Mathematic在数学中的应用

Mathematica在数学中的应用

中国科学院研究生院

TheApplicationofMathematicainMathMathematica是美国Wolfram研究公司生产的一种数学分析型的软件，以符号计算见长，也具有高精度的数值计算、强大的图形功能和动画等多媒体集成功能。在物理、化学、机械制造、建筑等专业都展露出异样的风采.....

Mathematica被美国Macword杂志誉为“不只是一个软件，更是一场划时代的革命”。教学目的和要求：1:公共选修课程。20学时/1学分2:主要内容介绍利用Mathematic实现高等数学以及线性代数中的基本方法，增加同学对数学方法的感性认识，提高同学们应用数学软件解决实际问题的能力。3:课程以上课讲解+上机实践的形式进行4:课程成绩平时作业+期末大开卷考试。数学软件四大家---Maple、MATLAB、MathCAD和Mathematica

目前在科技和工程界上比较流行和著名的数学软件主要有四个，分别是Maple、MATLAB、MathCAD和Mathematica。它们在各自针对的目标都有不同的特色。下面就为大家一一道来一、MapleV系统

MapleV是由Waterloo大学开发的数学系统软件，它不但具有精确的数值处理功能，而且具有无以伦比的符号计算功能。MapleV的符号计算能力还是MathCAD和MATLAB等软件的符号处理的核心(亲戚关系)。Maple提供了2000余种数学函数，涉及范围包括：普通数学、高等数学、线性代数、数论、离散数学、图形学。它还提供了一套内置的编程语言，用户可以开发自己的应用程序，而且Maple自身的2000多种函数，基本上是用此语言开发的。

Maple采用字符行输入方式，输入时需要按照规定的格式输入，虽然与一般常见的数学格式不同，但灵活方便，也很容易理解。输出则可以选择字符方式和图形方式，产生的图形结果可以很方便地剪贴到Windows应用程序内。

想一窥MapleV的奥秘么？http://.tw/mathhall/maple/maple.htm二、MATLAB系统

MATLAB原是矩阵实验室（MatrixLaboratory）在70年代用来提供Linpack和Eispack软件包的接口程序，采用C语言编写。从80年代出现3.0的DOS版本，逐渐成为科技计算、视图交互系统和程序语言。MATLAB可以运行在十几个操作平台上，比较常见的有基于Windows9X/NT、OS/2、Macintosh、Sun、Unix、Linux等平台的系统。

MATLAB程序主要由主程序和各种工具包组成，其中主程序包含数百个内部核心函数，工具包则包括复杂系统仿真、信号处理工具包、系统识别工具包、优化工具包、神经网络工具包、控制系统工具包、μ分析和综合工具包、样条工具包、符号数学工具包、图像处理工具包、统计工具包等。而且5.x版本还包含一套几十个的PDF文件，从MATLAB的使用入门到其他专题应用均有详细的介绍。

MATLAB是数值计算的先锋，它以矩阵作为基本数据单位，在应用线性代数、数理统计、自动控制、数字信号处理、动态系统仿真方面已经成为首选工具，同时也是科研工作人员和大学生、研究生进行科学研究的得力工具。MATLAB在输入方面也很方便，可以使用内部的Editor或者其他任何字符处理器，同时它还可以与Word6.0/7.0结合在一起，在Word的页面里直接调用MATLAB的大部分功能，使Word具有特殊的计算能力。看一看你的样子三、MathCAD系统

MathCAD是美国Mathsoft公司推出的一个交互式的数学系统软件。从早期的DOS下的1.0和Windows下的4.0版本，到今日的8.0版本，功能也从简单的数值计算，直至引用Maple强大的符号计算能力，使得它发生了一个质的飞跃。

MathCAD是集文本编辑、数学计算、程序编辑和仿真于一体的软件。MathCAD7.0Professional（专业版）运行在Win9X/NT下，它的主要特点是输入格式与人们习惯的数学书写格式很近似，采用WYSWYG（所见所得）界面，特别适合一般无须进行复杂编程或要求比较特殊的计算。MathCAD7.0Professional还带有一个程序编辑器，对于一般比较短小，或者要求计算速度比较低时，采用它也是可以的。这个程序编辑器的优点是语法特别简单。

MathCAD可以看作是一个功能强大的计算器，没有很复杂的规则；同时它也可以和Word、Lotus、WPS2000等字处理软件很好地配合使用，可以把它当作一个出色的全屏幕数学公式编辑器。跟我学数学软件包MathCADhttp:///~long/book/mathcad.htm

四、Mathematica

系统

Mathematica是由美国物理学家StephenWolfram领导的WolframResearch开发的数学系统软件。它拥有强大的数值计算和符号计算能力，在这一方面与Maple类似，但它的符号计算不是基于Maple上的，而是自己开发的。

Mathematica的基本系统主要是用C语言开发的，因而可以比较容易地移植到各种平台上，Mathematica是一个交互式的计算系统，计算是在用户和Mathematica互相交换、传递信息数据的过程中完成的。Mathematica系统所接受的命令都被称作表达式，系统在接受了一个表达式之后就对它进行处理，然后再把计算结果返回。Mathematica对于输入形式有比较严格的规定，用户必须按照系统规定的数学格式输入，系统才能正确地处理，不过由于3.0版本引入输入面板，并且可以修改、重组输入面板，因此以前版本输入指令时需要不断切换大小写字符的繁琐方式得到很好的改善。3.0版本可以用各种格式保存文件和剪贴内容，包括RTF、HTML、BMP等格式。数学世界

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这个名为数学世界的网站(EricWeisstein'sWorldofMathematics)，目前这个网站属于著名的数学软件公司WolframResearch(他们的产品是Mathematica)。这个被称为“网络数学百科全书”的网站收录了10,141条信息，88,200条参考文献(网址或图书杂志)，和几千幅彩色图片，实时动态模拟软件。五、四种软件的比较

选用何种数学软件?

如果仅仅是要求一般的计算或者是普通用户日常使用，首选的是MathCAD，它在高等数学方面所具有的能力，足够一般客户的要求，而且它的输入界面也特别友好。

如果要求计算精度、符号计算和编程方面的话，最好同时使用Maple和Mathematica，它们在符号处理方面各具特色，有些Maple不能处理的，Mathematica却能处理，诸如某些积分、求极限等方面，这些都是比较特殊的。

如果要求进行矩阵方面或图形方面的处理，则选择MATLAB，它的矩阵计算和图形处理方面则是它的强项，同时利用MATLAB的NoteBook功能，结合Word6.0/7.0的编辑功能，可以很方便地处理科技文章。Mathematica的进一步说明

它吸取了不同类型软件的一些优点：（1）具有BASIC的简单易学的交互式方法（2）具有MathCAD\Matlab那样强的数值计算能力（3）具有Maple的和SMP那样的符号计算能力（4）具有APL和LISP那样的人工智能列表处理能力（5）像C和PASCAL那样的结构化设计语言Mathematica的开发者

StephenWolfram是Mathematica的创始人，并被公认为是当今科学计算的先驱。Wolfram1959年出生于伦敦。他曾在牛津大学和加州理工学院接受教育，15岁发表了第一篇科技论文，1979年20岁时在加州理工学院获得理论物理学博士学位。他从1973年开始使用计算机，1981年主持开发了第一个计算机代数系统SMP。

课程章节分布1.

Mathematica软件概述.2.Mathematica软件的使用3.数列极限4.函数的最值与导数5.函数的迭代、混沌与分形6.定积分的定义与计算7.级数与函数逼近8.数学常数9.差分方程10.线性映射的迭代与特征向量的计算11.计算机随机模拟与基因遗传问题12.二项分布的计算与中心极限定理

课程参考的一些文献杨振华郦志新《数学实验》科学出版社，北京2002沈凤贤等.Mathematica手册.北京：海洋出版社,1992李心灿.高等数学应用205例.北京：高等教育出版社,1997白峰衫,蔡大用.数学实验室.北京：高等教育出版社,施普林格出版社,1998 0引言

Mathematica是什么?

Mathematica是什么?

Mathematica是一位数学家，她能做一位物理系大学毕业生能做的几乎所有的数学题，从简单的代数运算直到解偏微分方程。Mathematica不能做什么?

Mathematica没有脑袋，所以她不能思考问题，也不能主动解决问题。她只能按照人类的指令一步一步地去解决某一特定问题。Mathematica是研究人员和工程技术人员的好朋友和最佳助手之一。Mathematica的主要功能及特色符号计算

Mathematica以符号计算为主，能像人一样进行带字母的计算，得到的是准确的结果。符号运算功能可以分成4个部分。(1):初等数学 各种数及初等函数式的计算和化简(2):微积分 求极限、导数、不定积分和定积分、将函数展成幂级数，无穷级数求和及积分变化(3):线性代数 计算行列式、矩阵各种计算，解线性方程组、特征值、特征向量等(4):解方程组（包含微分方程）

输入相对简单Mathematica软件的基本命令在命令窗口中输入命令，如Sin[Pi/2]，然后同时按下Shift+Enter键即可执行相应的命令。在输入的命令前出现提示符“In[1]:=”,其中“In”,表示“输入”，数字“1”表示输入命令的序号；在运行结果之前会自动出现提示符“Out[1]=”,表示输出1:算术运算Mathematica软件的算术运算是指加减乘除以及乘方、开方运算。例如：（1）3*(5-2)+4^(6-3)/2（2）3^(1/3)（3）1/3+2/5精确计算与近似计算：在Mathematica软件中，若输入的数据是精确的，计算结果保留精确数字。若计算近似值，可以采用下面的方法：（4）N[3^(1/3)]函数N[x]表示x的近似值比较如下的输入方式若采用浮点数输入，则计算结果为近似值（1）1./3+2/5（2）2^100（3）2.^100一个是精确计算2的100次方，一个是近似计算2的100次方2：常数与函数Mathematica软件中提供了数学上通用的一些常数,下表中给出了其中一部分常数常数数学含义常数数学含义Pi圆周率Infinity正无穷大E自然对数的底e－Infinity负无穷大I虚数单位ComplexInfinity复平面上无穷远点常数可以直接参与计算（1）2*E（2）N[Pi,30]给出30位有效数字在函数中使用（1）Sin[Pi/6]（2）Sqrt[3.3+1.5I]（3）Log[10,2.0]常用函数-列举(不完整)（1）Round[-3.5](*下取整*)（2）Random[]（3）Random[Integer,{-1000,1000}](*产生-1000到1000之间的一个随机整数*)注意：在Mathematica软件中，英文字母大小写严格区分,函数与命令的第一个字母必须大写。函数与命令后面的表达式要放在中括弧里赋值与函数定义Mathematica软件中可以直接给变量赋值，并进行运算（1）a=1（2）b=2;c=3Mathematica软件中的语句可以写在同一行里，中间用分号隔开，分号之前的命令不显示结果（3）d=a+b*c此外，还可以采用延迟赋值的方式延迟赋值并不显示结果，只有调用变量时，才进行计算并赋值。上侧输出结果是一样，全部为0.937314。下侧输出结果不一样，分别为0.440112和0.980106Mathematica软件还可以定义函数(1):f[x_]=Sin[x](*被定义的函数的自变量后需跟下划线“_”*)(2)?f(*此命令用来查看f的含义*)如果需要计算函数f[x]在某一点x=x0的值:(1)f[Pi/2]Mathematica软件中的函数可以用递归的方法进行定义h[0]=1;h[n_]:=n*h[n-1];h[5]在这里定义了h函数的初始值,以及一般的函数定义,需要计算h[5]的具体数值(1):x=2.0;u[x_]:=Sin[x];v[x_]=Sin[x](2):?u(3):?v可以看出，上例中函数u[x]被定义为Sin[x]，而v[x]被定义为常函数0.909297（=Sin2.0）变量与函数在定义后可以用Clear命令清除其内容(4):Clear[f,g,x];?f在编写程序时,一般在每个程序段的开始将程序中所用的符号的内容都用Clear命令加以清除,以防出错.逻辑运算Mathematica软件也提供了逻辑运算功能。逻辑运算可用于程序中的条件控制。Mathematica软件中的逻辑运算符与C语言中的逻辑运算符基本一致1:关系运算（1）3>2x==y相等x>y大于x!=y不相等x>=y大于等于X<y小于X<=y小于等于相同的关系运算符可以用来重复运算(1)2<3<4<3(2)3!=2!=3!=4(3)x>=y!p否p&&q且p||q或2:逻辑运算(5.8>4.1)&&!(3.2==2.0)3:逻辑判断命令在Mathematica软件中的许多名词后面加上字母Q构成了许多逻辑判断命令,例如:EvenQ偶数IntegerQ整数ListQ表MatrixQ矩阵PolynomialQ多项式PrimeQ素数StringQ字符串VectorQ向量(1)EvenQ[2](*判断2是否为偶数*)(2)OddQ[3.0](*判断3.0是否为奇数*)集合运算Mathematica软件中的集合是形如{a,b,c,….}的结构。其中的元素有多种形式，可以是常数、变量、函数、方程图形等。在Mathematica软件中向量、矩阵都可以看作为集合。 {1,2,3,4,5}(*向量*){{1,2},{1,3},{1,4}}(*矩阵，是一个二层集合*) {f[x],g[x],h[x]}(*函数*)

{x-y==1,x+y==3}(*该集合表示方程组*)1集合定义直接定义：直接用大括号将相关元素放在一起就得到一个集合（1）t1={1,2,3,4,5,6,7}（2）t2={Sin[u],Cos[u]}语句定义：可用Range与Table语句来定义集合Range[imin,imax,di]给出的是一个数的集合，第一项为imin,最后一项不超过imax，步长为di。（3）t3=Range[1,30,3]Table[expr,{i,imin,imax,di}]给出的是一般的集合，它由表达式expr在i依步长di从imin取到imax时得到的值构成（4）t4=Table[i^2,{i,2,21,2}]Table[expr,{i,imin,imax,di},{j,jmin,jmax,dj}]给出的是与i,j有关的二层集合(类似地可定义多层集合)（4）t5=Table[x^i+y^j,{i,1,2},{j,1,2}]（5）t6=Table[k,{k,3.2,10}](*步长为1时可省略*)（6）t7=Table[k,{k,3.2}](*步长为1，初值为1时都可省略*)（7）t8=Table[5,{4}](*若expr与i无关，只要写出元素的个数*)2.集合的运算命令说明(list是一个给定的集合)First[list]取list的第一个元素Last[list]取list的最后一个元素Part[list,i](Part[list,-i])取list的(倒数)第i个元素Take[list,n](Take[list,-n])取list的前(后)n个元素Take[list,{m,n}]取list的第m到第n个元素Drop[list,{m,n}]去掉list的第m到第n个元素（1）First[t2](*取t2的第一个元素*)（2）Part[t4,4]（1）Take[t3,5]（2）Take[t3,{3,5}]（3）Drop[t3,-2]在Mathematica软件中可用％表示前一个命令的结果,%%表示前面倒数第二个命令的结果，%n表示第n个命令的结果输入与输出1:输入在Mathematica软件中，符号、变量的值及命令等除了在程序中直接输入外，还可以在程序运行时从键盘输入:（1）a=Input[];Input[];Input[“yz”];

Input[“mn”];a+b+c+d+e运行该命令后，将会出