函数的性质综合讲义

函数的性质综合讲义一、函数的单调性1.定义函数f(x)在定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，如果都有f(x1)＜f(x2)，则称函数f(x)在区间D上是增函数；当x1＜x2时，如果都有f(x1)＞f(x2)，则称函数f(x)在区间D上是减函数。2.单调区间若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间。单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示。如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结。3.定义变式设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么①⇔f(x)在[a，b]上是增函数；⇔f(x)在[a，b]上是减函数。②(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]＞⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]＜⇔f(x)在[a，b]上是减函数。4.函数单调性的证明步骤（1）取值：设x1，x2是所研究的区间内的任意两个值，且x1x2。（2）作差：f(x1)f(x2)（3）变形：将f(x1)f(x2)通过因式分解、配方、通分、有理化等方法变形为有利于判断它的符号的形式。（4）判断符号。（5）结论。5.函数单调性的常见结论（1）函数y＝－f(x)与函数y＝f(x)的单调性相反；（2）函数f(x)与函数f(x)＋c（c为常数）具有相同的单调性；（3）当c＞时，函数y＝cf(x)与函数y＝f(x)的单调性相同；当c＜时，函数y＝cf(x)与函数y＝f(x)的单调性相反；（4）若f(x)≠0，则函数f(x)与1/f(x)具有相反的单调性；f(x)≥0，则函数f(x)与1/f(x)具有相同的单调性；（6）若f(x)和g(x)具有相同的单调性，则f(x)+g(x)和f(x)-g(x)具有相同的单调性；（7）若f(x)和g(x)具有相反的单调性，则f(x)-g(x)和f(x)+g(x)具有相同（与g(x)相反）的单调性。考点一、函数单调性的判断。下列四个函数中，在(0,+∞)上为增函数的是哪一个？解析：选C。当x>0时，f(x)=3-x为减函数；当x∈(-∞，+∞)时，f(x)=x^2-3x为减函数；当x∈(0，+∞)时，f(x)=-x/(x+1)为增函数；当x∈(0，+∞)时，f(x)=-|x|为减函数。讨论函数f(x)=(a≠0)在(-1,1)上的单调性。解：法一（定义法）：设-1<x1<x2<1，f(x)=a(x-1)/(x+1)，f(x1)-f(x2)=a(x2-x1)/(x1+1)(x2+1)-a，由于-1<x1<x2<1，所以x2-x1>0，x1-1<0，x1-1<x2-1，x2-1>0，故(x2-x1)/(x1+1)(x2+1)<0，即f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(-1,1)上递减；当a<0时，f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(-1,1)上递增。法二（导数法）：f'(x)=a(x+1)/(x+1)^2-a(x-1)/(x+1)^2=-2a/(x+1)^2。当a>0时，f'(x)<0，函数f(x)在(-1,1)上递减；当a<0时，f'(x)>0，函数f(x)在(-1,1)上递增。判断函数y=(x+2)/(x+1)在(-1，+∞)上的单调性。解：法一：任取x1，x2∈(-1，+∞)，且x1<x2，则y1-y2=-1/(x1+1)+1/(x2+1)=-(x2-x1)/(x1+1)(x2+1)<0。∴y1>y2，∴函数y=(x+2)/(x+1)在(-1，+∞)上单调递减。法二：y'(x)=-1/(x+1)^2。由于y'(x)<0，函数y=(x+2)/(x+1)在(-1，+∞)上递减。法二：因为$y=x+1$在$(-1,+\infty)$上是增函数，所以$y=1+\frac{1}{x+1}$在$(-1,+\infty)$上是减函数。考点二、求函数的单调区间例4、求下列函数的单调区间：(1)$y=-x^2+2|x|+1$；(2)$y=\log_{\frac{1}{2}}(x^2-3x+2)$。解：(1)由于$y=\begin{cases}-x+2|x|+1,&x\geq0\\-x-2|x|+1,&x<0\end{cases}$在$(-1,+\infty)$上是减函数。即函数$y=1+\frac{1}{x+1}$在$(-1,+\infty)$上单调递减。画出函数图像如下图所示，单调递增区间为$(-\infty,-1]$和$[0,1]$，单调递减区间为$[-1,0]$和$[1,+\infty)$。(2)令$u=x^2-3x+2$，则原函数可以看作$y=\log_{\frac{1}{2}}u$与$u=x^2-3x+2$的复合函数。令$u=x^2-3x+2>0$，则$x<1$或$x>2$。所以函数$y=\log_{\frac{1}{2}}(x^2-3x+2)$的定义域为$(-\infty,1)\cup(2,+\infty)$。又$u=x^2-3x+2$的对称轴$x=\frac{3}{2}$，且开口向上。所以$u=x^2-3x+2$在$(-\infty,1)$上是单调减函数，在$(2,+\infty)$上是单调增函数。而$y=\log_{\frac{1}{2}}u$在$(0,+\infty)$上是单调减函数，所以$y=\log_{\frac{1}{2}}(x^2-3x+2)$的单调递减区间为$(2,+\infty)$，单调递增区间为$(-\infty,1)$。考点三、函数单调性的应用常见的命题角度有：(1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小；(3)解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值范围或值。角度一：求函数的值域或最值例4、函数$f(x)=\begin{cases}\frac{x}{2},&x\geq1\\-x+2,&x<1\end{cases}$的最大值为$\underline{\qquad}$。解析：当$x\geq1$时，函数$f(x)=\frac{x}{2}$是增函数，所以$f(x)$在$x=1$处取得最大值，为$f(1)=\frac{1}{2}$；当$x<1$时，易知函数$f(x)=-x+2$在$x=\frac{1}{2}$处取得最大值，为$f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2}$。所以函数$f(x)$的最大值为$\frac{3}{2}$。角度二：比较两个函数值或两个自变量的大小例5、已知函数$f(x)$的图像关于直线$x=1$对称，当$x_2>x_1>1$时，$[f(x_2)-f(x_1)](x_2-x_1)<0$恒成立，设$a=f(-1)$，$b=f(2)$，$c=f(e)$，则$a$，$b$，$c$的大小关系为$\underline{\qquad}$。解析：由于函数$f(x)$的图像关于直线$x=1$对称，所以$f(0)=f(2)$，$f(-1)=f(3)$。又因为$x_2>x_1>1$，所以$2>x_1>1$，$3>x_2>1$。所以$[f(x_2)-f(x_1)](x_2-x_1)<0$恒成立等价于$f(2)-f(1)<0$，$f(3)-f(1)>0$，即$b<a<c$。所以选项为$\textbf{(C)}$。题目：给定函数y=x-x^2(x≥0)，求其最大值。解析：令t=x，则t≥0，所以y=t-t^2=-t^2+t，结合图像可知，当t=0.5时，y取得最大值为0.25。三、函数的奇偶性1.奇函数定义如果函数f(x)的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数，其图像特点是关于原点对称。2.偶函数定义如果函数f(x)的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数，其图像特点是关于y轴对称。3.判断奇偶性的方法（1）定义法：首先考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求f(-x)；最后比较f(-x)和f(x)的关系，如果有f(-x)=f(x)，则函数是偶函数，如果有f(-x)=-f(x)，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数。(2)图像法(3)性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇×奇=偶，偶+偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇。复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”。4.函数奇偶性的函数特征(1)奇函数的图像特征：奇函数的图像关于原点对称，其特点是f(x)=m时，f(-x)=-m。(2)偶函数的图像特征：偶函数的图像关于y轴对称，其特点是当f(x)=n时，f(-x)=n。(3)由函数图像的对称性可知：奇函数的定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反。考点一、函数奇偶性的判断例1、判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=1-x^2+x^2-1；(2)f(x)=3-2x+2x-3；(3)f(x)=4-x^2，x>0；(4)f(x)=|x|，x∈R；(5)(易错题)f(x)=|x+3|-3，x<0。解：(1)由f(-x)=f(x)可知，f(x)是偶函数；(2)由f(-x)=-f(x)可知，f(x)是奇函数；(3)由f(-x)=f(x)可知，f(x)是偶函数；(4)由f(-x)=f(x)可知，f(x)是偶函数；(5)当x<0时，f(-x)=|-x+3|-3=|x-3|-3=-f(x)，当x>-3时，f(-x)=|x+3|-3=f(x)，因此f(x)是奇函数。x3＋2x，求f（x）在[0，1]上的平均值。解析：由于f（x）是奇函数，故f（﹣x）＝﹣f（x），故f（0）＝0，所以f（x）在[0，1]上的平均值为：$\frac{1}{1-0}\int_0^1f(x)dx=\frac{1}{2}\int_0^1(x^3+2x)dx=\frac{1}{2}(\frac{1}{4}+\frac{1}{2})=\frac{3}{8}$。1.解析：因为函数f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数，所以必定有f(0)=0。此时f(x)=x，即f(x)=x，所以f(-x)=-x，证明函数f(x)是奇函数。2.解析：已知函数的定义域为R，并且是奇函数，所以f(0)=0，即f(x)中不含常数项。由f(x)=ax+b，代入f(-x)=-f(x)得到-a(x)+b=-ax-b，解得a=0，所以f(x)=b，即f(x)是一个常数函数。3.解析：设x<0，则-x>0，所以f(-x)=-f(x)。又因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)=0。当x>0时，f(x)=x(1+1/x)=2x，所以f(-x)=-2x，代入f(-x)=-f(x)得到-2x=-2x，恒成立。所以函数f(x)是奇函数。4.解析：因为函数f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数，所以必定有f(0)=0。设x>0，则-x<0，所以f(-x)=-f(x)。又因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)=0。当x>0时，f(x)=x(1-1/x)=x-1，所以f(-x)=-(x-1)=-x+1，代入f(-x)=-f(x)得到-x+1=-x+1，恒成立。所以函数f(x)是奇函数。5.解析：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以必定有f(0)=0。设x>0，则-x<0，所以f(-x)=-f(x)。当x>0时，f(x)=x(1+1/x)=2x，所以f(-x)=-2x，代入f(-x)=-f(x)得到-2x=-2x，恒成立。所以函数f(x)是奇函数。由f(x)=mx+n，代入f(0)=0得到n=0，所以f(x)=mx，即f(x)是一个一次函数。6.解析：由f(x)-g(x)=x^2-x，得到f(-x)-g(-x)=x^2+x，再代入f(-x)=-f(x)和g(-x)=g(x)，得到-f(x)-g(x)=x^2+x，联立两式得到f(x)=-x^2/2-x/2，g(x)=x^2/2-x/2，所以函数f(x)是奇函数，函数g(x)是偶函数。7.解析：由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，令x1=x2=x/2，得到f(x)=2f(x/2)，再令x=2^n，得到f(2^n)=2f(2^(n-1))=...=2^nf(1)，所以f(x)=xf(1)。又因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0，即f(1)=0，所以f(x)=0，即函数f(x)是一个零函数，为奇函数。解析：首先根据奇函数的定义可知，f(0)=0。又因为f(x)是