辽宁省部分重点中学协作体2023-2024学年高三上学期开学考试模拟测试卷A（集合、命题、不等式、函数与导数、三角函数）（解析版）

绝密★启用并使用完毕前测试时间：年—绝密★启用并使用完毕前测试时间：年—月—一0.—时—分——一时—分辽宁省部分重点中学协作体2023-2024学年第一学期高三开学测试卷A一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合S={s|s=2〃+l,〃沱Z},集合T={"r=4"+1,〃cZ},则Sf]T=()。ABSC、TD、Z【答案】C【解析】任取reT,则，=4〃+l=2x(2〃)+l,其中〃eZ,A/eS,ATcS,ASn7'=T,故选C。2.将函数y=sin(x--)的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移买个单位，则所得函数46图像的解析式为()。A、/(x)=sin(—-—)B、g(x)=sin(|-：)C、/?(x)=siii(—-—)D、vv(x)=sin(2x-—)12【答案】B【解析】把y=sin(x-分的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得y=sing-j),把y=sin(；x-j)的图像向右平移芝个单位可得y=sin[i(x--^)-^]=sin(^x-—),故选B。3.已知xe/?,若命题p：—<1,命题q：尸2(!尸，则命题P是命题q的()oA、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件【答案】D11r-1【解析】由不等式土《1可得1一土=土兰20,解得*<0或^>1,XXX即命题P为真命题时，构成集合A=(-8,0)U[l,+8)，又由(-r>(-)\根据指数函数的图像与性质，可得x<o,2即命题q为真命题时，构成集合B=(-oo,0]・・・p是a的既不充分也不必要条件，故选d。4.函数/(x)=sinx在区间(0,10n)±可找到〃个不同数为、x2........X/,使得四》=」也=...=」笠，则"的最大值为()。【答案】C【解析】设丑皂=也2=...=丑堂=灯Xn则条件等价为f(x)=kx的根的个数,作出函数f(x)^y=kx的图像，qvg(l)qvg(l)=-1,故选Ao7.已知函数f(x)=x2-4x,g(x)=^=^=,若对于Vxje[«,。+1],3x2e[0,2^2],使得/(Xj)<^(^),则实数Vx2+1。的取值范围是()。A、[-1,4]B、[6一;@3+；也c、[2-2V2J+2V2]D、[0,3]【答案】A【解析】由题意可知：/COmax^gOOmax，ttrg(X)==J/+1*二，设J/+i=[,Vx2+1Vx2+1Vxe[0,2>/2],y=t+^在[1,2]单调递减，在[2,3]单调递增，当[=1时y=5,当，=3时》=耳<5，...g(X)max=5，又y(x)在S，。+1]的最大值是/X。)或六奸1),[/(a+l)<5，解得ae[-l,4],故选A。8.定义在A上的奇函数/'(x)满足/(!+%)=/(!-%),且在[0,1]上单调递减，若方程/(x)+l=0在[0,1)有实数根，则方程/(x)=l在区间[-1,11)±所有实数根之和是()。A、6B、12C、30D、56【答案】C由图像可知y=kx与函数f(x)<多有10个交点，即〃的最大值为10,故选C。5.已知。=旦一、b=—.c=-t则。、b、c大小关系为()oIn4In22A、a>b>cB、a>c>bC、b>c>aD、c>b>a【解析】'3=嘉=《1=七=岫，、4器=岫3、c=|=log2(2^)=log2^,又且函数y=log2工在(0,+8)上为增函数，b>c>a,故选C。6.若函数/'CrkSsinZx+o.cosx在(0,力)上单调递增，则实数。的取值范围为()。A、(-oo,-l)B、(-oo,l]C、[一1,+8)D、(1,+8)【答案】A【解析】V/(x)=—sin2x+ncosx4区间(0,兀)上是增函数，「./'Cr)=cos2x-Qsinx:>0,/.1-2sin2x-asinx>0♦即一2t2-at+l>0t/=sinx,te(0,1],2f+—,令g(f)=—2，+-，贝.g'(，)=—2—<0,g(t)在，c(0,l]递减，【解析】•.【解析】•.•函数,(x)满足/(l+x)=/(l-x),函数六工)的图像关于直线x=l对称，.../(2+对=六-力，又六对是R上奇函数，「.六2+工)=六一*)=二/(力，../*(4+对=顶(*),「函数/(对的周期为4,考虑一个周期[-1,3],由函数六对在区间[0,1]上单调递减，又由/•(*)是R上奇函数，且关于直发x=l对称，/./(x)在区间[1,2]上单调递增，在区间[一1,0]上单调递减，在区间[2,3]上单调递增，•./(0)=0、/(2)=0,..•当xg(0,1]时，/(x)</(0)=0,当*£[1,2),/(x)</(2)=0,当xe[-l,0)时，/(x)>/(0)=0,当xe(2,3]时，/(x)>/(2)=0,.•方程/(x)+l=0在区间[0,1)有实数根，则这实根是唯一的，又..•函数/(x)的图像关于直线工=1对称，则方程/(对+1=0在区间(1,2]有唯一实数根，方程/(x)+1=0在区间[-1,0)和区间(2,3]上没有实根，.方程f(x)+l=0在一个周期内有且只有2个实数根，根据对称性可知这两根之和为2,.•函数f(x)在区间[-1,11)上恰好3个周期，.•根据函数/(X)周期性和对称性可知方程/(x)=l在区间[-1,11)上所有实数根之和为2+10+18=30,故选C。二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。TI9.定义：角。与平都是任意角，若满足0+(p=-|,则称。与甲“广义互余气已知sin(7i+a)=—j,则下列角。中，可B选项,cos^t+P)=-cosp=-cos^-a)=-sina=-—,不符合条件,错,D选项，tan[3=,艮Psin0=VUcos。，Xsin2p+cos2[3=1,5=土乎可能符合条件，对,故选ADo10.已知函数/(x)=x3+ar2+/?x的导函数为广⑴，则()。A、若/⑴为奇函数,则尸⑴为偶函数B、若广(0)=0,则加为奇函数A选项,sinp=sin(~-a)=cosa=-»可能符合条件，对,能与角a“广义互余”的是()。A、sinp=—B、cos^t+P)=—4AD【解析】sin(兀+a)=-sina=-；,sina=aa0=：-a,C选项,55/.sinp=±—,不符合条件，错,422C选项,若广Q)22C选项,若广Q)的最小值为0，fw=3x2+2ar+Z?=3(x+j)2-y+,f(x)min=~+b=O,则屏=3人，对,D选项,若/'(X)为偶函数，f(x)=3x2+2ax+b,=3x2-lax4-b,f\x)=f\-x),解得a=0,A/(x)=x3+M,'.f(-x)=-f(x),奇函数，对,故选ACDo11.下列能使式子----F-(6?>0»Z?>0)最小值为1的是()。£7+1b+\A、a+b=2B、ab+b=2-aC、a=bD、a2+b2=2【答案】AD【解析】A选项,当a+b=2,则(。+1)+0+1)=4,则—+—=1,C选项,假设々=。=2,则一!—I—!—=—+—=—<1,错,44a+1b+\4444(。+1)4(b+l)4244当且仅当土L=即a=b=1时等号成立，对,4(^+1)40+1)B选项,由ab+b=2得Z?=------a+1\1a+12a/3当且仅当—=—时，即a=V3-l时，等号成立，.•.最小值为瓯，错,a+133a+\0+1333D选项,V«>0,b>0,盘=」2-『且2-/20,EP-V2<«<V2,：.0<a<42,C、若广(对的最小值为0,则ai=3bD、若f\x)*偶函数,则f(x)为奇函数【答案】ACD【解析】A选项,若/(*)为奇函数，则/(-x)=-/(x),则一x3+ax2-bx=-x3-ax1-bx,解得。=0,又f(x)=3x2+btr(对=r(-x),.../。)是偶函数，对,当〃=0时，/(-x)=-/(x),六同是奇函数,当“aO时，/Xi)不是奇函数，/./(x)不一定是奇函数，错,V2由a由a2+b2=2得(圣)2+=1,设-j==设-j==sina、=cosa,即i=V5sina、=V2cosa,V0<«<V2,0<sina<l,即a《(0,；],则]*]_]+]扼sina+V^cosa+2。+1b+\V2sina+1V2cosa+12sina•cosa+V2sina+V2cosa+1_扼(sina+cosa)+2_V2(sina+cosa+V2)(sina+cosa)2+V2(sina+cosa)(sina+cosa)(sina+cosa+V2)扼二1_sina+cosa_sin(a+当，4a=V2sina=1,Z?=V2cosa=1时，取得最小值1,对，4g(2x-1)的图像，横坐标放大为原来的两倍，得到g(x-[)的图像,则g(x-1)是偶函数，图像关于尤=0对称，g(x-1)的图像，向左平移1个单位，得到g(对的图像，则g(x)的图像关于x=-l对称，错，B选项，由/'(工+1)+8(*—2)=3,以工一2替换工得/•(*—l)+g(x-4)=3,令x=2得g(—2)+g(—2)=2,2)=1,Vg(x)的图像关于x=-\对称，「.g(0)=g(-2)=1,对,C选项,由y(x—l)—g(一对=1，以一x+2替换x得/(l_；0_g(Jv_2)=],f(x+l)+g(x-2)=3【答案】BCD【解析】A选项，g(2x-1)是偶函数，图像关于工=0对称，故选ADo12,已知函数f(x)与g(x)的定义域均为R,K/(x+l)+g(x-2)=3,/(x-l)-^(-x)=1,若g(2x-l)为偶函数,则()。由/l-x)\-g,(x-2c=l"如(1+*)+八1-*)=4,令x=0#/(!)+/(!)=4,A/(I)=2,f(x)的图像关于点(1,2)对称，对,Vae(0,-],Vae(0,-],2"Asin(a+-)g[—,1],42I?.—-—e[l,V2],A、函数g(x)的图像关于直线工=一：对称C、函数/(/的图像关于点(1,2)对称B、g(O)=lDA=2023A=1D选项，g(x)的图像关于D选项，g(x)的图像关于x=-\对称，「.8(-1一工)=8(-1+尤)，「.8(-*)=8(-2+*),由g(x-4)+&(T)=2得g(x-4)+g(x-2)=2,以尤+4替换x得g(x)+g(x+2)=2,，.g(x+2)+gCr+4)=2,•••g(x)=g(x+4),."(*)的周期为4,又.3(对的图像关于x=-l对称，.••g(O)=l、g⑵=1、g⑴+g⑶=2,.g(1)+g(2)+g⑶+g⑷=4,9023故选BCDo【点晴】本题主要由函数的奇偶性研究函数的对称性，包括对抽象函数对称性、奇偶性的研究。主要解题方法有两点，一点是函数图像变换，另一点是赋值法。求解和年份有关的函数求值问题，首先是找到题目中蕴含的规律，再由此进行求值。三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。.•Wg(幻=[g⑴+g(2)+g(3)+g(4)]X504+g(l)+g(2)+g(3)=4X504+2+1=2023,对，13.已知函数=则曲线y=f(x)在点(1,f(l))处的切线方程为<>【答案】3x+y-7=0【解析】r(x)=—..4=广(1)=一3,f(l)=4,「切线方程为y-4=-3(x-l)f即3x+y-7=0o~14.已知函数/(x)=log.(7x2+l-JC),若对任意正数。、人满足六。)+/(38-1)=0,则-的最小值为_______。ab【解析】f(x)的定义域为R,/(-对=-/(工)，「.六力为奇函数，且/(])在R上单调递减，V/(a)+/(3/?-l)=0,f(a)=-f(3b-1)=/(I-3b),:，a=l-3bt即“+北=1,.31319ba[9b_a,,rabababV.b当且仅当—即a=-.b=-时等号成立，..a+L的最小值为12。ab26ab15.已知函数/(x)=sin(cox+(p)(co>0,l<pl<；)的最小正周期为丸，且函数y=f(x)的图像关于直线x=~对称，若函数f(x)在[0,"Z)上既存在最大值也存在最小值，则实数〃?的取值范围为o【答案】]U(^,+oo)336【解析】由题意可知(0=—=—=2,/./(x)=sin(2x+(p),T兀x266又x=—/(xx266又x=—/(x)的一条对称轴，32x—+(p=—4-Atc,32keZ,.'.(p=-—+kn,kwZ,6=-—»/(x)=sin(2x-—),,令"(_r)=0,解得,令"(_r)=0,解得x=l,当0<xv1时^(x)<0,/i(x)在(0,1)上单调递减,当工>1时〃(x)>0,方(工)在(0,+oo)上单调递增,16.已知白>0,若关于x的不等式ex>a\n(ax)恒成立，则实数。的取值范围为【答案】(0,e]aa设2x-—=a,则原函数可化为g(x)=sina,若xe[O,m),/.ae[-—,2m-—),【解析】*.*a>0»ln(av)中x>0,由ex>aln(ar)可得一>ln(ar),A—>ln(ax)转化为f(x)>g(x),则只gy=/(x)的图像在上，y=g(x)的图像在y=x下,做函数y=g(x)的图像如图所示,>x,即—>ay令h(x)=—(x>0),则只需a</i(x)min,666axx/./?(!)为方(对的极小值也是最小值，A/i(x)2々(l)=e,四、解答题:本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(本小题满分10分)为了迎接旅游旺季的到来，辽阳汤河风景区内供游客住宿的某宾馆，工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入。为此他们统计每个月入住的游客人数，现每年各个月份来宾馆入住的游客人数会呈现周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住宾馆的游客人数基本相同；②入住宾馆的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；③2月份入住宾馆的游客约为100人，随后逐月增加直到8月份达到最多.(1)若一年中入住宾馆的游客人数与月份之间的关系为/*(工)=A,sin(w+(p)+B(A>0,co>0,|(p|VTt)。试求出函数/Xx)的解析式；(2)请问哪几个月份要准备不少于400份的食物？【解析】(1)Vf(x)=A-sin((ox+(p)+B(A>0,co>0,|(p|<冗)，xeN9且xV12,1分设S设S=&g(x)=ln(ax),则y=f(x)与y=g(x)互为反函数,根据上述分析可得：—=根据上述分析可得：—=12,(2)令200sinFx4——)+300>400,化简^sin(-x+-—)>-,666627Ftt571S71根据条件①可知这个函数的周期是12,根据条件②可知，/(2)最小，/(8)最大，且/(8)-/(2)=400,根据条件③可知，函数y=f(x)在[2,8]上单调递增，且/(2)=100,.\/(8)=5(X),兰，且「A+*00,解得r=2oo分又当x=2时，y=f(x)取最小值，当x=8时，y=f(x)取最大值，666.入住宾馆的游客人数与月份之间的关系式为：/(x)=200sin(-x+-—)+300,xcN*且瑚2；66即—F2kn《一x----匕---F2kit,&eZ,解得12A+6<x<12A+10,kcZ,6666V1<x<12且xcN*,可取6、7、8、9、10,即在6月、7月、8月、9月、10月5个月份要准备不少于400份的食物。18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=4sin2•sinx+(cosx+sinx)•(cosx-sinx)。4(1)化简函数/(x)；(2)已知常数(o>0,若函数y=/(cox)在区间[弋号]上是增函数，求co的取值范围；(3)若方程/(x)-(sinx-l)+«=0有解，求实数々的取值范围。【解析】(I)/(x)=2x[l-cos(^+x)]-sinx4-cos2x-sin2x=(24-2sinx)«sinx+l-2sin2x=2sinx+1；(2)V/(cax)=2sin(ar+l,由一兰+2kn<car<—4-2kit(keZ)得：一—+<x<—+kgZ),/.y=/(car)的递增区间为[一己'+竺I,卫+2虫],EZ,.y=g)在[-兰，竺]上是增函数，..当阵。时，有]c[-—(o2o)2分5分6分7分8分9分2分4分5分6分只需。只需。在函数y=-2sin2x+sinx+l的值域范围内,7y=-2sinx+sinx+1=-2(sinx-—1)2,,19.(本小题满分12分)已知函数/(x)=log2(2-x2)o(1)求不等式f(2x-\)<f(x)的解集； (2)若方程[fMf-fnf(x)+n=0在区间(一1,1)内有3个不等实根，求4n+,-5-2,H+-的最小值。4【解析】(1),//(X)的定义域为,f(x)=f(-x),.,./(%)*偶函数且在区间[o,Ji)内单调递减，2分-V2<2x-l<V2X/(2x-l)</(x),•-y[2<x<42,解得"!―<x<-^l<x<+,|2x-l|>|x|23220.(本小题满分12分)设函数y=f(x)在区间D上的导函数为广(力，且函数广(x)在D上存在导函数f\x}(其中/7x)=[/W)o定义：若区间D±ru)<0恒成立，则称函数/(力在区间。上为凸函数。已知函数f(x)=cixcosx+b的图像过点A(0,-l),且在点B(六))处的切线斜率为一兀。-p---4o..实数-p---4o..实数。的取值范围为[一2,J.<----<—，解得0vco《2,(0的取值范围是(0,—■]；co44l2co-3(3)方程/(x)(sinx-l)+o=0,即为(2sinx+l)(sinx-l)+o=0,从而问题转化为方程fi=-2sin2A：+sinx+l有解,8分9分9分综上所述，原不等式的解集是(坪W,：]U[i,上谷);(2)设r=/(x),则F一〃+〃=0,若原方程[/(x)]2-/wf(x)+n=0有3个不等实根,I-m+n=00<—<1,即.0<m<2,解得1v/mv2,/7>0n>0..4”有一5•T+-=22<w+,)-5-2"'+-=(2‘")2-5-T+-=(2m--)2-6,4442.•.当2m=|,即,w=log2|时有最小值，最小值为一6。5分7分分分(1(1)判断/'(x)在区间(0,3)上是否为凸函数，说明理由；(2)求证：当xc(0,；)时，函数/'(》)有两个不同的零点。x【解析】(1)x【解析】(1)由/(0)=—1得■/?=-】，而/,(x)=iz(cosx-x-sinx),依题意f,(^)=-^a=-n,/.a=2,/(x)=2x-cosx-l,fr(x)=2(cosx-x•sinx),Vxe(0,^),/./ff(x)<0,.\/(x)在区间/(x)Jl为凸函数；(2)证明：由(1)知r(x)在区间(0,；)内单调递减，又/*'(0)=2>0、广(号)=一兀<0,..存在唯一一个玉)e(0,与)使得f(xQ)=0,当0<工<气时，f(x)>0,在(0,工0)内单调递增，当岛时，/(x)<0,/./(x)在(书5)内单调递减，•.•六0)=—IvO,.吟=孕一1>0,/(|)=-1<0,2分3分6分7分8分Af(x)在(0,普)及(治)内各有一个零点，即/•⑴在(0,与)内有两个不同的零点。【点睛】(1)根据凸函数的定义，对函数二次求导，结合三角函数性质判断导数正负即可；(2)证明x€(0,^)时，函数/(力有2个零点，利用函数的单调性结合零点存在定理即可判断。21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x2-2x)ex+2ex-e2Inxo(1)求曲线y=f(x)在点(1,六1))处的切线方程；(2)求证：/(x)>0o2【解析】(1)，⑴的定义域为(0,+oo),/U)=(x2-2)-ev+2e-—,可得fm=e-e\又/*(l)=e,...y(x)在点(1,六1))处的切线方程为y—e=(e—决)“一1),(e2-e)x+y-e2=0:xVx>0,...不等式等价于(工-2)/+2€>。•炬,x分设g(x)=(X-2)•"+2e,定义域为(0,+oo),g'(x)=(x-1)•e令g'Cv)=0,解得x=1,当0vxvl时，g\x)<0,当x>l时，g'(对>0,12分3分4分6分(1)证明：g(x)>。恒成立；(1)证明：g(x)>。恒成立；\-xx22.(本小题满分12分)设〃>0且。。1,函数f(x)=ax+ax,g(x)=lnx+------。令t=ax+i,0<t<a,且x=logar