.1.1)，则由微积分相关知识容易得到：(2.1.1)J=I%B\,1+(dy/d%)2(2.1.1)%A显然，对于不同的曲线y(%)，对应于不同的长度J，即J是函数y(%)的函数，J=J[y(%)]。图2.1.1两点间任一曲线的长度例2：历史上著名的变分问题之 最速降线问题，如果2.1.2所示。设在不同铅垂线上的两点P1与P2连接成某一曲线，质点P在重力作用下沿曲线由点P1自由滑落到点P2,这里不考虑摩擦作用影响，希望得到质点沿什么样的曲线滑落所需时间最短。图2.1.2图2.1.2最速降线问题选取一个表示曲线的函数y(%)，设质点从P1到P2沿曲线y=y(%)运动，则其运动速度为:dtd%dsv=dtd%dt其中，S表示曲线的弧长，t表示时间，于是:,,"+y'2,

dt= d%v设重力加速度为g，则y=京。因为P1和P2点的横坐标分别为11到％,那么质点从P1到P2所用时间便为：J[y(1)]=j12；%1+y dx%<2g[y(11)-y(1)“211+[y'(1)]2厂d1 (2.1.2)11[2g[y(11)-y(1)]J则最速降线问题对应于泛函J[y(1)]取最小值。回顾函数的微分：对于函数的微分有两种定义：一种是通常的定义，即函数的增量：Ay=y(1+A1)-y(1)=A(1)A1+p(1,A1) (2.1.3)其中A(1)与A1无关，且有A1-0时p(1,A1)-0,于是就称函数y(1)是可微的，其线性部分称为函数的微分dy=A(1)A1=y'(1)A1，函数的微分就是函数增量的主部。函数微分的另外一种定义：通过引入一小参数£，对y(1+8A1)关于£求导数，并令《一0的途径得到，即：6y(二 [0=y，(1+sA1)A110=y，(1)A1=dy (2.1.4)上式说明y(1+£A1)在£=0处关于£的导数就是函数y(1)在1处的微分。相应地，在泛函J[y(1)]中，变量函数y(1)的增量在其很小时称为变分，用6y(1)或6y表示，指y(1)与它相接近的y1(1)的差，即：3y(1)=y(1)-y1(1)。泛函的变分也有类似的两个定义：对于函数y(1)的变分6y(1)所引起的泛函的增量为AJ=J[y(1)+5y(1)]-J[y(1)]，当5y(1)-0时泛函增量的线性主部就称为泛曲在函数y(1)处的变分，记为6J，即：5J=J[y(1)+5y(1)]-J[y(1必-0=4y(1)，5y(1)] (2.1.5)其中L[y(1),6y(1)]是泛函增量的线性主部，而且其对于变分6y(1)是线性的。另一种定义：拉格朗日的泛函变分定义为：

泛函变分是J[y（%）+£5y（x）]对g的导数在£=0时的值，即:—a.5J=—J[y(x)+g5y(x)] =L[y(x),5y(x)]洗 £f0首先，我们进行泛函:J=J[y(x)]=jx2F(x,y(x),y'(x))dxx1的变分。此泛函的增量可以用Taylor展式表示为:二jx2|aFAy+空Ay，+±xj行 行'C1a2F/,、- (Ay)2+2a2 7a2f, a2f . AyAy+ (Ay)2+a二jx2|aFAy+空Ay，+±xj行 行'C1a2F/,、- (Ay)2+2a2 7a2f, a2f . AyAy+ (Ay)2+ayay' a(y，”dx(2.1.8)当Ayf0，上式积分中的前两项是增量的线性主部，后面的项为高阶无穷小量。根据变分的定义，该泛函的变分为:5J=5J=jx2x1fafsafsX

5y+5ydx〔ay'ay，I(2.1.9)（2.1.9）也称为泛函j的一阶变分，而（2.1.8）式的后三项为二阶变分，记作8J，即:52j=jx2x1a2f&、.a252j=jx2x1a2f&、.a2fss,a2f^J--(5y)2+t^75y5y+、八(5y)2dxay2 ayay a(y”也可以通过拉格朗日泛函变分的定义，得到:5J=——J[y(x)+s5y(x)]0=jx2x1=；（I$y+Fy助此结果与（2.1.9）是相同的。a—F(x,y+g5y,y+£&y)asdx£f0类似地，如果泛函的值决定于两个函数，并且这些函数是两个变量的函数，如:J=J\u(x,y),v(x,y)]=jF(x,y,u,v,u,u,v,v)ds其变分为:af, af, af, af, af,——5u+ 5v+——5u+——5u+ 5vx y xaf+ar6vydsy依此类推，不难得到多个多元函数的变分。此处，泛函的变分满足下面的一些运算规律：6{j[y(%)]+J[y(x)]}=3J[y(x)]+6J[y(x)] (2.1.14a)1 2 1 26{J[y(%)].J[y(%)]}=6J[y(%)]J[y(%)]+J.[y(%)]-6J[y(%)] (2.1.14b)J[y(%)]] 6J[y(%)1J」y(%)]—J[y(%)16J」y(%)] 0114、(3)6,t>=—1 2-z1- 1-： 2 (2.1.14c)[J[y(%)]J J[y(%)]J222(4)6{J[y(%)]}"=n{J[y(%)]}，t.6J[y(%)] (2.1.14d)2.1.2泛函的极值和变分问题本节将讨论泛函的极值和变分。微积分知识：函数取极值的必要条件(但不是充分条件)：对于一个连续可导函数，如果其在定义域的某(些)点函数有极值，那么这个函数的一阶导数在这(些)点等于零，这个(些)点就是函数的极值点或驻点。对于泛函的极值问题，也有类似的结论，即泛函取极值的必要条件是其一阶变分6J=0。简要证明:假设函数y(%)是泛函J所定义的函数集合中的任一函数，这里不妨设泛函J[y(%)]在函数y(%)处有极大值，那么对于任一实变量a，必有:J[y(%)]>J[y(%)+a6y(%)]令f(a)=J[y(%)+a6y(%)]，则有:f(a)L°=J[y(%)]”[y(%)+a6y(%)]=f(a)上式表示f(a)在a=0处有极大值，根据函数取极值的必要条件:df(a)।ddf(a)।da 3df(a)।daQ=o=0，得至U：dJ[y(%)+a6y(%)]a=0=6J=0(2.1.17)由此就得到泛函取极大值的必要条件是其一阶变分为零。同样的方法可以证明，泛函取极小值的必要条件也是其一阶变分为零。泛函实现局部极大或极小值的充要条件：泛函实现局部极大或极小值的充要条件与函数取极值的充要条件类似，除了其一阶变分为零外，还需要考察二阶变分的情况:1)若泛函J[y(%)]在y(%)处取局部极大值，其充分必要条件为:5J\y(%)]=0, 82J\y(%也0 (2.1.18)2)若泛函J[y(%)]在y(%)处取局部极小值，其充分必要条件为：5J[y(%)]=0, 52J[y(%)]>0 (2.1.19)通常，我们将求泛函极值的问题称为变分问题。变分法的基本预备定理：如果函数F(%)在线段(%1,%2)上连续，且对于只满足某些一般条件的任意选取的函数5y(%)，有：』%2F(%)5y(%)d%=0 (2.1.20)%1则在线段(%p%2)上有：F(%)=0 (2.1.21)这里5y(%)满足的一般条件为：①一般或若干阶可微；②在(%p%2)的端点外为0；③5y(%)|<£或5y(%)|<£和5yr(%)|<£等。对于多变量问题，也有类似的变分定理。二维：函数F(%，y)在(％，y)平面S内连续，设5u(%,y)在S的边界上为零，5u|<£,5u|<£,5uj<£且满足连续性以及一阶或若干阶的可微性，对于这样选取的5u(%,y)，若有:』sF(%,y)5u(%,y)d%dy=0 (2,1.22)则在区域S内有：F(%,y)=0 (2.1.23)现在我们来研究最简单的泛函：J=J[y(%)]=)％2F(%,y(%),yr(%))d% (2.1.24)%1的极值问题。其中F为%，y和y，的函数，且F(%,y,y')是三阶可微的。确定泛函极值的曲线y=y(%)的边界是固定不变的，且有：y(%1)=y^y(%2)=y2 (2.1.25)

采用拉格朗日法来求其泛函变分，有:(2.1.26)J[y+£3y]=Jx2F(x,y+£3y,y'+£§y')dxx1(2.1.26)令：y=y+£3y,y，=y，+£3y1令：（利用复合函数求导法则）—J[y+—J[y+£3y]=fd d一F(x,y+£3y,y，+£3y，)3y+ F(%,y+£3y,y'+£3y')3y'dxxi dydyr(2.1.27)令£T0，则:3J= J[y+£3y] =Jx2O£ £t0 3J= J[y+£3y] =Jx2O£ £t0 x1OF OFOyy+Oy'其中:OF O OF O,机=OyF(x,y,y),OyF(x,y,y)（利用分部积分）fb.jfb.fbfb.udv=Jd(uv)一vdu=uvJ-Jvdu.a a aaaJ;Idxlay7)3ydx3ydx厂上式中利用到了固定边界条件3y（x1）=3y（x2）=0。最后，可得到变分的极值条件:3J=fx2x13ydx=0根据变分法预备定理，得到:d(OF、上式中，关于x的导数为全导数，「「(，八dEaEdx0EdyOEdy'

E=E(x,y',y'),——= + -+ —、 dx 0xdxOydxOy'dx,d(OF、(2.1.32)O2FdxO2FdyO2Fdy'

d(OF、(2.1.32)OxOy'dx OyOy'dxOy'2dx（2.1.31）式即为著名的欧拉方程，是欧拉于1744年得到的，也称为欧拉一拉格朗日方程。a）F不显含y时（2.1.31）式经过一次积分得一阶微分方程:a）F不显含y时（2.1.31）式经过一次积分得一阶微分方程:Fy=Fy=CC是积分常数。b）F不显含x时,（2.1.31）式做如下变化:由（2.1.32）式:Ftiy"+F,y，+Fb）F不显含x时,（2.1.31）式做如下变化:由（2.1.32）式:Ftiy"+F,y，+Fyy，—Fy=0.因此:经过一次积分得:y〃「y'Ry'Fy,_F=C(2.1.34)C是积分常数。例2.1.2（续）：最速降线问题11+y'2—, dx=0.\：2gy1+y'2解：F(x,y,y')=—<2gy不显含x，按式（2.1.34），有:y，.2y'1+y'2y，2y，21+y，2v2gyv2gy(1+y，2)v；2gy此式简化为:y(1+y/2)=c，其中c=-1—>01 12gc2引入参数y,=ctg。，则有：y=——y=——c^-—1+Ctg20csin20=1Cc(1-cos20).21由于包=ctg0dx因而：dx=d^-ctg因而：dx=d^-ctg02csin0cos0d0

1 ctg02jsin20d0=c.(1-cos20)d0.积分后得：x=c(0-2-sin20)+c2=c2-(20-sin20)+c2.由初始条件：y(0)=0,知：c2=0.于是最速降线问题的解为：c -x=T(20-sin20).《cy=才(1-cos20).2其中c1由边界条件y(x1)=y1来确定。再令：①=20,R=—12就得到：x=R(①-sin①)y=R(1-cos①)从解析几何知，上述方程是摆线的参数方程，因此最速降线是半径为R的圆沿x轴转动时圆周一点所描出的曲线中的一段。例2.1.3求泛函J[y]=f(y'2-2ycosx)dx在条件y(0)=0,y(兀)=0下的极值曲线。0解：F(x,y,y))=y'2-2ycosx.贝U：F=—2cos%,F=2y，—(二)=2y〃.y y' dxSy，由空——(至)=0，对应的欧拉方程为:Sy dxSy'-2cosx-2y"=0ny"+cosx=0., ，—一一2代入边界条件得：c「；,c2=-1.・•・y=cosx+-x-1.兀较复杂的泛函的欧拉方程可以仿照上述方法导出。a)对于取决于一个自变量的几个函数的泛函J[y1(x),y2(x),...yn(x)]=fbF(x;y1,y2...yn;yJy；...y「)dx.a泛函J[y1(x),y2(x),...yn(x)]的变分问题对应于下列欧拉方程组:(2.1.35)退--(迟)=0, (i=1,2...n)(2.1.35)Sy dxSy，i i打例2.1.4：求泛函J[y(x);z(x)]=)2(y&+z3+2yz)dx在边界条件：0y(0)=0, y(—)=1, z(0)=0, z(—)=-1下的极值曲线。解：F(x;y,z;y',z')=y'2+z'2+2yz、，"一z=0则有欧拉方程组：yz”-y=0消去z，得方程：y⑷-y=0由此解出：y=cex+ce-x+ccosx+csinx再由z=y”得：z=c1ex+c2e-x-c3cosx-c4sinx利用边界条件：c=c=c=0,c=112 3 4因而极值曲线为：y=sinx,z=一sinxb)对于泛函取决于y(x)及其n阶导数的情况"b" ，”J=F(x,y,y',...,y(n))dx.

(2.1.36)其欧拉方程：Fy-—^y'+-^—Fy"+...+(-1)n——Fy(n)=-0dxdx2 dxn(2.1.36)它的通解含有2n个任意带数，它们由2n个边界条件来确定。… 一门A 例2.1.5：J[y]=一一py〃2+pydx,(mp为常数)-1\2 )边界条件：y(-1)=0,y'(-1)=0,y(1)=0,y'(1)=0.求泛函J[y]的极值曲线。解：相应的欧拉方程为：股(4)+p=0由此得至U：y=———x4+cx3+c^x2+cx+c24日 1 2 3 4利用边界条件得到：y=--p-(x2-12)2.24日c)对于泛函取决于多元函数的情况J=BIF(x,y,z;u;u,u,u)dxdydz=0V其对应的欧拉方程为：(2.1.37)例2.1,6(2.1.37)例2.1,6：设泛函J[u]=』)Qdxdy解：欧拉方程：alcFu解：欧拉方程：alcFu=0,Fu=2u,—Fu=2u.Fu=2u,万-Fu=2u则:a则:a2u+a2u=0ax2ay2例2.1.7：例2.1.7：设泛函J[u]』Q其对应的欧拉方程是泊松方程:dxdy.10

10a2M a2u布+蚤=fx，y).可动边界的变分问题，变分问题中的边界条件所谓可动边界是指极值曲线（或曲面）的两个端点或其中一个端点（或边界）并不通过预先给定的点（或边界）。在我们前面所讨论的泛函J」%2F（%,y,y，）d%在边界条件y（%）=八和y（%2）=y2下的极值问%1题，此时的固定边界条件称为几何边界条件或称为强加边界条件。所谓“强加”，是指这些边界条件是在变分问题中预先强加上去的。如果我们在求泛函J=52F（%,y,y）d%的极值问题时，端点%1和％2的值均不给定。泛函%1取极值的必要条件依然是：dyd%(aydyd%(ay，/aF%=%--2 ay'5y%=%,=0(2.1.42)与固定边界变分不同的是，这里的8y在端点处并不总是为零，可以为任意的。这样，由极值条件5J=0除了可得到欧拉方程（2.1.31）外，还有:运%=%运%=%=0,ay 1%=%=0

2(2.1.43)上式由变分得出的条件称为自然边界条件。可以看出这样的边界条件不是预先给定的，而是从变分原理的5J=0自动导出，它是保证极值存在而必须满足的条件。在力学问题中，无约束时变分原理将自动补充边界处所缺的力学边界条件，因而自然边界条件往往表现为力学边界条件。a）每个函数端点分别在直线％=。和%=b上.泛函j的极值函数除了要满足欧拉方程外，还应满足：Fj=F,| =0. （2.1.44）b）更一般情况，如果泛函J[y]」bF（%,y,y'）d%中,函数y的端点（。％）与（by）分别在曲线a叭%,y）=0与甲（%,y）=0上移动，泛函J的极值函数除满足欧拉方程外，还要满足横截条件（transversalitycondition）o11(2.1.45)F-y'Fx(2.1.45)F-y'Fx x=bF,yx=b这里a与b本身是待定参数。泛函的条件极值有些变分问题，容许函数有时还会受到附加约束条件的限制，这就是条件极值问题。对于这种极值问题，可用类似于处理多元函数的条件极值的Lagrange乘数法，把范函条件极值问题转化为无条件极值问题。定理(Lagrange)：略这个方法还可以推广到等周问题，即有如下定理：欧拉定理：略例2.1.8：等周问题在平面上，给定长度为l的所有封闭光滑的曲线中，求一条曲线，使它所围成区域的面积A最大。设所求曲线上的参数方程为:且x(10)=x(11),y(10)=y(ti).约束条件：J%qx2+y2dt=l(常数)10格林公式：若函数X(x,y)和F(x,y)及其一阶偏导数在闭区域D上连续，则有:12

dxy=EXd;+Ydy.L令y=%,X=-y,其中L是区域D的边界，且积分沿L的正方向（即逆时针方向）。由格林公式，曲线l所围成的面积:t0t0A=2J;dy-yd;=2于是等周问题可归结为求泛函:J=』t1(%y-y;)dt在等周条件或（1）下的极大值。作辅助泛函:I=2Jt11;y-y;+入《;2+y2)dtt0由:H由:H--Hy==0ydtH——H%'=0其对应的欧拉方程组为:y--dt-y+।q;2+y2J积分后得:C 入；=2ci=2ci、：；2+y2V%2+y2整理后:这是圆族方程，令:13入=cost2 (0WtW2n)y一cy一c12代入等周条件，得:e=J2''—sin21+—cos21dt=J2无—dt=九no4 4 o2、2即：X=-、2于是G-c1+(y一c)=—2 1 12n利用边界条件,x(10)=x(11)y(t0)=y(t1)可定出J,c2,故所求极值曲线是一个圆。142.2力学中的变分原理在力学中，我们有各种各样的原理，诸如能量守恒原理、动量守恒原理、达朗伯原理、虚位移原理、哈密顿原理等等。而作为古典力学基础的著名的牛顿运动定律实质上也是原理。原理可以被分为两类，即非变分的原理和变分的原理。非变分的原理直接研究真实的运动；而变分原理则不然，它不是专注于实际的运动，而是考察一定约束条件下所容许的一切可能的运动，从中挑选出实际实现的一种真实运动来。如果说非变分的原理提供的是各种各样普通的函数关系，那么变分原理应该是考察相应于各种运动状态的某些特征量（泛函）并取极值（通常对应于真实运动），这便是我们所熟知的变分的含义。由此可以看出，变分原理是在纵观全局的基础上更一般地来论述运动的，较之非变分的原理进行了更多的概括与抽象。这样说并不是贬低非变分的原理的重要性，事实上，很多变分的原理和非变分的原理在一定条件下都是可以互相推导或是等价的，只是各种原理的表述方式不同，因而在不同场合下应用时方便程度不同罢了。力学原理又可分为微分形式的表述和积分形式的表述。前者适用于运动的每一瞬时以及任意局部点，而后者适用于有限的时间间隔以及有限区域内。在力学的诸多原理中，虚功原理是最基本的，其他的若干原理可从它得到。下面，我们首先介绍虚功原理。虚功原理虚功原理亦称虚位移原理。在分析力学中，由质点系组成的力学体系的虚功原理是熟知的。对于一个由N个质点组成的质点系而言，如果考虑的是静平衡问题，则有分析力学的虚功原理：2NF5r=0 （2.2.1）iii=1其中F（（i=1，2,…，N）是作用在质点系上的给定力，包括非理想的约束力等；。r.（i=1，2,…，3N）是质点系满足约束的任意一组无限小虚位移矢量。进一步，如果作用在质点系上的诸力均是有势的，亦即对于诸力F存在势函数V，使得F=-aV/6r（i=1，2,…，N），I I I则上述的虚功原理可转化为最小势能原理。在静止的平衡力学系统的所有容许位移中，真实的位移使势能的变分为零，即。V=0。虚功原理指出，系统平衡时的位置是指系统可能有的一切位置（对应各种虚功值）中的这样一种位置，此时作用力所作虚功之和为零。这样，从系统可能有的一切运动状态中确实挑选出了平衡这样一种实际实现的运动状态。作为泛函的虚功取极值虚功为零）时对应着真实15

的运动(平衡状态)。下面我们给出弹性连续体的虚功原理表述。设弹性体在体力fx，fy，fz以及表面为Fx，F的运动(平衡状态)。下面我们给出弹性连续体的虚功原理表述。设弹性体在体力fx，fy，fz以及表面为Fx，Fy，Fz作用下处于平衡。以｛，「，*\，7，7｝表示任一点处的应力分量，则在弹性体内有平衡方程:So 。工 St——+ xy+—xrSx Sy SzSt So St——xy+ +——yzSx Sy SzSt St So―xr+ yz+ zSx Sy Sz+fx=0以及在应力边界r,上，满足力学边界条件:X=Fx，Y=F，Z=Fz其中：X=lo+mt+ntz，Y=lt+mo+ntz，Z=ltz+mtz+noz这里｛l，m，n｝表示弹性体表面上一点的外法线方向余弦。我们假定弹性体平衡时的真实的位移为｛u，v，w｝，从这个平衡位置对物体施加一组任意的无限小虚位移｛脑，入，Jw｝，于是便有:-JJJVSo Sr Stx+ xy+xzSx Sy Sz（St So StJJh-F1u+Y-F}v+（Z-F^hw11.Sr Sr So x三+苫=+fjW1v+rt x y z（2.2.5）其中dv，ds分别表示弹性体的体积元和面积元。这里虚位移的选择应满足另一部分位移边界ru上的几何条件，即:（2.2.6）5u=0,5v=0,5（2.2.6）利用高斯公式，并经过分部积分，（2.2.5）可进一步化简为:JJJC3s+o3s+o3s+t3y+t3y+t3y]v（2.2.7（2.2.7）-JJJf3u+f3V+f3wdiv-JJF3u+F3v+F3w2s=0yxyz 「txyz3sxShu3syS3VSyS3sxShu3syS3VSyS3w3s= ,3yxy遮+迎Sy Sx,3yyzS3vS3w

+ 3yxzS3wS3u

+ （2.2.8）为虚应变，(2.2.7)即为弹性体虚功原理。按照弹性力学定义:为虚应变，(2.2.7)即为弹性体虚功原理。按照弹性力学定义:16u=1川Q£+o£+o£+tY+ty+ty>dv （2.2.9）2Vxxyyzzxyxyyzyzxzxz称为弹性体的变形能。因此（2.2.7）中的第一项即为虚变形能，第二项（取正号）为体积力所作的虚功，第三项（取正号）为表面力所作的虚功。由于上述过程是从平衡位置施以虚变形，故虚功简单地表示为力与虚位移之乘积，并无因子1/2,这是虚功有别于真实功的主要特点。将式（2.2.7）进行移项，不难看出：在任一虚位移过程中，外力作的总虚功等于弹性体的总虚变形能。上述推导说明虚功原理是物体在外力作用下并满足一定的几何边界条件而处于平衡的必要条件。相反的推导过程，我们完全可以利用虚位移的｛6u，6v，6w｝的任意性而得到力学平衡方程（2.2.2）以及力学（自然）边界条件（2.2.3）。这说明虚功原理同时也是弹性体平衡及力学边界条件的充分条件。虚功原理是弹性力学中的变分原理的基础，其在有限元法中也具有极其重要的应用价值。尽管我们是从弹性平衡的角度给出了虚功方程，但是一般说来，虚功原理具有普遍意义，它可以适用于一切结构，不论材料是线性还是非线性，也不论物体的变形是弹性或非弹性。2.2.2最小势能原理上节所介绍的虚功原理对于任何应力-应变关系的结构均成立，不论是弹性或是非弹性Y,YY,Y,Y ｝分别表示弹性体内一点xyyzxz必存在一个正定的状态函数令t,O,O,T,t,T卜口L,£,£,的应力和应变分量，在小变形情形下，U0=U0Cx，£y,£z,Yxy,Yyz，Yxz）使得：dUdU0=od£+od£+od£z+tdy+tdyz+tdyz（2.2.10）这里，U0称为应变能函数或应变能密度。状态函数U0是单值的函数，因而dU0是全微分，有：。U。U。。U。U。U。U5U5UO=——0-,O=——0-,O=——0-,T=——0-,T=——0-,T=——0x%y洗z洗xy 5yyz 5yxz 5yxyzxyyzxz这样，虚功原理（2.2.7）就变为:（2.2.11）1711Jf5w+f5v+f8w1v+JJFdu+FBv+F8w1sxyz ^txyzau.sY

+——o8ydvay au.sY

+——o8ydvay xzJxz（2.2.12）=I——o8s+——o8s+——o8s+——o8y+——o8yyIasx as y as zay xyay yzx y z xy yz=JJJV8U0dv=8JJJVU0dv=8U上式中U=fflVU0dv为弹性应变能。进一步，如果作用于弹形体上的体力和表面力均为有势力，即存在势函数①（u,v,w）和中（u，v，w），使得：（2.2.13ab）-8①=f8u+f8v+f8w,一8%=F8u+F8v+F8w（2.2.13ab）从而：JJJV§8u+f8v+f8w1v+Jj8u8u+F8v+F8w4s=-8JJJ①dv-8II乎ds=-8 ①dv+JJ+ds=-8VV rt V rt这里，V表示外力势能，则（2.2.12）亦表示为:（5（U+V）=0如果定义n=U+V为系统的总势能，故6n=0。此式或（2.2.15）称为势能驻值原理，即在满足已知几何边界条件的一切容许位移u，v，w中，真实的位移使得系统总势能（泛函）取极值。2.2.3虚余能原理前面两节中所介绍的虚功原理及其应用于弹性连续体而得到的最小势能原理，都是以位移作为未知函数的，位移一旦求得，根据几何关系式和应力应变关系式不难得到相应的应变和应力分量。但是，在很多工程实际问题中往往也需要直接以应力作为待求的未知函数，尤其在以应力为目标的近似解法中，如果依旧沿用先求位移而后通过微分求应变再得到应力的方法，势必会影响应力解的精度。实际应用的需要自然应运而生了相应的虚余功原理及最小余能原理。下面的讨论仍以弹性连续体为例，而且其应力应变可呈各种关系。设弹性体在已知体力以及给定的边界条件下处于平衡，｛u，v，w｝和L,s,s,y,y,y｝分别表示弹性体xyz.xyyz.xz.内一点处的位移分量和应变分量。因此，在弹性体内，有:au av aw八s =0,s =0,s =0xax yay z az187x「=0,=0,7xz」=0(2.2.16)以及在边界上:u一u=0,v—v=0,(2.2.17)rR步，我们设平衡时的应力状态为｛%，Gy，%，Txy，7｝，并假定物体从这个平衡状态接受一组任意的、无限小的虚应力（应力的变分）｛Jj空，J,，抗yz，”3于是有:IIIV£--Vu|3q+£7xy-It+VX3Txy+VwV|3oVzJZ3Tyz+丫Ifb—ubF+(v-vbF+&-wbFIs3Txz迅ru(2.2.18)其中｛巩，6Fy,JFz｝是表面力相对应于虚应力的虚变化。新的应力分量应该不违背弹性连续体的平衡方程和力学边界条件，如下:乜+5c)+©(+3txyVy)+且Vy+3t)+—(t+3t)+f=0xy xy VZ xz xz x++3q)+—C+3t)+f=0y y Vz yz yz y(2.2.19)以及:—(t+3t)+—C+3t)+—(q+3o)+f=0VxXXZ Vyyz yz VzZzzF+3F=lb+3o)+mTxx xx xyF+3F=lT+3t +m&yyxyxy(F+3F=lk+3t)+miZZ XZ, XZ,+3t)+n«+3t)xy xzxz+3o4nt+3t)yy)yz yz.+3tAnG+3o)(2.2.20)由弹性体平衡方程（2.2.2）和面力表达关系式（2.2.4），可以得到:以及:V3o 13TV3tX+VxV3T ^^+VxV3t xr+Vx *y+VyV3o +VyV3T y^+Vy y^=0VzV3。 nZ=0Vz(2.2.21)193F-13。+m3r+n3rxxxyxz3F-13r+m3。+n3ryxyyyz3F-13r+m3r+n3。zxzyzz<（（2.2.22）利用高斯积分公式并对(2.2.18)进行化简，我们可以得到:11Jc3。+£3。+£3。+y3T+y3T+y3T1vyyzzxyxyyzyzxzxz+川V（S3。 S3r S3r'（S3r S3。 S3r）Sy（S3r S3r S3。'——x+——+——zSy+m3r+n3r）+（3r+m3。+n3rV+（3r+m3r+n3。rx xyxz xy+JJ Cu-u）5F+0-VIF+W-WIF-dsyzyzru（2.2.23）注意到方程（2.2.21）、（2.2.22），最后得到：JJJ（3。+£3。+£3。+y3r+y3r+y3r1vJ〉xyyzzxyxyyzyzxzxz卜3F+V3F+W3Fdss（2.2.24）ru x上式即为弹性体的虚余能原理，其与(2.2.7)表示的虚功原理形成互补形式。上式的左边代表弹性体的总虚余能，右端代表面力的变分在实际位移上所做的功。2.2.4最小余能原理在小变形情形下，弹性力学的一般理论指出，必定存在一个正定的状态函数*。,。，。，r,r,r0xyzxyyzxzdU*-£d。+£ d。+£ d。+y dr +y dr +y dr0xxyyzz（2.2.25）xyxyyzyzxzxz这里，U*称为余能函数或余能密度。状态函数U*是单值的函数，因而dU*是全微分，有x S。xSU-0-,S。ySU——0-S。zxySrxySryzxz.SU——0-Srxz（2.2.26）从而虚余功原理变为JJJ包:3。+吆VISa xS。 yy+——S。+一zSrxyJJJ包:3。+吆VISa xS。 yy+——S。+一zSrxy Sr yzxy(5其中，SU+一Srru x3U0dv-JJruxxzxzJ（2.2.27）（U*+丫*）=0（2.2.28）U*-11JVU0dV为弹性体的余能，V*-JJ4f+VF+WF1s为外力余能。如果定ru xy20义n*（u*+v*）为系统的总余能，故有8n*=0。式（2.2.28）表示余能的极值原理，事实上，这时余能泛函）为极小值，故得最小余能原理:在满足平衡方程和应力边界条件的所有各组应力分量的函数中，真实的一组应力分量应使系统的余能（泛函）取极小值。此处限于篇幅，我们不再给出其证明过程。2.2.5连续介质的哈密顿原理前面几节中，我们仅介绍了弹性体系的静力平衡问题及其原理，即体系在平衡时所取的一真实状态，以区别与任何其他可能的一切状态。而在工程问题中，还会涉及到考虑时间变量的动力学问题，不同时刻对应于不同的状态。就数学本质而言，静力问题和动力问题没有原则区别，只是仅仅增加了自变量的个数（即在空间坐标自变量的基础上增加了时间变量），但其物理意义的差别是明显的，即从静力平衡过渡到了动力学问题。当牛顿建立了以三大定律及万有引力定律为基础的力学理论后，无数的自然现象都得到了定量的说明，事情似乎很完善了。后来拉格朗日在18世纪提出了一个变分原理，从这个变分原理出发，能够十分方便地解决许多力学问题，并且由此还可以推导出力学中的很多定律。他还创立了拉格朗日运动方程，其比牛顿的运动方程适用的范围更广，而且用起来更为便捷。此后，哈密顿（Hamilton）发展了拉格朗日的理论，于1834年提出了有名的哈密顿原理。本节中，我们将引入对应于动力学问题的哈密顿原理。首先介绍离散质点系统的哈密顿原理，然后将其推广得出弹性连续体的形式。设具有N个质点的系统相对于惯性参考系的位移由矢量r「r2,…，N给出，根据质点系的达朗伯（D’Alembert）原理有：（2.2.29）工（F—mrK（2.2.29）iiiii=1上式中mi为第i个质点的质量，Fi为作用于第i个质点上的力。我们来考察动能的变分3T=33T=3（1g）—N^mr2

2ii

'i=1 ）g..."mr3r=iiii=1dfy. ）gy一乙mr3r一乙mr3rA/ iii iii।i=1 /i=1（2.2.30）结合（2.2.29），有:3t+3W=3t+3W=（2.2.31）——mr3rTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"Af iii।i=1 /这里，T=1gmr2表示质点系的动能，W=gFr为外力所作的功。对（2.2.31）在任意2ii iii=1 i=121两个时刻11和12间关于时间进行积分，得到:)mr5riii)(2.2.32)因为系统在时刻11和t2的位置状态可以认为是给定的，便有5r|t=t=5r因而（2.2.32）进一步成为：JJ2（5T+5Wht=0ti如果所有的外力均为有势力，即F=-aV/ar.（i=1，2,…，N），则6W=-6V，(2.2.33)故上式还可写成：5Jt2(T—VLt=0ti(2.2.34)记L=T-V，称为拉格朗日函数，对于保守系统，积分运算和变分运算是可以交换的，即有5J'2Ldt=0。ti所以，哈密顿原理可以叙述如下：对于有势力作用下的完整质点系而言，在由时刻11状态到时刻12状态的所有可能的运动中，实际实现的运动使得积分表示的泛函:J=Jt2Ldtti取极值。这里J有时也被称作哈密顿作用量。(2.2.35)引入广义坐标｛q1，%，…，qN｝，则L=L（q,q，…,q;q,q，…,q;t），进而哈密顿原理

12 N 1 2N1 2N（2.2.34）对应的（保守系统）拉格朗日方称为d(al)al~-dtla(i)aq'n， n(n=1，2,…，N)(2.2.36)虽然，对于所假定的系统哈密顿原理和拉格朗日方程是等价的，但前者可适用于具有无穷多自由度的系统，因而从这个意义上讲，哈密顿原理的适用性更广泛。接下来，我们将哈密顿原理从离散质点系推广到弹性连续系统。将惯性力加入到弹性连续系统的虚功原理中，即:JJJC5s+o5s+o5s+t5y+t5y+t5yVxxyyzzxyxyyzyzxzxzfff(d2u d2v d2w^]=-JJJp 5u+ 5V+ 5wdv+V[d12 d12 d12 }+JJF5u+F5v+F5w1srtxyzJJJ(f5u+f5v+f5wlvVxyz(2.2.37)22如前所述，如果外力势记为匕应变能记为U,即:一5V=111f5u+f5v+f5w%v+11F5u+F5v+F5w%s(2.2.38ab)Vxyz rtxy(2.2.38ab)5U=JJJb5s+o5s+o5s+t5y+t5y+t5ydvvVxxyyzzxyxyyzyzxzxz进而有:_111p_111pV(苏5u+瓦5v+标5wJdv_5U+□=0(2.2.39)对上式在从时刻11和12间关于时间进行积分，并采用分部积分等算法，可以得到:1t1t2TLt1v「I2+”2+W1v为弹性连续体的动能。(2.2.40)令n=U+V为系统的总势能，以及L=T-n为拉朗日函数，（2.2.40）进一步可表示成:t2Lt2Ldt]二0(2.2.41)此时，哈密顿原理叙述为：弹性连续体从时刻11状态到时刻12状态的所有可能的运动（包括弹性体的形变）中，实际实现的运动使拉格朗日函数在这段时间内对时间的积分取极值。这里以梁的振动问题为例来说明哈密顿原理的具体运用。不难写出梁的动能和应变能分别为:，T=11Lp2，T=11Lp202dx)2dx(2.2.42)其中，L表示梁的长度为梁的单位长度的质量，w（x，t）为梁的挠度。根据哈密顿原理:1t21t2T-U■dLt1 」r32w丫(3x2Jdxdt(2.2.43)3w35w 32w325wdxdt=0dxdt=03131 3x23x2因为有6w（x，11）=6w（x，12）=0，于是:t1二1dxt1二1dxdt=1121Lt1 0I3r3w,

p1p——5w"5w[dxdt312 I啜5jdx_t1(2.2.44)对于（2.2.43）中的第二项关于应变能的变分，进一步化简后得到:23r S2wS25w'EI V Sx2Sx2,dxdtSrS2wS5w—— z-SxVSx2SxS2rS2w—■—Sx2VSx2(2.2.45)5wdxdt+EIjt2」 11d.x2d.xSxVSx2Jx-Ldt最后得到:-j12jL11 0S2wstS4w、——+EI一St25wdxdtjlrSw丫2+Ip—5wIdx-EI0VStJ11根据变分法预备定理，S2wS5wSrS2w(2.2.46)得梁的自由振动方程为:S2w S4w八p +EI 0St2 Sx4(2.2.47)以及相应的自然边界条件:(1)w=0或-=0

St(当t=11及t=12)(2.2.48a)(2)（3）S2wSx2S3wSx3-0或w=0（当x=0及x=L）(当x=0及x=L)(2.2.48b)(2.2.48c)其中（1）相当于梁的初始速度给定为零或者位移为零；（2）相当于给定梁在两端部的弯矩为零或者转角为零；而（3）相当于给定梁在两端部的剪力为零或者位移为零。242.3变分法的近似解法数学物理中的变分原理建立了各种类型的微分方程边值问题与泛函取驻值的等价关系。变分问题的古典解法是通过解欧拉方程来解变分问题，然而，因为求解微分方程往往并不容易，所以这个方法并不能达到预期的结果，这就要求我们必须直接寻求针对于变分问题的新方法，即直接方法。变分学的直接方法是指不通过解欧拉方程而直接近似地求解变分问题的方法。这种方法最先大量用于求解弹性力学问题，随着电子计算机的广泛使用和计算方法的发展，现今变分学的直接方法已有多种，它们的应用范围也越来越广。变分法的近似解法一立兹法及其应用立兹法是变分问题直接解法中最重要的一种，其基本思想是用选定的函数序列的有限线性组合逼近变分问题的极值曲线。现用一个简单的变分问题：(2.3.1)(2.3.2)JL]=厂1F(x,y,y')dx(2.3.1)(2.3.2)x/ 八0/ 八y(x)=0,y(x)=0o0 1来说明Ritz法的解题步骤。在此边条是两端固定的特殊情况，不失一般性，当边条是非齐次的，即:x一xx一x而二者不同时为零时，作函数代换：z=y(x) y--1——yx一x1x一x01 0 1 0便有：z(x0)=%(q)=0解题步骤：(1)取定一相对完备函数列u(x),u(x), ,u(x),并使其中每一个都满足边条(2.3.2)。该序列选取对下一步计算复杂程度有很大影响。(2)将线性组合：yk(x)=,]6)+C2u2(x)+ +Cu^(x) (2.3.3)视作(2.3.1)的近似解，将(2.3.3)式代入(2.3.1)-得关于C,C,,C的函数，1 2 kJ[c,C,,c]=Jx1Fx,^kCvt^(x),£cu(x)dx (2.3.4)% i=1 i=1(3)求(2.3.4)的极值，由方程组:25

aj=0(i=1,2,k)，解得：C,C,,Cac 12ki•••♦♦♦代入(2.3.3)，便得到问题的近似解。忧k(X)的选取:(1)对没有约束条件的问题，可取函数系:xi(i=1,2,)或者:1,cos兀x,sin兀x,cos2兀(1)对没有约束条件的问题，可取函数系:xi(i=1,2,)或者:1,cos兀x,sin兀x,cos2兀x,sin2兀x, ,cosk兀x,sink兀x(k=1,2,)(2)若要求边条：y(0)=y(D=。，可取函数系为:3-X(1-X),n-1,2 ，3,3X,3X2, ,3Xn若要求边条：y(0)=y(1)=y'(0)=y"(1)=0，可取函数系为:3,3x,3x2, ,3xn，3=x2(1-x)2,n-1,2(4)对于积分形式的泛函，即PDE的边值问题，常取多项式为函数系:a)当「为矩形时，可取函数系为:3,3X,3y,3X2,3町,3y2,3%3,3%2y,3町2,3户,342-X2)Q2-y2)b)当r为圆X2+y2=a2时，可取函数系为:3,3x,3y,3x2,3xy,3y2,3x3,3x2y,3xy2,3y3,2.3.2变分法的近似解法一一伽辽金法(Galerkin)及其应用在实际问题中，不是所有边值问题都存在相应的泛函，伽辽金法是更广泛一类微分方程边值问题的近似方法。(绕过找不到合适泛函的困难)伽辽金法精度较高，计算量不大，应用较广泛。解题步骤：(1)取定一相对完备函数列U](x),u2(x),,uk(x),并使其中每一个都满足边条。(2)将线性组合：yk(x)=C1u1(X)+C2u2(X)++Cyk(x)作为微分方程的近似解，其中C1,C2,,Ck待定，显然它满足边界条件。 …26(3)由』Q—f)j(Qdx=0,(i=1,2k)解出Cj代回⑶便得近似解。V立兹法和伽辽金法的局限性： …(1)对于边界形状比较复杂(如多边形)的区域，想找到合适的满足边界条件的相对完备的函数系是困难的。即使勉强凑成，也需要相当高次的多项式或某些函数的特殊结构，需较高技巧性。(2)被积函数一般都是高次，计算量大，若积分区域稍许复杂些，则难以计算。注意：伽辽金法只适用于齐次边界条件，对于非齐次边界条件，可通过适当的变量代换化为齐次边界条件。例2.3.1：用Ritz法求变分问题：J[y]=J1(y'2-y2+4xy)Zx< 0〔y(0)=0,y(1)=0的近似解。解：选相对完备的函数序列："x)=(1-x)xk(k=1,2,).其中每个函数均满足边条；作线性组合：y(x)工CU(x)。」k iii=1(1)先选取y1=c1x(1―x)代入泛函J[y]得：4]-4]」(2(12%)2C2X2(1X)2+CX2(1Jxjyy」=JC]」=Jcj(1—2x)2—cjx2(1—x)2+qx2(1—x)dx令dJc2=0dC]得：J11c(1—2x)2—2[cx(1—x)—2x]x(1—x)d^x=00 1 1由此：—c=——，得：c=——51 3 1 9得一次近似解：y1(x)=-5x(1一x)(2)再取y2(x)=qx(1—x)+c2x2(1—x).由类似上述运算得到：27

/、…、/71 7、y#)=-2x(1-x)(砺+41%).现讨论邛x),y2(%)的近似程度：对该变分问题，其对应的Euler方程为:F=y，2-y2+4xy即d(dF)八=0aydxl办')£(I=-2y〃.af a£(I=-2y〃.——=-2y+4x,——=2y，,ay ay')ny"+y+2x=0其精确解为：y(x)=2x-至”.sinl, 1234 . , ,在x=1,2,3,4四点比较值如表:5555xyy1y20.2-0.0722-0.0888-0.07240.4-0.1256-0.1333-0.12510.6-0.1420-0.13330.14150.8-0.1050-0.0888-0.1053由表可见，y1（x）相当粗糙，但y2（x）的误差已经很小。例2.3.2：用Ritz法求解问题：28

28对完备系可取作：Q=(a2-%2)(b2-y2),%=q%2,Q=Qy2,一次近似解为：U1(x,y)=C1(a2-x2)(b2-y2)代入泛函得：J[c]=JaJb4C2[x2(b2-y2)2+y2(a2-x2)2]-c(a2-x2)(b2-y2)\xdy1 -a-b1 1积分后，令业=0，得:

d%5c= 14(a2+b2)得：u1(x，y)=5(a2-x2)(b2-y2)4(a2+b2)例233：用伽辽金法求边值问题Jx2y"+xy'+(x2-1)y=01y(1)=1,y(2)=2解：因边界条件非齐次，所以先作变量代换，把边界条件化为齐次。令y=z+x，则上述边值问题化为：x2z"+xz'+(x2-1)z+x3=0取Q(x)=(x-1)(2-x)，一次近似解为：Z]=4]①](x)=a1(x-1)(2-x)=aJ-2+3x-x2)z；=(3-2x)a1,z；=-2a1x2(—2aj+x(3—2x)a1+(x2—1)aj—2+3x—x2)+x3=(2-5x2+3x3-x4)a1+x3J2[(2-5x2+3x3-x4)a1+x3](x-1)(2-x)dx=0w311 3八252积分得 a+—=0,a= 42015 1311252Z1—(x-1)(2-xZ1所以原边值问题的一次近似解为:252y=—(x-1)(2-x)+x例2.3.4：用Galerkin方法求Poisson方程边值问题:29

S2u S2uAu=——+——=-2的近似解。解：相对完备系可取作w,wx2,wy2,wx4,wx2y2,wy4,其中：w=(a2一x2)(b2一y2)一次近似解为:U(x,y)=c(a2-x2)(b2-y2)[-2ci(a2一x2+b2一y2)](a2一x2)(b2一y2)dxdy=0积分后得代数方程:32—a332—a3b3=09-45-a3b3(a2+b2)q+4(a2+b2)因此，一阶近似解为:4(因此，一阶近似解为:4(a2+b2)5(a2—x2)(b2—y2)u= 30泛函的极大值和极小值问题如果函数y(x)在x=x0附近的任意点上的值都不大(小)于y(x0),也即dy=y(x)-y(x0)<0(>0)时，则称函数y(x)在x=x0上达到极大(极小)，而且在x=x0上，有。 ° °dy=0 (2-1)对于泛函n[y(x)],也有类似的定义。如果泛函n[y(x)]在任何一条与y=y0(x)接近的曲线上的值不大(或不小)于n[y0(x)]，也就是，如果6□=R[y(x)]-R[y0(x)]<0(或>0)时，则称泛函n[y(x)]在曲线y=y(x)上达到极大值(或极小值)，而且在y=y(x)00上，有6口二0 (2-2)在这里，对于泛函的极值概念有进一步说明的必要，凡说到泛函的极大(或极小)值，主要是说泛函的相对的极大(或极小)值，也就是说，从互相接近的许多曲线来研究一个最大(或最小)的泛函值，但是曲线的接近有不同的接近度。因此，在泛函的极大极小的定义里，还应说明这些曲线有几阶的接近度。如同一般函数极大(极小)讨论一样，如果泛函在y=y0(x)曲线上有强极大(极小)值，不仅对于那些既是函数接近而且导数也接近的y(x)而言是极大(极小)值，而且对于那些只是函数接近但导数不接近的y(x)而言，也是极大(极小)值，所以泛函在y=y0(x)曲线上是强极大(极小)值时，也必在y=y0(x)上是弱极大(极小)值。反之，则不然，即泛函在y=y0(x)曲线上有弱极大(极小)值时，不一定是强极大(极小)值，因为有可能对于那些只是函数接近但导数不接近的y(x)而言，有一个比函数与导数都接近的y(x)所求的极大(极小)更大(小)的极大(极小)值存在。所以弱极大(极小)，不能满足强极大(极小)的要求。这一概念可以推广到包含多个函数的泛函中去。求解泛函极值的欧拉方程变分法的早期工作是如何将泛函驻值问题转化为微分方程问题。当把泛函的驻值问题转化为微分方程时，第一步工作就结束了，下一步是如何求解这一微分方程。这种求解方法在实际应用上碰到很大的困难。自从里兹提出直接求泛函极值的近似法(里兹法)以后，人们才认识到直接从泛函极值出发，而避免从微分方程式出发更为有效与方便，这样的处理方法可以充分利用电子计算机的作用。于是人们研究的目标有所转移，即把原来从泛函驻值问题化为微分方程问题，转变为把微分方程问题转变为定义一个泛函，而成为泛函求驻值的问题。对于前一种问题由欧拉、拉格朗日等已建立了一套比较成熟、比较系统的方法，而对于后一类问题，虽然正在大力进行工作，但尚不成熟。目前用的多的方法，还是根据微分方程物理和工程背景，采取尝试和核对的方法，即先试猜一个泛函的极值和驻值问题，然后再核对一下，看它是否与原来的微分方程问题等价。这种方法在以后的变分原理中将经常用到。现在研究最简单泛函(2-3)式的极值问题所得到的欧拉方程，其中能确定泛函极值曲线y=y(x)的边界是固定不变的，而且有y(xj=yJy(x/=y2，函数F(x,y,y')将认为是三阶可微的。 1口二厂2F[x,y(x),y'(x)]dx (2-3)x1首先让我们用拉格朗日法来求泛函的变分n[y+s6y]=尸2F[x,y+sSy,y'+s6y']dxxi于是有31

a_ _一一a_ ..一n[y+£8y]-a_ _一一a_ ..一n[y+£8y]-jx2{一F[x,y+£8y,y'+£8y^]8y+as %aya—F[x,y+s8y,y+s8y]8y}dxaya aF aF8n--n[y+£8y]l -卜?[丁8y+-^8y']dxas £-o %ay ay(2-4)aF a其中k--F(x,y,y)，ay ay而且「2竺8y'dx=「2{—［逞8y］--d(竺)8y}dx

%ay， x1dxay，」dxay，对于固定边界条件，因为有8y(x)-8y(x)-0，所以af.——8ydx=ay，y—「2_d_(aF)8ydx

%dx%y〃y(2-5)将(2-5)式代入(2-4)式，得到变分极值条件8n=fx2［吧—A(空)］8ydx=0%1ay dxay，)根据变分法的基本预备定理，求得本题的欧拉方程为aF_d(aF)-0 -ay dxay1这里必须指出，上式中的第二项是对x的全导数，不是偏导数，且F-F(x,y,y')(2-6)(2-7)所以daF、 a2F a2Fdya2Fdy'—(——) + + —dxay'axay'axay'dxay'2dx-F"+F"y'+F"y〃、…， 、八J(2-8)町yy其中F" F" F"，都是F(x,y,y')对x,y,y'的二阶偏导数。y'=?，y"-学，所xy yy yy dx dx2以欧拉方程(2-7)式也可以写成F'-F"-F"y'-F"y"-0 (2-9)y xy yyyy这就是1744年欧拉所得的著名方程。该方程也被称为欧拉-拉格朗日方程。(2-9)式是关于y(x)的一个二阶微分方程，其积分常数有两个］和c2，它的积分曲线y-y(x,c/c2)叫做极值曲线，只有在这族极值曲线上，泛函(2-3)式才能达到极值，积分常数是由极值曲线通过y(x1)-yjy(x2)-y2这两个端点条件所决定的。把泛函的变分作为泛函增量的主部，也同样得到欧拉方程(2-7)式及(2-8)式。求泛函增量主部的过程实质上与求微分的过程非常相似。例如从(2-3)式，因为积分限是固定的(不变的),所以有8口-8「2F(x,y,y')dx-「28F(x,y,y')dx其8F是从y，y'增量引起的，其主部为 ‘aF aF8F(x,y,y)--8y+寺8y

ay ay于是得到(2-4)式，这和拉格朗日法得到的变分表达式是相同的。这里还应指出，(2-9)式这样的欧拉方程，有下列四种特殊的情况，应该予以注意。(2)F(x,y,y')和x无关，即(2-10)F-F(y,y(2-10)32于是(2-9)式可以写成上式可以简化为Ff77〃 ， 77〃 〃—Fy上式可以简化为Ff77〃 ， 77〃 〃—Fy—Fy-0y yy' y'y'(2-11)一次积分后—(F_^y，)=0dx 6y，(2-12)F-笠y，-c6/, 1(2-13)其中其中c1为积分常数。(2)F(x,y,y')和y无关，(2-14)代入(2-7)式，得(2-14)代入(2-7)式，得(2-15)积分得6F——二c6y，(2-16)其中其中c为积分常数。(3)F(x,y,y')和y'无关于是欧拉方程为(2-17)(2-18)它不是微分方程，不包含什么特定常数，一般情况，所讨论的变分问题不存在，只在个别的情况下，当曲线(2-18)式通过固定端点时，才存在可能达到极值的曲线。(4)F(x,y于是欧拉方程为(2-17)(2-18)它不是微分方程，不包含什么特定常数，一般情况，所讨论的变分问题不存在，只在个别的情况下，当曲线(2-18)式通过固定端点时，才存在可能达到极值的曲线。(4)F(x,y,y')是y'的线性函数，即FQ,y,y')=PQ,y)+QQ,y)/(2-19)于是欧拉方程为6P6Q,dQ八——+—yr——=06y 6y dx(2-20)但是dP_6Q上6Q, 十 ydy 6x 6y(2-21)所以(2-20)式可以简化为6P6Q————=06y 6x(2-22)它也不是一个微分方程式，因为它没有y'项，一般说来它不满足固定端点条件，因此，变分问题根本不存在。现在我们将上述变分问题推广到含有高阶导数的泛函的极值问题和泛函变分得到的欧拉方程。我们研究泛函n[y(x)]二尸2F[x,y(x),y'(x),y〃(x), ,y(n)(x)]dx(2-23)x1的极值，其中泛函F被认为对于y(x)，y'(x)，y'f(x),...,y(n)(x)是n+2阶可微的，并且假定，端点上有固定条件33y(n-1)(x)=y(ny(n-1)(x)=y(n-1)1 1，y(n-1)(x)=y(n-1)2 2Y (2-24)我们将假定，极值在2〃阶可微af.•+ 8y(n)}dxay(n)（2-25）（2-26）（2-27）（2-28）（2-29）（2-30）梁的位能等（2-31）其中X为梁弯曲后的曲率，它和挠度w（x）的关系为d2wdx2y(x)=y，y'(x)=y'，y"(x)=y"，…，.11 11 11y(x)=y，y'(x)=y'，y"(x)=y"，…，22 22 22端点上不仅给出函数值，而且还给出直至"-1阶导数的值。曲线y=y（x）上达到。用上面相同的求泛函变分方法，我们可以证明：. af af af6n=jx2｛一Sy+一Syr+一8y〃+..x1ay ay ay其中用简略符号8y代替8y(x)，8y(k)代替8y(k)(x)=上hy(x)1dxk积分(2-25)式中的第二项可以分部积分一次，得jx2空A(8y)dx=空8yIx2-jx2—(空)8ydxx1aydxay)x： “1dx'ay77将积分(2-25)式中第三项分部积分两次，得 1jx2空上(8y)dx二空8yrIx2--d-(空)8yIx2+jx2_dL(空)8ydxx1 ay dx2“ a/「j dx 8y〃 x； “1dx2”/最后一项经过n次分部积分后，得xafdn af dafx2 (8y)dx= 8y(n-1)Ix2— ( )y(n-2)|x2+x1ay(n)dxn dy(n) x1 dxdy(n) %—F(-1)njx2 ()8ydxx1dxnBy(n)根据变分法的预备定理，(2-25)式为零时，得 1d,af、d2af、 /1、dnaf、_F'- (——)+——(——)+…十(-1)n一( )=0ydxdy' dx2ay" dxndy(n)这是y=y（x）的2n阶微分方程式，一般称之为泛函Q-23）式的欧拉-泊桑方程，而它的积分曲线就是所讨论变分问题的解（极值曲线）。这个方程的解通常有2n个特定常数，由2n个端点条件（2-24）式决定的。【例2-1】梁在横向载荷作用下的弯曲问题，就是含有较高阶导数的泛函极值问题的一个例子。设梁的抗弯刚度为EJ，两端固定，在横向分布载荷q（x）作用下发生弯曲变形（或称挠度）例x），如图2-1所示。端点固定条件为攻（0）=攻w（0）=01攻（L）二攻'（L）=0J在梁达到平衡时，其总位能达到最小值。于梁在弯曲时所贮存的弯曲能，它等于»1 .U=jLEJz2dx02dx2dwT1+(=”Idx」这里假定挠度很小，略去高次项。（2-31）式可以写成34

1 d2wU=JLEJ(—)2dx

02 dx载荷q(x)在变形—(x)上的位能为V=—JLq(x)—(x)dx (2-32)0于是，梁所形成的总位能口为1 d2—n=U+V=JL[EJ( )2—q(x)—(x)]dx (2-33)02 dx梁的平衡条件为—(x)使总位能达到最小值，即汨=0。于是利用变分计算，并利用固定端条件(2-30)式，得d4—Sn=JL[EJ ——q(x)]S—(x)dx=0 (2-34)0 dx4利用变分法的预备定理，求得梁的平衡方程为d4—EJ——q(xd4—EJ——q(x)=0dx4这就是欧拉-泊桑方程。注意到(2-34)式在静力学中被称为虚位移原理，满足端点位移约束条件的虚位移。下面讨论另一种形式的泛函n(0,0,0)=JJF(0,0,0)dxdy+JG(0)ds(2-35)xy的欧拉方程。函数中0(x,y)在域R内连续，其边界S由S和S组成Sc°b为给定的,式中中b303y。bc(在S上)

b其中现在对(2-35)泛函取一次变分，得到8n=JJ[8n=JJ[R3Fc不3