湖南省衡阳市萱洲第一中学2022-2023学年高二数学文测试题含解析

湖南省衡阳市萱洲第一中学2022-2023学年高二数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在中，，那么一定是（

）A．等腰直角三角形

B．等边三角形

C．直角三角形D．等腰三角形参考答案：D2.已知集合,则的元素个数为

A.0

B.1

C.2

D.3参考答案：C3.如图，在杨辉三角形中，斜线的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记此数列的前n项之和为，则的值为（

）A.66

B.153

C.295

D.361参考答案：D4.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣c）2+y2=4a2截得弦长为2b（其中c为双曲线的半焦距），则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】KJ：圆与圆锥曲线的综合；KC：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，利用渐近线被圆（x﹣c）2+y2=4a2截得弦长为2b，结合勾股定理，推出a，b，c关系，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为bx+ay=0，圆（x﹣c）2+y2=4a2的圆心到双曲线的渐近线的距离为：，∵渐近线被圆（x﹣c）2+y2=4a2截得的弦长为：2b，∴b2+b2=4a2，∴b2=2a2，即c2=3a2，∴e=．故选：B．5.函数在处的切线方程为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D6.设随机变量X等可能地取值1,2,3，…，10.又设随机变量Y＝2X－1，则P(Y<6)的值为()A．0.3

B．0.5

C．0.1

D．0.2参考答案：A7.已知等差数列{an}的公差是4，则数列的公差是(

)A．14

B．12

C．4

D．8参考答案：B8.在用线性回归方程研究数据的拟合效果中，分别作出下列四个关于四组数据的残差图，则用线性回归模式拟合效果最佳的是（

）A．

B．C．

D．参考答案：C9.复数的值是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D10.已知数列和对任意的都有，当时，数列和的极限分别是和，则………………………（

）(A) (B)(C) (D)和的大小关系不确定参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.等差数列项和为=

参考答案：1012.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若过A、C、B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与A1C1的位置关系是

．参考答案：l∥A1C1【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由A1C1∥AC，得A1C1∥平面AB1C，平面AB1C∩底面A1B1C1D1=直线l，由线面平行的性质定理，得l∥A1C1．【解答】解：因为A1C1∥AC，A1C1不包含于平面AB1C，AC?平面AB1C，所以A1C1∥平面AB1C，又因为A1C1在底面A1B1C1D1内，平面AB1C∩底面A1B1C1D1=直线l，根据线面平行的性质定理，得l∥A1C1．故答案为：l∥A1C1．【点评】本题考查两直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．13.已知命题：?a∥b，在“横线”处补上一个条件使其构成真命题（其中a、b为直线，α，β为平面），这个条件是．参考答案：a∥β【考点】直线与平面平行的性质．【分析】由题意设α∩β=b，a∥α，a∥β，然后过直线a作与α、β都相交的平面γ，利用平面与平面平行的性质进行求解【解答】解：∵α∩β=b，a∥α，设a∥β，过直线a作与α、β都相交的平面γ，记α∩γ=d，β∩γ=c，则a∥d且a∥c，∴d∥c．又d?α，α∩β=l，∴d∥l．∴a∥d．∴?a∥b故答案为：a∥β．14.等差数列中，，则=_______；参考答案：略15.参考答案：、、16.若双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,线段F1F2被抛物线的焦点分成5:3两段,则此双曲线的离心率为______．参考答案：17.一个圆锥的侧面积等于底面面积的3倍，若圆锥底面半径为cm，则圆锥的体积是

▲

cm3.参考答案：【分析】根据圆锥的侧面积等于底面面积的倍，计算圆锥的母线长,得出圆锥的高，代入体积公式计算出圆锥的体积.【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，设，，解得，圆锥的高，圆锥的，故答案为.【点睛】本题主要考查圆锥的侧面积公式、圆锥的体积公式以及圆锥的几何性质，意在考查空间想象能力，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在等差数列{an}中，首项a1=1，数列{bn}满足bn=（）an，b1b2b3=（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求a1b1+a2b2+…+anbn＜2．参考答案：【考点】数列的求和；等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（I）通过b1=、b2=、b3=，利用b1b2b3=计算即得结论；（Ⅱ）通过an=n可知anbn=n?，利用错位相减法计算即得结论．【解答】（I）解：设等差数列{an}的公差为d，依题意，b1=，b2=，b3=，∵b1b2b3=，∴??=，∴1+（1+d）+（1+2d）=6，解得：d=1，∴an=1+（n﹣1）=n；（Ⅱ）证明：∵an=n，∴bn=，anbn=n?，记Tn=a1b1+a2b2+…+anbn=1?+2?+3?+…+n?，则Tn=1?+2?+…+（n﹣1）?+n?，两式相减得：Tn=+++…+﹣n?=﹣n?=1﹣﹣n?，∴Tn=2（1﹣﹣n?）=2﹣﹣，∵2﹣﹣＜2，∴a1b1+a2b2+…+anbn＜2．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．19.（本小题满分14分）（理科学生做）如图，在直三棱柱中，，分别是的中点，且.（1）求直线与所成角的大小；（2）求直线与平面所成角的正弦值.参考答案：分别以、、所在直线为轴建立空间直角坐标系.则由题意可得：,,,,,,又分别是的中点，,.

…………3分（1）因为，，所以，

…………7分直线与所成角的大小为.

…………8分（2）设平面的一个法向量为,由,得,可取，

…………10分又，所以，

…………13分直线与平面所成角的正弦值为.

…………14分20.焦点在x轴上的双曲线过点P（，–3），且点Q（0，5）与两焦点的连线互相垂直，（Ⅰ）求此双曲线的标准方程;（Ⅱ）过双曲线的右焦点倾斜角为45o的直线与双曲线交于A、B两点，求|AB|的长．参考答案：解析：（Ⅰ）设椭圆为（a>b>0）由题意c=5

………………2分∴b2=25–a2，∴

………………3分求得a2=16，

………………5分

∴双曲线方程为

………………6分（Ⅱ）由题意得直线AB:y=x-5

………………8分得

………………

9分设，∴

……………10分∴||=

……………12分21.已知椭圆M：=1（a>b>c）的一个顶点坐标为（0，1），焦距为2.若直线y=x+m与椭圆M有两个不同的交点A，B（I）求椭圆M的方程；（II）将表示为m的函数，并求△OAB面积的最大值（O为坐标原点）参考答案：（Ⅰ）=1（II），（-2<m<2）；△OAB面积的最大值为【分析】（I）已知条件说明，，从而可得，得椭圆方程；（II）把直线方程代入椭圆方程，设交点为，由判别式求得的取值范围，用韦达定理求得，由弦长公式求得弦长，再求出点到直线的距离，从而得出的面积表示为的函数，由函数的知识可得最大值．【详解】（I）由题意可知：c=,b=1由得：a=所以椭圆的标准方程为：=1（II）设点A坐标为（）、点B坐标为（）联立直线与椭圆的方程，消去y整理得4+6mx+3-3=0由直线与椭圆相交可得：△=36-16（3-3）>0,即<4解得：-2<m<2=-,=点O到直线l的距离d=所以=(-2<m<2)当，即m=±时，△OAB面积的最大值为【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直椭圆中的面积问题．解题中注意设而不求思想的运用．直线与椭圆相交弦长问题，一般都是设交点为，直线方程与椭圆方程联立后消元，由判别式求得参数的取值范围，用韦达定理求得，由弦长公式求得弦长．22.如图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：AM⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段PC上存在点D，使得BD⊥AC，并求的值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明AM⊥平面PBC；（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角A﹣PC﹣B的余弦值；（Ⅲ）根据向量关系，以及直线垂直，利向量法进行求解即可．【解答】证明：（Ⅰ）因为PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC．因为BC⊥AB，PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB．又AM?平面PAB，所以AM⊥BC．因为PA=AB，M为PB的中点，所以AM⊥PB．又PB∩BC=B，所以AM⊥平面PBC．（Ⅱ）如图，在平面ABC内，作AZ∥BC，则AP，AB，AZ两两互相垂直，建立空间直角坐标系A﹣xyz．则A（0，0，0），P（2，0，0），B（0，2，0），C（0，2，1），M（1，1，0）．，，设平面APC的法向量为，则即令y=1，则z=﹣2．所以=