知识点七(曲线积分和曲面积分)

3、曲面积分的计算对面积的曲面积分.情形1当曲面即勺方程为£尸心必区听入JJ只兀”疋两=jj只兀盟心创少十君c—H君区皿蚣则其中％为曲面迟在®平面上的投影区域•"心时在几上具有一阶连续偏导;情形2当曲面£的方程为笼：尸验功，Q3"kjj 希靄=jj/（疋j（召現工）』★疋（召Q★疋（召©血i其中几为曲面迟在逐平面的投影区域,尸皿©在几上具有一阶连续偏导数；情形3当曲面迟："玖炮，jjJhn缈s=jj/（心 垮血fe则】其中为曲面£在陀平面上的投影区域，工二心刃在上具有一阶连续偏导数.在计算对面积的曲面积分时，首先要确定曲面的显函数表达式（选择以什么变量作为曲面的显函数，必须考虑有利于计算在投影区域上的二重积分），然后把曲面的显函数代入被积函数，再把曲面的面积元素圍转换，最后再把曲面£往坐标面上做投影•即所谓“一代、二换、三投影”，“曲积”变为“二重积”.对坐标的曲面积分情形1当曲面迟的方程为迟：疋（兀*）,曲面迟往R面作投影得投影区域为％.IIjt（N¥±）dn^=±JU（&PX（3P））d»M则在迟的上侧时，积分取正号；在下侧时，积分取负号；情形2当£的方程为：兀=珂*少），曲面£往冲面作投影得投影区域为心尹，则卩戸（巧 =±[IP（x（y）』±）®fc在迟前侧时，积分取正号，在后侧时，积分取负号;情形3 £的方程为:,曲面迟往皿面作投影得投影区域为岛，则nQ（Jc,y,z）dzdjc=±HQ（x,y（z,jc）,z）d?dr在右侧积分时取正号，在左侧积分时取负号.在计算对坐标的曲面积分时，首先要根据给出的积分变量是什么来确定曲面的方程表示和曲面的投影方向，然后再确定曲面的侧向，最后把对坐标的曲面积分化为二重积分计算即所谓“一代、二投、三定向”，“曲积”化为''二重积”.4、二重积分与曲线积分之间的联系一一格林公式（1）格林公式反应了二重积分与平面线积分之间的一种联系.设°是由一条或几条光滑（或分段光滑）的闭曲线£为边界的平面闭区域，函数玖7，血叭在Q上具有一阶连续偏导数，则其中£是°的取正向的边界曲线.（2）£是闭的正向边界曲线，若£不是闭的正向边界曲线，则须添加一些线段

使得£+耳变为闭的正向边界曲线，才能利用格林公式计算曲线积分，即（3）利用格林公式可以求出平面图形的面积5、平面上曲线积分与积分路线无关问题（1）平面上曲线积分与路径无关的四个等价命题对G内任一封闭曲线Z,均有机P血+@妙=°；曲线积分 在&内与路径无关；存在&内一个二元函数血玖使血"血垃®;在&内任一点（二时，均有 成立.

I—(2)积分与路径无关时求设只芝以y)在平面区域&内连续，且,Pdjc^QtfyI—(2)积分与路径无关时求设只芝以y)在平面区域&内连续，且,的方法在©内与路径无关，求曲1=线积分Pdjc^Qtfy1=线积分可按照如下方法.①此时-定存在函数砥玖使得血二皿★的6©恥®则有②选取特殊的路径计算，例如选取路径(七』J等.6、三重积分与曲面积分之间的联系 高斯公式(1)高斯公式反映了空间区域。的三重积分与其边界曲面迟上的曲面积分之间的关系.设有空间区域Q由分片光滑的双侧闭曲面乞围成，若函数叫¥力広®力爪匚甲力在。上具有一阶连续的偏导数，则有4■越4■岂）dv=奶（Pens/Z