2021年浙江省“山水联盟”高考数学联考试卷

2021年浙江省“山水联盟”高考数学联考试卷（4月份）

一、选择题（共io小题）.

1.已知全集（/={0,1,2,3,4},集合A={xeN伏V2},B={1,2,3},则Cu（AUB）=

（）

A.{0,2,3,4}B.{4}C.{0,4}D.{2,4}

2.若复数二（i为虚数单位），则|Z|=（）

1-1

A.y/~L0B.&C.75D.«

3.设变量x、y满足约束条件，2x-3y<-2.则目标函数z=x+y的最小值是（）

2x+y>6

A.1B.3C.4D.5

4.设a,〃是两条直线，a,0是两个平面，则“，6的一个充分不必要条件是（）

A.aua,b〃,,a±pB.a_La,Z?±p,a〃0

C.qua,b_L0,a//pD.a_La,b//p,a_L0

5.函数y=xcosxsiru在区间［-TT,n］上的图象可能是（）

D.

-n\Onx

6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()

7.已知等差数列｛〃“｝的前〃项和S“公差dWO,下列等式不可能成立的是()

A.“2+44=46B.a2as—a42C.52+54=56D.525s=542

8.已知a,Z?eR,若x=a不是函数/(x)=(x-a)2(x-Z>)(e''1-1)的极小值点，则

下列选项符合的是()

A.\^b<aB.b<aWlC.a<lWbD.aCbWl

22

9.已知Q,尸2为左、右焦点的双曲线七-%=1(a,b>0)和圆N+y2=a2+从在第一象

bz

22

限交于点4若平面内一点P,满足证=可，PFj-F2F；=2^/3(a+b).则双曲线

()

A.实轴长2亚B.焦距为4

C.渐近线方程为y=±«xD.离心率为加

10.棱长为a的正方体ABC。-A山iGOi中，点P在平面AiBCQi内运动，点B到直线

OP的距离为定值，若动点P的轨迹为椭圆，则此定值可能为()

A.B.V5aC.V6aD.

二.填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分

11.已知log4a,，2"=3,则“=，(F)b=.

12.已知(ar+《)(2x-I)6的展开式中各项系数的和为2,则实数“=,该展开式

中常数项为.

13.aABC是直角三角形，NA8C=90°,。是线段AC上的一点，已知BC=^，cosZDBC

=盟迈，乙408=45°,则B£>=,△ABO面积是.

io------------------

14.在1,2,3,9这9个自然数中，任取3个数，若组成一个没有重复数字的三位数且

十位数字最大，则这样的三位数有个；若E表示取出的三个数中偶数的个数，

则E⑴=.

15.已知实数x,y满足N-xy-2y2=1,则必+2/2的最小值为.

16.已知过P(3,0)的直线与圆C(x-2)2+(y-I)2=4交于A,B两点(点A在x

轴上方)，若13Pl=3|PA|,直线AB的斜率为.

17.已知平面向量Z,E夹角为一丁，且平面向量3满足I'c-'a1=|"c-b1=11

(c-a)-(c-b)="^',记〃，为f(t)=Ita+(l-t)bI(f6R)的最小值，则胆的最大值

是.

三.解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤.

18.己知函数/(x)=sinx+2cos2H.

(I)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；

QJTJT

(II)若/(a)=—,a€(---,---)，求sina+sin2a的值.

442

19.如图，四棱锥尸-ABCD,AB//CD,CD1BC,PB=BC=CD=2AB=2,PA=«,PC

(I)证明：PC=PD；

(II)求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.

20.已知｛“"｝是等差数列,G=1,其前〃项和为S.,｛仇｝是等比数列,其前〃项和为北,

n+2

且满足a\bn+a^n-\+-+anb\=2-2n-4.

(I)求数列｛为｝,｛儿｝的通项公式;

(n)设W-+…H__±a_4^2_+...+_hi±L_

(«GN*)证明:

11bnnTJ2T2T3L

Rn<4H„.

21.如图，已知椭圆Ci：之匕+/=1,抛物线C2：y^m(x-〃)2(机>0),且Ci,C2的

2

公共弦AB过Ci的上焦点F.

(I)若|BF|=2|Afl，求直线AB的斜率；

(II)若C为抛物线C2的顶点，求△ABC面积的最大值.

22.已知函数/(x)=ex-ax+a.

(I)若f(x)20,求〃的取值范围；

(II)记X1,X2(其中羽〈无2)为八X)在(0,+8)上的两个零点，证明：一—<x+1.

a-e1Ina

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项符合题目要求的.

1.已知全集(/={0,1,2,3,4),集合A={xCN|x<2},B={1,2,3},则Cu(AUB)=

A.{0,2,3,4}B.{4}C.{0,4}D.{2,4}

解：因为集合4={》€^^<2}={0,1},B={1,2,3),

所以AUB={0,1,2,3),

又因为全集U={0,1,2,3,4},

所以Cu(AUB)={4}.

故选：B.

2.若复数Z=毕工(i为虚数单位)，则|Z]=()

A.710B.&C.娓

l+3i

解：因为z=-l+2i.

(l-i)(1+i)

则|Z1=再

故选：C.

3.设变量x、y满足约束条件(2x-3y<-2,则目标函数z=x+)，的最小值是()

2x+y)6

A.1B.3C.4D.5

解：由约束条件作出可行域如图,

y

化z=x+y为y=-x+z,由图可知，当直线y=-x+z过A时,

直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2+2=4,

故选：C.

4.设小。是两条直线，a,0是两个平面，则•〃的一个充分不必要条件是（）

A.〃ua,b〃％a±pB.a_La,a〃0

C.〃ua,Z?±p,a〃0D.〃_La,b〃0,a±p

解：对于4,aua,6〃0,a_L0不能够推出故A错误，

对于8,若。，0，b_L0,a〃仇则。〃b,不能够推出。_1_力，故8错误，

对于C,若aua,Z?±p,a//p,则a_L〃，故aua,Z;±p,a〃0是aJ_。的充分条件，由

a_L〃不一定推出aua,Z?±p,a〃0,故C正确，

对于O,o_La,/?〃0,a±p,不能够推出。_1_4故。错误.

故选：C.

解：根据题意，设/(x)=xcosxsinx,

有/(-x)=(-x)cos(-x)sin(-x)=xcosxsinx=/(x),即函数/(x)为偶函数,

排除以

TT

在区间(0,-2-)上，x>0,cosx>0,sinx>0,则f(x)>0,排除C,

兀

在区间(*75-，TT)上，x>0,cosx<0,sinx>0,则/(x)<0,排除O,

故选：A.

6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()

A.48B.36C.24D.12

解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为直角梯形，高为3的四棱

锥体E-ABCD；

如图所示：

7.已知等差数列｛m｝的前〃项和S〃，公差dWO,下列等式不可能成立的是()

A.。2+。4=。6B.4248=442C.S2+§4=S6D.S2s8=Sp

解：对于A,。2+。4=。6,当ai=d时，符合条件，故A可能成立；

对于B,a2a8=处2,即(ai+d)(ai+7d)=(ai+3d产，当时，符合条件，故8可

能成立；

对于C,S2+S4=S6,即2〃]+d+4〃i+6d=6〃i+15d,此时d=0不符合题意，故C不可能；

对于。，S2s8=S42,即(2m+d)(8m+28d)=(48+64)2,方程有解，故。可能成立.

故选：C,

8.已知a,/?GR,若x=a不是函数/(x)=(x-a)2(x-b)(ev1-1)的极小值点，则

下列选项符合的是()

A.\^b<aB.b<a^：lC.a<lWbD.aCbWl

解：令f(x)=(x-a)2(x-b)(户F-l)=0,则x=a或x=b或x=l,

根据A,B,C,。选项利用穿针引线法作出/(x)的在各自情形下的大致图象，如下图,

左图是不取等号的图象，右图为取等号的图象,

对于A,如图A,由图知x=a是/(x)的极小值点，不符合题意;

对于8,如图B,由图知x=a是/(X)的极大值点，符合题意；

对于C,如图C,由图知x=a是的极小值点，不符合题意;

对于。，如图。，由图知x=a是/(x)的极小值点，不符合题意;

综上，B选项符合题意.

故选：B.

9.己知Fi,B为左、右焦点的双曲线三-4=1(小*>0)和圆N+y2=a2+按在第一象

22

限交于点A.若平面内一点P,满足透M弓，PFj'F2F；=2V3(a+b).则双曲线

()

A.实轴长2加B.焦距为4

C.渐近线方程为y=±FxD.离心率为加

解：如图，

由题意，R(-C,0),Fl(c,0),则F2尸1=(-2c,0),

:圆的方程为炉+产=。2+按=。2,.•.圆的半径为和

：还=项，为的中点，设P(xo,yo),则呵=(-c-x0,-yQ),

2222

又有1-F2F；=2V3(a+b)«2c+2cx0=2V3c-

得x0=(V3-l)c,则4的横坐标为遍c-c+c巫c，

u22c

代入圆N+y2=c2,得A(骼c，yc>>

O22

...VW=1，又°2+按=*,

4az4小

:.(a2-Z>2)(a2+3Z>2)=0,得〃2=按，即、=b,

则双曲线为等轴双曲线，其渐近线方程为y=±x,离心率为如，实轴长与焦距不确定.

故A8C错误，。正确.

故选：D.

10.棱长为a的正方体ABCQ-4BG。中，点P在平面4BCQ1内运动，点田到直线

。尸的距离为定值，若动点P的轨迹为椭圆，则此定值可能为()

A.乎"aB.VsaC.D.^-a

解：如图，由点B到直线DP的距离为定值，可得尸在以。8为轴的圆锥上，

因为动点尸在平面的轨迹为椭圆，

即圆锥被平面截得的截面为椭圆，设圆锥的半顶角为a,则5到直线QP的距

离为d=DB\s\na<y[ofiy

又因为截面与圆锥的母线平行时，即a=45°,此时截面为抛物线，

所以dWJ'§asin45°=~^~Ch

综合选项，可得A符合.

故选：A.

DiCi

二.填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分

11.已知］"《R得，2b=3,则a=2,（4）o=_VS_-

解：.「log4a总，2b=3»

...〃=2,Z?=log23,

A（VDb=a^b=21OgzV5W3,

故答案为：2,V3，

12.已知（ar+工）（2r-1）6的展开式中各项系数的和为2,则实数a=1,该展开式

X

中常数项为-12.

解：令x=l,可得（ar+工）（2x-1）6的展开式中各项系数的和为（4+1）Xl=2,则

cl*(2x)5+吟(2x)4-…-吟

故常数项为-C，X2=-12,

故答案为：1,-12.

13./XABC是直角三角形，NA8C=90°,。是线段AC上的一点，已知BC=^，cosZDBC

=盟亚，NAOB=45°,则2£>=五_,△A3。面积是—.

10-V-4-

31

解：设NQ5C=CG由题意可得：cosa二y—,sin^=-T=,

\/10V10

JT兀JT12

贝UsinC=sin-v"-Cl.=sin_^-cosCI-cos^-sina=-7=',COSC=-T=,

444V5V5

CDBDBC

在△BCD中，由正弦定理可得：sinCL-sinC一.3冗，

sirr~T

故CD-^Xsina击乂志=1,BD—^XsinC强乂也唔

sin--sin--

4A2A42

Oro

在aABC中，cosC=7^-=-^.XBC==，AD=AC-CD=4.

ACV522

SAABC4ADXBDXsirrr4又日X收考4

故答案为：,"I".

14.在1,2,3,9这9个自然数中，任取3个数，若组成一个没有重复数字的三位数且

十位数字最大，则这样的三位数有168个;若「表示取出的三个数中偶数的个数，则

E竞）=—.

—3-

解：在1,2,3,9这9个自然数中，任取3个数，若组成一个没有重复数字的三位

数且十位数字最大，满足C：・A乡=168.

S表示取出的三个数中偶数的个数，S的取值为：0,1,2,3,

15.已知实数x,y满足N-孙-2y2=i,则/+2/的最小值为_2返一

3

解：设"?=N+2)2,则-2y2,

因为1-盯-2炉=1,

所以xy=x2-ly1-1,贝ljx2y^=(x2-2)^-1)2,

所以y2Cm-2产)=Cm-I-4y2)2,

故18尸-(9m-8)V+(m-1)2=o,

设，=洛则18/2-(9/n-8)/+(zn-1)2=0,

所以△=(9w-8)2-4X18*(/n-1)2>0,解得m

3

所以炉+2炉的最小值为2叵.

O

故答案为：2叵.

3

16.已知过户(3,0)的直线与圆C：(x-2)2+(厂I)2=4交于A,B两点(点A在x

轴上方)，若|BP|=3|PA|,直线A8的斜率为3-2、万.

解：•・,直线过P(3,0),可设直线方程为y=Z(x-3),设A(xi,6)，B(x2,”)，

y=k(x-3)

联立409消x得：(N+1)炉+(2女-2N)y-2N=0,

(x-2)'+(y-l)也4

=21S2k

y1+y22_®>了1了2=号」②，

k2+lk2+l

,：\BP\—3\PA\,.""BP=3PA>即可得-”=3yi③，

由①②③计算可得F-6Z+1=0,•.•点4在x轴上方，

二解得k=3-2&.

故答案为：3-2圾.

17.已知平面向量之，E夹角为鼻，且平面向量3满足|c-a|=|c-b|=b

0

(c-a)(c-b)=^--»记机为f(t)二ItZ+(l-t)EI(，eR)的最小值，则机的最大值

是4.

一2一

解：如图，

7<c-a>,<c-b>=-p•*-AC*BC=

.,.|7c|«|«cosC=.•.cosC=-《，VCG(0,n),AZC=-^--,

223

VZAOB+ZC=TT,:.O,A,C,B四点共圆，

AC

...外接圆的直径为.冗=2,

sirry

V/+(1-r)=1,.•.4+(r-1)E表示起点为。，终点在直线A8上的向量，

，其模最小时应有［号+(L1)即。到弦4B的距离，

当m最大时，O到弦AB的距离最大，此时OC为圆的直径，

在直角三角形OAC中，AC=1,ZCOA=—,：.OA=M

6

「・加=QA•cos-^-=FX旦.

6v022

故答案为：.

三.解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤.

18.已知函数/(x)=siiir+2cos2-1-.

(I)求/(x)的最小正周期及单调递减区间；

QTTTT

(II)若/(a)=—,aG(---，---),求sina+sin2a的值.

442

x

解：(I)/(x)=siar+2cos2—=sia¥+cosx+1

=6(■^sinx+-^-cosx)+l=V2sin(x+^_)+l-

函数的最小正周期7=2ir；

i7T/兀/3兀

由-^~+2k兀x+2k»

得g-+2k兀4X《告~+2k兀，A6Z,

：.f(x)的单调递减区间为［三+2k兀，豆匕+2k兀］，依Z；

44

(II)由/(a)=.,得<\/^$111(a+1=1，则sin(Cl+,4)=~~~f

n/兀兀、.i兀/兀3兀、

又ae(―,—),m则are(―,^―),

42424

・・cos(a——^1-sin(a4^-)-g-»

兀兀7T7T7T

故sina=sin[(a+7-)——]=sin(acosa-cos(a+■1)sin-^-

=平哼窄呼卓,…尚牛写I;

sin2a—(sina+cosa)2-1=(-^-)

..3,19+2夜

..sina+sm2a=------------.

16

19.如图，四棱锥P-ABCO,AB//CD,CDIBC,PB=BC=CD=2AB=2,PA=«,PC

(I)证明：PC=PD；

(ID求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.

解：(I)证明：取C。中点0,连接P0,

:四棱锥P-ABC。，AB//CD,CD1BC,PB=BC=CD=2AB=2,PA=«,PC=®

：.PAr+AB2=-PB2,：.PA±AB,

,四边形4BCO是矩形，；.AO_LC£>,

'."AB//CD,：.PArCD,

•：AOQPA=A,AO、PAu平面PA。，CD_L平面PAO,

：.CD±PO,：.PC=PD.

(II)取PA中点E,连接OE,PO=AO=J^W=2,

J.OELAP,

平面尸OA,OEu平面POA,J.OELAB,

0E_L平面PAB,

•:CD"AB,，C£>〃平面PAB,

；.C点到平面PAB的距离等于。点到平面PAB的距离,

7O£=V11（PC=F

设直线PC与平面PAB所成角为6,

则直线PC与平面PAB所成角的正弦值为:

2强=运

PC10

20.已知｛斯｝是等差数列,0=1,其前〃项和为｛儿｝是等比数列,其前几项和为4,

且满足dxbn^Cllbn-H—卜。疝=2"+2-2〃-4.

（I）求数列｛〃〃｝,｛瓦｝的通项公式;

（II）设凡=总-v-+-LH__^2_432_+...^!±L_

sHn-(nGN*)证明:

n'T1T2T2T3TnLl

Rn<4H〃.

解：(1)Vai=1,当〃=1时，aibi=2f；.bi=2,

设等差数列｛〃〃｝的公差为d,等比数列｛仇｝的公比为q,当〃=2、3时，

aib+ab=8<

122912q+2(l+d)=8

即，9,解得q=2,d=\,

ab+ab+ab=222qz+2q(l+d)+2(l+2d)=22

1t3z92JQ1u

♦Un=〃,bn=2";

，4=2(2-卷)，

证明：（2）

%nn+1

n

2(l-2)=2„+i_2

Tn=

1-2

(1-—+—-^+...+—-=2(1-,L+l

S2Sn223nn+1n+1W1

2nH_1________1_

(2n+1-2)(2n+2-2)-2n+1-2-2n+2-2

bb

u_231_11_11

n+2334n+1

-T1T2T2T3T/mi2-22-22-22-22-2

11

2n+2-222*2-2.

下证：Rn<4Hfu

只须证2n+{-l>n+l.

令f(n)=2,z+l-/z-2,fCn-1)=2"-1,

V/(n)1)=2〃-l>0,

单调递增，即/(〃)>/(l)>0,

：.2n^-l>n+l,即R“V4”〃.

2

21.如图，已知椭圆C”zi+2=1,抛物线C2：y^m(x-n)(zn>0),且Ci,C2的

2

公共弦A8过Ct的上焦点F.

(I)若由QnZIAQ,求直线AB的斜率；

(II)若C为抛物线C2的顶点，求△ABC面积的最大值.

解：(/)设A(xi,yi),B(X2,”)，直线4B方程y=fcr+l,

y=kx+l

联立y2得(F+2)x2+2fci-l=0,

+x2=l

则X[+X2=f

由可知X2="2xi，联立（*）式解得k=+^S.

iBFl27

y=kx+l

(//)联立《之得6氏2-(2团〃+攵)x+mn2-l=0,

y=m(x-n),

k91

则心+x广2n+—，xix=n(**)，

14m【42m

因为A8是公共弦，所以由(*),(**)可得：

簧g+旦——2」=佃+1)2=孚

k*+2m1+2mkJ+2

又廉卜喻也,哈皿哭+31总’

(Kk

故SAABCV1ABl叱-AB=2J

贝USAABC91ABi,比-AB=27-3t3+4t2~t-

记f(t)=-3t^