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函数的性质综合讲义一、函数的单调性1.定义函数f(x)在定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,如果都有f(x1)<f(x2),则称函数f(x)在区间D上是增函数;当x1<x2时,如果都有f(x1)>f(x2),则称函数f(x)在区间D上是减函数。2.单调区间若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间。单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示。如有多个单调区间应分别写,不能用符号“∪”联结,也不能用“或”联结,只能用“和”或“,”连结。3.定义变式设任意x1,x2∈[a,b]且x1≠x2,那么①⇔f(x)在[a,b]上是增函数;⇔f(x)在[a,b]上是减函数。②(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>⇔f(x)在[a,b]上是增函数;(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]<⇔f(x)在[a,b]上是减函数。4.函数单调性的证明步骤(1)取值:设x1,x2是所研究的区间内的任意两个值,且x1x2。(2)作差:f(x1)f(x2)(3)变形:将f(x1)f(x2)通过因式分解、配方、通分、有理化等方法变形为有利于判断它的符号的形式。(4)判断符号。(5)结论。5.函数单调性的常见结论(1)函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反;(2)函数f(x)与函数f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性;(3)当c>时,函数y=cf(x)与函数y=f(x)的单调性相同;当c<时,函数y=cf(x)与函数y=f(x)的单调性相反;(4)若f(x)≠0,则函数f(x)与1/f(x)具有相反的单调性;f(x)≥0,则函数f(x)与1/f(x)具有相同的单调性;(6)若f(x)和g(x)具有相同的单调性,则f(x)+g(x)和f(x)-g(x)具有相同的单调性;(7)若f(x)和g(x)具有相反的单调性,则f(x)-g(x)和f(x)+g(x)具有相同(与g(x)相反)的单调性。考点一、函数单调性的判断。下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是哪一个?解析:选C。当x>0时,f(x)=3-x为减函数;当x∈(-∞,+∞)时,f(x)=x^2-3x为减函数;当x∈(0,+∞)时,f(x)=-x/(x+1)为增函数;当x∈(0,+∞)时,f(x)=-|x|为减函数。讨论函数f(x)=(a≠0)在(-1,1)上的单调性。解:法一(定义法):设-1<x1<x2<1,f(x)=a(x-1)/(x+1),f(x1)-f(x2)=a(x2-x1)/(x1+1)(x2+1)-a,由于-1<x1<x2<1,所以x2-x1>0,x1-1<0,x1-1<x2-1,x2-1>0,故(x2-x1)/(x1+1)(x2+1)<0,即f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)>f(x2),函数f(x)在(-1,1)上递减;当a<0时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)<f(x2),函数f(x)在(-1,1)上递增。法二(导数法):f'(x)=a(x+1)/(x+1)^2-a(x-1)/(x+1)^2=-2a/(x+1)^2。当a>0时,f'(x)<0,函数f(x)在(-1,1)上递减;当a<0时,f'(x)>0,函数f(x)在(-1,1)上递增。判断函数y=(x+2)/(x+1)在(-1,+∞)上的单调性。解:法一:任取x1,x2∈(-1,+∞),且x1<x2,则y1-y2=-1/(x1+1)+1/(x2+1)=-(x2-x1)/(x1+1)(x2+1)<0。∴y1>y2,∴函数y=(x+2)/(x+1)在(-1,+∞)上单调递减。法二:y'(x)=-1/(x+1)^2。由于y'(x)<0,函数y=(x+2)/(x+1)在(-1,+∞)上递减。法二:因为$y=x+1$在$(-1,+\infty)$上是增函数,所以$y=1+\frac{1}{x+1}$在$(-1,+\infty)$上是减函数。考点二、求函数的单调区间例4、求下列函数的单调区间:(1)$y=-x^2+2|x|+1$;(2)$y=\log_{\frac{1}{2}}(x^2-3x+2)$。解:(1)由于$y=\begin{cases}-x+2|x|+1,&x\geq0\\-x-2|x|+1,&x<0\end{cases}$在$(-1,+\infty)$上是减函数。即函数$y=1+\frac{1}{x+1}$在$(-1,+\infty)$上单调递减。画出函数图像如下图所示,单调递增区间为$(-\infty,-1]$和$[0,1]$,单调递减区间为$[-1,0]$和$[1,+\infty)$。(2)令$u=x^2-3x+2$,则原函数可以看作$y=\log_{\frac{1}{2}}u$与$u=x^2-3x+2$的复合函数。令$u=x^2-3x+2>0$,则$x<1$或$x>2$。所以函数$y=\log_{\frac{1}{2}}(x^2-3x+2)$的定义域为$(-\infty,1)\cup(2,+\infty)$。又$u=x^2-3x+2$的对称轴$x=\frac{3}{2}$,且开口向上。所以$u=x^2-3x+2$在$(-\infty,1)$上是单调减函数,在$(2,+\infty)$上是单调增函数。而$y=\log_{\frac{1}{2}}u$在$(0,+\infty)$上是单调减函数,所以$y=\log_{\frac{1}{2}}(x^2-3x+2)$的单调递减区间为$(2,+\infty)$,单调递增区间为$(-\infty,1)$。考点三、函数单调性的应用常见的命题角度有:(1)求函数的值域或最值;(2)比较两个函数值或两个自变量的大小;(3)解函数不等式;(4)利用单调性求参数的取值范围或值。角度一:求函数的值域或最值例4、函数$f(x)=\begin{cases}\frac{x}{2},&x\geq1\\-x+2,&x<1\end{cases}$的最大值为$\underline{\qquad}$。解析:当$x\geq1$时,函数$f(x)=\frac{x}{2}$是增函数,所以$f(x)$在$x=1$处取得最大值,为$f(1)=\frac{1}{2}$;当$x<1$时,易知函数$f(x)=-x+2$在$x=\frac{1}{2}$处取得最大值,为$f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2}$。所以函数$f(x)$的最大值为$\frac{3}{2}$。角度二:比较两个函数值或两个自变量的大小例5、已知函数$f(x)$的图像关于直线$x=1$对称,当$x_2>x_1>1$时,$[f(x_2)-f(x_1)](x_2-x_1)<0$恒成立,设$a=f(-1)$,$b=f(2)$,$c=f(e)$,则$a$,$b$,$c$的大小关系为$\underline{\qquad}$。解析:由于函数$f(x)$的图像关于直线$x=1$对称,所以$f(0)=f(2)$,$f(-1)=f(3)$。又因为$x_2>x_1>1$,所以$2>x_1>1$,$3>x_2>1$。所以$[f(x_2)-f(x_1)](x_2-x_1)<0$恒成立等价于$f(2)-f(1)<0$,$f(3)-f(1)>0$,即$b<a<c$。所以选项为$\textbf{(C)}$。题目:给定函数y=x-x^2(x≥0),求其最大值。解析:令t=x,则t≥0,所以y=t-t^2=-t^2+t,结合图像可知,当t=0.5时,y取得最大值为0.25。三、函数的奇偶性1.奇函数定义如果函数f(x)的定义域关于原点对称,且定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数,其图像特点是关于原点对称。2.偶函数定义如果函数f(x)的定义域关于原点对称,且定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数,其图像特点是关于y轴对称。3.判断奇偶性的方法(1)定义法:首先考虑函数的定义域,如果函数的定义域不关于原点对称,则函数一定是非奇非偶函数;如果函数的定义域关于原点对称,则继续求f(-x);最后比较f(-x)和f(x)的关系,如果有f(-x)=f(x),则函数是偶函数,如果有f(-x)=-f(x),则函数是奇函数,否则是非奇非偶函数。(2)图像法(3)性质法:设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇。复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇,一偶则偶”。4.函数奇偶性的函数特征(1)奇函数的图像特征:奇函数的图像关于原点对称,其特点是f(x)=m时,f(-x)=-m。(2)偶函数的图像特征:偶函数的图像关于y轴对称,其特点是当f(x)=n时,f(-x)=n。(3)由函数图像的对称性可知:奇函数的定义域关于原点对称的部分其单调性一致,而偶函数的单调性相反。考点一、函数奇偶性的判断例1、判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=1-x^2+x^2-1;(2)f(x)=3-2x+2x-3;(3)f(x)=4-x^2,x>0;(4)f(x)=|x|,x∈R;(5)(易错题)f(x)=|x+3|-3,x<0。解:(1)由f(-x)=f(x)可知,f(x)是偶函数;(2)由f(-x)=-f(x)可知,f(x)是奇函数;(3)由f(-x)=f(x)可知,f(x)是偶函数;(4)由f(-x)=f(x)可知,f(x)是偶函数;(5)当x<0时,f(-x)=|-x+3|-3=|x-3|-3=-f(x),当x>-3时,f(-x)=|x+3|-3=f(x),因此f(x)是奇函数。x3+2x,求f(x)在[0,1]上的平均值。解析:由于f(x)是奇函数,故f(﹣x)=﹣f(x),故f(0)=0,所以f(x)在[0,1]上的平均值为:$\frac{1}{1-0}\int_0^1f(x)dx=\frac{1}{2}\int_0^1(x^3+2x)dx=\frac{1}{2}(\frac{1}{4}+\frac{1}{2})=\frac{3}{8}$。1.解析:因为函数f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,所以必定有f(0)=0。此时f(x)=x,即f(x)=x,所以f(-x)=-x,证明函数f(x)是奇函数。2.解析:已知函数的定义域为R,并且是奇函数,所以f(0)=0,即f(x)中不含常数项。由f(x)=ax+b,代入f(-x)=-f(x)得到-a(x)+b=-ax-b,解得a=0,所以f(x)=b,即f(x)是一个常数函数。3.解析:设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-f(x)。又因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0。当x>0时,f(x)=x(1+1/x)=2x,所以f(-x)=-2x,代入f(-x)=-f(x)得到-2x=-2x,恒成立。所以函数f(x)是奇函数。4.解析:因为函数f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,所以必定有f(0)=0。设x>0,则-x<0,所以f(-x)=-f(x)。又因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0。当x>0时,f(x)=x(1-1/x)=x-1,所以f(-x)=-(x-1)=-x+1,代入f(-x)=-f(x)得到-x+1=-x+1,恒成立。所以函数f(x)是奇函数。5.解析:因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以必定有f(0)=0。设x>0,则-x<0,所以f(-x)=-f(x)。当x>0时,f(x)=x(1+1/x)=2x,所以f(-x)=-2x,代入f(-x)=-f(x)得到-2x=-2x,恒成立。所以函数f(x)是奇函数。由f(x)=mx+n,代入f(0)=0得到n=0,所以f(x)=mx,即f(x)是一个一次函数。6.解析:由f(x)-g(x)=x^2-x,得到f(-x)-g(-x)=x^2+x,再代入f(-x)=-f(x)和g(-x)=g(x),得到-f(x)-g(x)=x^2+x,联立两式得到f(x)=-x^2/2-x/2,g(x)=x^2/2-x/2,所以函数f(x)是奇函数,函数g(x)是偶函数。7.解析:由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),令x1=x2=x/2,得到f(x)=2f(x/2),再令x=2^n,得到f(2^n)=2f(2^(n-1))=...=2^nf(1),所以f(x)=xf(1)。又因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0,即f(1)=0,所以f(x)=0,即函数f(x)是一个零函数,为奇函数。解析:首先根据奇函数的定义可知,f(0)=0。又因为f(x)是
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