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文档简介
第五章 频域分析法5.1
频率特性一、控制系统在正弦信号作用下的稳态输出系统r(t)c(t)稳态输出的振幅与输入振幅之比,称为幅频特性。Ar稳态输出的相位与输入相位之差
,称为相频特性。M
Ac一个稳定的系统，假设有一正弦信号输入cc(t
)
A
sin(
t
)r(t
)
Ar
sin
t其稳态输出可写为Ac-稳态输出的振幅
-稳态输出的相位线性定常系统，在正弦信号作用下，输出的稳态分量与输入的复数比，称为系统的频率特性(即为幅相频率特性，简称幅相特性)。则
j
j
e
j
j
M
e
j
故幅频特性M
j
相频特性
j
不难证明，频率特性与传递函数之间有着确切的简单关系：
(j
)=
(s)
s=j
几点说明：①频率特性不只是对系统而言，其概念对控制元件、部件、控制装置均适用。②频率特性只适用于线性定常系统，否则不能用拉氏变换求解，也不存在这种稳态对应关系。③推导频率特性时，是在假定线性系统稳定的条件下导出的。但从理论上推导动态过程时它的稳态分量总是可以分离出来的，而且其规律性并不仅赖于系统的稳定性。回此可以扩展频率特性的概念。④由频率特性的表达式可知其包含了系统或元部件的全部结构和参数。故尽管频率特性是一种稳态响应，而动态过程的规律性必将寓于其中。所以频率法就是运用稳态的频率特性间接研究系统的动态响应，从而避免了直接求解高阶微分方程的困难。频率特性和传递函数、微分方程的置换关系图动态数学模型二、求取频率特性的数学方法RC网络的传递函数为1G(s)
Uc
(s)
Ts
1Ur
(s)T
RC频率特性1e
jarc
tan
Ts
j
G(
j
)
G(s)
1Tj
1(T
)2
1幅频特性1M
(
)
G(
j
)
(T
)2
1相频特性
(
)
G(
j
)
arctan
T幅频特性和相频特性1
01/2T1/T2/T3/T4/T5/T
/
(
T
)2
100.890.7070.450.320.240.200-
arctan
T0-26.6
-45
-63.5
-71.5
-76
-78.7
-90
幅频和相频特性曲线/s-1/s-1三、频率特性图示法1.直角坐标图幅频特性：纵坐标为M，线性分度；横坐标为
，线性分度。相频特性：纵坐标为
，线性分度；横坐标为
，线性分度。ϕ/s-1/s-12.极坐标图频率特性G(
j
)
G(
j
)
G(
j
)
M
(
)
(
)幅相特性：以频率
作为参变量，将幅频与相频特性同时表示在复平面上。当频率
从零到无穷变化时，矢量G(j
)的端点在复平面上描绘出一条曲线，即为幅相特性曲线，又称奈奎斯特曲线。Oj1惯性环节的幅相特性曲线
0
M(
)1
0
(
)0
-90
3.对数坐标图—伯德图(H.W.Bode)对数频率特性曲线又称伯德图，包括对数幅频和对数相频两条曲线。对数频率特性曲线的横坐标表示频率
，并按对数分度，但标出的是实际的值。对数幅频曲线的纵坐标表示对数幅频特性的函数值，线性均匀分度，单位是分贝，记作dB。对数幅频特性定义为L(
)
20
lg
M
(
)对数相频曲线的纵坐标表示相频特性的函数值，线性均匀分度，单位是度或弧度。
12345678910lg
00.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.9541对数幅频和对数相频特性曲线/s-15.2
典型环节的频率特性一、比例环节(放大环节)传递函数：频率特性:G(s)=KG(j
)=K=Kej0幅频特性：
M
(
)
G
(
j
)
K相频特性：
(
)
G(
j
)
0
对数幅频特性：L(
)
20
lg
M
(
)
20
lg
K幅相曲线幅频、相频曲线/s-1对数频率特性曲线(
)(
)/s-1/s-1二、积分环节传递函数：G(s)
121
1j
j
s频率特性：G(j
)
e
幅频特性：
M
(
)
G(
j
)
1相频特性：
(
)
G(j
)
900对数幅频特性：
L(
)
20
lg
M
(
)
20
lg
1
20
lg
幅相曲线幅频、相频曲线对数频率特性曲线(
)(
)/s-1/s-1三、微分环节传递函数：G(s)
sj
2频率特性：G(j
)
j
e幅频特性：
M
(
)
G(
j
)
相频特性：
(
)
G(j
)
900对数幅频特性：L(
)
20
lg
G
j
20
lg
对数相频特性：
900幅相曲线对数频率特性曲线幅频、相频曲线/s-1(
)(
)/s-1/s-1四、惯性环节传递函数：1G(s)
Ts
11e
jarc
tan
T频率特性：G(j
)
1Tj
1幅频特性：(T
)2
11M
(
)
G(
j
)
(T
)2
1相频特性：
(
)
G(j
)
arctan
T幅相曲线幅频、相频曲线1对数幅频特性：L(
)
20
lg
G(
j
)
20
lg
20
lg
1
20
lg
T
2
T
2
T
2
1
1
20
lg
1对数相频特性：
G(
j
)
arctan
T渐近对数幅频特性：当
1
时，
T
1，略去
(
T
)2
则得TL(
)
20
lg
T
2
1
20
lg
1
0，则L(
)=0。T扩展为只要
1当
1
时，
T
1，(
T
)2
1
，略去1，得TL(
)
20
lg
T
2
1
20
lg
T
2
20
lg
T地代替之。T扩展为只要
1，就以L(
)
20
lg
T
近似对数频率特性曲线T特征点：
1
,
L(
)
3
dB,
(
)
45
/s-1(
)(
)/s-1/s-1五、一阶微分环节传递函数：G(s)
s
1频率特性：G
j
j
1对数幅频特性：L(
)
20
lg
G
j
20
lg
2
1幅频特性：
M
(
)
G(
j
)
(
)2
1相频特性：
(
)
G(
j
)
arctan
对数频率特性曲线(
)(
)/s-1/s-1幅相曲线
特征点：
1
,
L(
)
3
dB,
(
)
45
六、振荡环节2nn2n1s2
n传递函数：G(s)
2
s
2
2
s
1
s
n
nn112
2
频率特性：G(
j
)
2
j
2
j
1
j
1
n
n
1幅频特性：M
(
)
G(j
)
2
2
2
1
2
n
n
对数幅频特性：
2
2
L(
)
20
lg
G(
j
)
20
lg
1
2
2
n
n
相频特性：2
n
(
)
G(
j
)
arctan2
1-
n
幅频、相频曲线峰值对应的频率为谐振频率，其值由dM
(
)
0解出d
m
n
1
2
2谐振峰值m1M
2
1
2幅相曲线根据幅频特性和相频特性公式计算出频率特性j1O渐近对数幅频特性：当
n时，即
/
n
1时，则略去
/
n，近似取L(
)
20
lg
G(
j
)
20
lg
1
0
dB在低频段的渐近特性是一条与横轴相重合的直线。n时，即
/n
>>1时，则略去1和当
>>
近似取2
n2
L(
)
20
lg
G(
j
)
20
lg
40
lg
n
n
这是一条在
n
处过横轴且斜率为-40dB/十倍频程的直线。
为转折频率
n
2
2
0
20
lg
2
20
lg
1
2
2
n
n
n没有考虑阻尼比
的影响。在转折频率处渐近特性与精确特性线误差为(
)/s-1对于不同的阻尼比
，振荡环节的精确对数幅频特性对数相频特性：(
)七、二阶微分环节传递函数：G(s)
2
s2
2
s
1频率特性：G(j
)
2
j
2
2
j
1对数幅频特性：L(
)
20
lg
G
j
20
lg
1
2
2
2
2
2对数相频特性：2
2
arctan
2
1
幅相曲线:
0时，M
(
)
1,
(
)
00
;
时，M
(
)=
,
(
)=1800对数频率特性曲线这里n
1(
)(
)/s-1/s-1八、一阶不稳定环节传递函数：1G(s)
Ts
1频率特性：G(
j
)
1j
T
11
T
2对数幅频特性：L(
)
20
lg
G(
j
)
20
lg
1对数相频特性：
G(
j
)
arctan
T
1
幅相特性:
0时，M
(
)
1,
(
)
1800
;
1
时，M
(
)
2
,
(
)
1350
;T
2
时，M
(
)=0,
(
)
900对数频率特性曲线(
)(
)/s-1/s-1九、延迟环节数学表达式：c(t
)
r(t
)G(s)
e
sG(
j
)
e
j
M
(
)
G
j
1传递函数：频率特性：幅频特性：相频特性：
G
j
对数幅频特性：L(
)
20
lg
G
j
20
lg
1
0
dB幅相特性曲线伯德图对数频率特性曲线(
)(
)/s-1/s-15.3
控制系统的开环频率特性系统的开环频率特性曲线分为：开环幅相特性曲线和开环对数频率特性曲线。一、开环幅相特性曲线的绘制设系统的开环传递函数由若干个典型环节相串联G(s)
G1
(s)
G2
(s)
G3
(s)其开环频率特性G(
j
)
G1
(
j
)
G2
(
j
)
G3
(
j
)312123123123G(
j
)
eG
(
j
)
G
(
j
)
G
(
j
)
ej
G
(
j
)j
G
(
j
)j
G
(
j
)j
G
(
j
)j[
G
(
j
)
G
(
j
)
G
(
j
)]
G
(
j
)
e
G
(
j
)
e
G
(
j
)
e
所以，系统的开环幅频和相频分别为M
(
)
G(
j
)
G1
(
j
)
G2
(
j
)
G3
(
j
)
M1
(
)
M2
(
)
M3
(
)
(
)
G(
j
)
G1
(
j
)
G2
(
j
)
G3
(
j
)
1
(
)
2
(
)
3
(
)1.开环幅相特性曲线的绘制例某0型单位负反馈控制系统，系统开环，试绘制系统的开环幅相曲线。K传递函数为G(s)
(T1
s
1)(T2
s
1)当
=0
时当
=
时G(j0)=K
0
G(j
)=0
-180
解：G(j
)
K(
j
T1
1)(
j
T2
1)0型系统幅相特性曲线开环幅相曲线例某单位负反馈控制系统，系统开环传，试绘制系统的开环幅相特性曲线。K递函数为G(s)
s(T1
s
1)(T2
s
1)当
=0
时当
=
时G(j0)=
-90
G(j
)=0
-270
解：G(j
)
Kj
(
j
T1
1)(
j
T2
1)各型系统幅相特性曲线的概略图开环幅相特性曲线例某单位负反馈控制系统，系统开环传，试绘制系统的开环幅相特性曲线。递函数为G(s)
K
(
1
s
1)(T1
s
1)(T2
s
1)(T3
s
1)解：G(j
)
K
(
j
1
1)(
j
T1
1)(
j
T2
1)(
j
T3
1)当
=0
时当
=
时G(j0)=
K
0
G(j
)=0
(90
-270
)=0
-180
取T1、T2大于
1，
1>T3时，系统的开环幅相特性曲线为系统的开环幅相曲线2.系统开环幅相特性的特点①当频率
=0时，其开环幅相特性完全取决于比例环节K和积分环节个数
。②0型系统起点为正实轴上一点,I型及I型以上系统起点幅值为无穷大,相角为-
·90
。③当频率
=
时，若n>m(即传递函数中分母阶次大于分子阶次)，各型系统幅相曲线的幅值等于0，相角为-(n-m)·90
。④G(j
)曲线与负实轴交点坐标，是一个关键点，其交点坐标可由下列方法确定。G(
j
)
G(
j
)
e
j
G
(
j
)
u(
)
j
(
)令
G(j
)=-
。解出与负实轴交点处对应的频率
x的值。再将
x代入|G(j
)|中，求得与负实轴交点的模值。令
(
)=0解出
x
，再将
x代入u(
x)中，求得与负实轴交点的坐标。二、开环对数频率特性曲线的绘制系统的开环幅频和相频M
(
)
G(
j
)
G1
(
j
)
G2
(
j
)
G3
(
j
)
M1
(
)
M2
(
)
M3
(
)
(
)
G(
j
)
G1
(
j
)
G2
(
j
)
G3
(
j
)
1
(
)
2
(
)
3
(
)系统的开环对数幅频和对数相频特性:开环对数幅频L(
)
20
lg
M
(
)
20
lg
M1
(
)
20
lg
M2
(
)
20
lg
M3
(
)开环对数相频
(
)
1
(
)
2
(
)
3
(
)系统开环对数幅频等于各环节对数幅频之和；系统开环对数相频等于各环节对数相频之和。解决这方面的问题要求掌握：正问题能熟练的绘制系统的伯德图。即已知系统的开环传递函数，在半对数坐
标纸上绘制出系统开环对数频率特性曲线。反问题会求传递函数。即已知对数幅频特性曲线(或实验曲线)，能反求其传递函数。解决正问题的方法与绘制对数幅频特性曲线的步骤： 将开环传递函数写成尾1标准形式，确定出系统开环增益K。确定各典型环节的转折频率，按由小到大依次标注在半对数坐标的横轴上。在半对数坐标上确定
=1(1/s)且纵坐标等于20lgK
dB的点A。过A点做一直线，使其斜率等于-20
dB/dec。当
=0,
=1,
=2时，斜率分别是(0，-20，-40)
dB
/dec。4.沿频率增大的方向每遇到一个转折频率就改变一次斜率，其规律是遇到惯性环节的转折频率，则斜率变化量为-20dB/dec；遇到一阶微分环节的转折频率，斜率变化量为+20dB/dec；遇到振荡环节的转折频率，斜率变化量为-40dB/dec等等。渐近线最后一段(高频段)的斜率为-20(n-m)dB/dec；其中n、m分别为开环传递函数分母、分子的阶次。5.如果需要，可按照各典型环节的误差曲线对相应段的渐近线进行修正，以得到精确的对数幅频特性曲线。绘制对数相频特性的步骤：在半对数坐标纸上分别绘制出各环节的相频特性曲线。将各环节的相频特性曲线沿纵坐标方向相加，从而得到系统开环对数相频特性曲线
(
)。当
0
时，
(
)
-
·90
。当
时，
(
)
-(n-m)·90
。例已知单位负反馈系统如图所示，试做出系统的开环伯德图。解：作L(
):40 40
/
4
10
K(1)
G
s
s(s
4)s(Ts
1)s
1
s
1
s
1
s
1
4
4
因此，开环增益K=10转折频率1T
1
4
(1
/
s)20
lg
K
20
dB
/s-1L(
)/dB11002040-20-400
0.1-20
dB/dec4
10AB-40
dB/dec作对数相频曲线：因为该系统是由放大、积分、惯性环节组成的，则
1
(
)
2
(
)
3
(
)
0
(
90
)
(
arctan
T
)因此，只要从-90°起作一惯性环节的相频，即可得到系统的对数相频特性曲线。对数相频特性曲线(
)/s-1例已知一单位负反馈系统开环传递函数G
s
200
s
1
s
s
0.2
s2
4s
100
试作系统开环对数幅频L和相频
。解：作L(
):(1)G
s
200
s
1
0.2
100s
5s
1
0.01s2
0.04s
1
200K
10
20
lg
K
20
dB0.2
100
1
0.2,
2
1,
3
n
10,
0.22
20
lg
1
8
dB
/s-1L(
)/dB101002040-20-400A-20
dB/dec0.1
0.2B-40
dB/decC-20
dB/decD-60
dB/dec
1
2
1
31s①
G
(s)=
10215s+1②
G
(s)=③
G3
(s)
s
1410.01s2
0.04s
1④
G
(s)
作
(
):由系统中各环节对数相频特性叠加而得到系统的开环对数相频特性曲线，即
1
2
3
4
5
0.1
1
10
100lg
(
)
系统开环对数相频特性曲线(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)/s-1系统开环对数幅频特性曲线与横轴(0dB线)交点的频率称为穿越频率或截止频率
c。系统开环对数相频特性曲线与线交点的频率称为相频截止频率
g。两个概念：三、最小相位系统和非最小相位系统传递函数中没有右极点、右零点的系统，
称为最小相位系统；传递函数中有右极点、右零点的系统，则称为非最小相位系统。例已知某系统的开环对数频率特性如图所示，试确定其开环传递函数。解：根据对数幅频特性曲线，可以写出开环传递函数的表达形式
2K
(
s
1
)G(s)
s
(
s
1
)
1根据对数频率特性的坐标特点有，。
K
2
c
1
1c
2K
可以确定开环增益K
根据相频特性的变化趋势(-270
-90
)，可以判定该系统为非最小相角系统。G(s)中一阶微分环节和惯性环节至少有一个是“非最小相位”的。通过分析相位的变化趋势，只有当惯性环节极点在右半s平面，一阶复合微分环节零点在左半s平面时，相位才符合从-270
到-90
的变化规律。因此可以确定系统的开环传递函数为
c
2
(
s
1
2
1
1
)G(s)
s
(
s
1
)5.4
稳定判据及稳定裕度奈氏判据对数频率稳定判据频率稳定判据有以下特点：1.应用开环频率特性曲线判断闭环稳定性。开环频率特性曲线可以按上面5.2、5.3节介绍的方法绘制，也可以全部（或部分）用实验方法绘制。当系统的开环传递函式表达式不知道时，就无法用劳思判据判断稳定性，这时，应用频率稳定判据就很方便。2.便于研究系统参数和结构改变对稳定性的影响。3.可以用来分析某些非线性系统的稳定性。一、奈氏(Nyquist)稳定判据
1.辐角原理映射s平面
SF平面
F辐角原理：若
s包围了F(s)的Z个零点和P个极点，当s顺时针沿
s取值时，
F绕F平面的原点的逆时针转过的圈数N为N=P
-Z2．奈氏稳定判据(1)
取F(s)：R(s)G(s)H(s)C(s)-G(s)
(s)
1
G(s)H
(s)F
(s)
1
G(s)H
(s)假设N1
(s)
N2
(s)G(s)
M1
(s)H
(s)
M2
(s)N1
(s)N2
(s)G(s)H
(s)
M1
(s)M2
(s)开环传递函数闭环传递函数G(s)
(s)
1
G(s)H
(s)M1
(s)N2
(s)N1
(s)N2
(s)
M1
(s)M2
(s)F
(s)
1
G(s)H
(s)
N1
(s)N2
(s)
M1
(s)M2
(s)N1
(s)N2
(s)辅助函数F(s)的零点：闭环传递函数的极点
F(s)的极点：开环传递函数的极点辅助函数F(s)与系统的开环传递函数只相差常数1。2.
选择
s：
s包围了F(s)在s右半平面的所有零极点。根据辐角原理:N
P
ZZ
P
N(3)
F(s)平面变换到G(s)H(s)平面：OjF(s)平面O-1j
G(s)H(s)平面G(s)H(s)=F(s)-1
F绕F平面的原点N圈等价于绕G(s)H(s)平面的(-1，j0)点N圈。结论：若
s包围了F(s)的P个极点，即有P个开环
极点在右半s平面，
F绕G(s)H(s)平面的(-1，j0)点N圈，则系统有Z=P-N个闭环极点在
右半s平面。(4)G(s)H(s)平面变换到G(j
)H(j
)平面：因为系统的开环频率特性一般可以由实验得到，所以，直接在G(j
)H(j
)平面上分析系统稳定性更加简单。考察
s在G(s)H(s)平面上的映射：①s平面上的虚轴(s=j
)映射到G(s)H(s)平面上就是G(j
)H(j
)—开环频率特性；②
s的无穷大半圆部分在G(s)H(s)平面上的映射为G(s)H(s)平面上的原点或实轴上的一点，而这一点与频率特性G(j
)H(j
)在
的映射重合。因此，
s在G(s)H(s)平面上的映射就是G(j
)H(j
)。奈氏稳定判据：设系统有P个开环极点在右半s平面，当
从-
到+
变化时，若奈氏曲线绕G(j
)H(j
)平面(-1,j0)点N圈(参考方向为逆时针)，则系统有Z=P-N个闭环极点在右半s平面。当Z=0时，奈氏曲线逆时针绕G(j
)H(j
)平面(-1,j0)点P圈，系统稳定；当奈时曲线穿过(-1,j0)点时，系统临界稳定。二、奈氏稳定判据的实际方法当
从-
0和从0
+
时，对应的两条
G(j
)H(j
)曲线相对于实轴是互为镜像的,所以实际上只要绘制系统
从0到
时的开环幅相曲线，这时对应的曲线包围临界点(-1,j0)圈数N(逆时针方向N为正，顺时针方向N为负)和开环传递函数在右半s平面上的极点数P的关系为N
P
Z2①闭环系统稳定的条件是：Z=0，则有N
P2②闭环系统不稳定，则正实部根的个数为Z
P
2N如果系统开环传递函数G(s)H(s)包含积分环节，且假定积分环节个数为
，则绘制开环幅相曲线后，应从与频率
=0+对应的点开始，逆时针方向补画
/4个半径为无穷大的圆。例一单位负反馈系统开环传递函数为KG(s)
s2
Ts
1
试用奈氏稳定判据判断系统的稳定性。解：画出系统的开环幅相曲线幅相曲线顺时针包围(-1,j0)点一圈，即N=-1。开环传递函数右半平面极点数为0，即P=0。
Z=P-2N=2(
)(
)三、对数频率稳定判据穿越:负穿越半次负穿越正穿越半次正穿越(
)(
)
/s-1对数频率稳定判据：一个反馈控制系统，其闭环特征方程正实部根个数为Z，可以根据开环传递函数右半s平面极点数P和开环对数幅频特性为正值的所有频率范围内，对数相频曲线对-180°线的正负穿越之差N=N+-N-决定Z=P-2NZ=0，闭环系统稳定；否则，闭环系统不稳定。例
系统开环传递函数为200
s
1
G
s
s
s
0.2
s2
4s
100
试判定闭环系统的稳定性(利用对数判据)。解：(1)首先判定开环本身的P值：由G(s)看出开环P=0。(2)
绘制出G(s)所对应的L(
)和
(
):从图中看出N=0，则
Z=P-2N=0所以闭环系统稳定。(
)(
)/s-1/s-1四、控制系统稳定裕度G
s
Ks
1
s
1
2
s
1
K1
K2
K31．相位裕量
:定义为180°+开环幅相曲线幅值为1时的相角。c
180
180
G
j
H
j
c
c相位裕度的物理含义：如果系统对频率信号
c相位再滞后
值，系统就处于临界稳定状态。
值越大，其系统的稳定程度越高，工程上一般要求
40
(40
~60
)。2．幅值裕量h：开环幅相曲线与负实轴交点处的模值|G(j
g)H(j
g)|的倒数。1G
j
g
H
j
g
h
幅值裕量h的物理含义：如果系统的开环放大系数增大到原来的h倍，则闭环系统就进入临界稳定状态。(dB)幅值裕量h常用分贝值来表示：Lh
0
20
lg
G
j
g
H
j
g
20
lg
G
j
g
H
j
g
Lh值越大，其闭环系统稳定程度越高，一般要求Lh
6
dB(6~10
dB)。由伯德图求
,Lh:--(
)(
)/s-1/s-1例设某最小相位系统开环对数幅频特性曲线如图所示。写出该系统的开环传递函数G(s)；判断闭环系统是否稳定，并说明理由。/s-1解
(1)求G(s)表达式112 40
30
20,lg
10
1lg
lg
0.1因20lgK＝30
dB，求得K=31．62；在
=0.1处，斜率变化为20，对应一阶微分环节(10s+1)。在
=
1处，斜率变化为-20，对应惯性环节为因L(
1)＝4
dB，L(0.1)＝30
dB，而1s
1
1求得110lg
10
0.316在
=
2处、斜率变化为-20、对应1
2
s
1s
3
1同理，在
3和
4处，分别对应于1
1s
4
1和由于L(100)＝0，L(
4)＝5，所以100
2 5
0
60,lg
4
1lg
4
lg
100求得
4=82.54同理，可以求得
3=34.81，
2=3.48于是，开环传递函数为
sss10 10
s
1
0.1
G(s)
10s
1
1
1
1
3.48
34.81
82.54
(2)判断闭环系统的稳定性82.54
arctg
100
arctg
100因截止频率
c＝100，系统为最小相位系统，故相角裕度
180
G(
j
)
180
arctg
100
arctg100 10
arctg
1000.1
3.4834.81
29.15
0
故闭环系统不稳定。5.5
闭环频率特性一、尼柯尔斯图(Nichols)对于单位反馈控制系统，闭环传递函数为G(s)
(s)
1
G(s)则频率特性
(
j
)
G(
j
)
1
G(
j
)G(
j
)
G(
j
)
e
j
G
(
j
)
A(
)e
j
(
)
j
j
e
j
(
j
)
M
(
)e
j
(
)M(
)为闭环幅频
(
)为闭环相频M
(
)e
j
A
e
j
1
A
e
j
上式经过变换可得到如下关系式20
lg
A(
)
20
lg
sin[
(
)
(
)]sin
(
)和M
2cos
(
)
cos2
(
)
M
2
120
lg
A(
)
20
lg
1令
(
)为常数，就能得到以
(
)为参变量
的开环对数幅频和相频特性间的关系曲线。令M(
)为常数，就能得到以M(
)为参变量的开环对数幅频和相频特性间的关系曲线。由这两个公式可做出尼柯尔斯图:如果A(
)>>1时，则有M
(
)e
j
1A
e
j
1
A
e
j
这意味着，当开环对数幅频20lgA(
)>30
dB时，对应的闭环对数频率特性为：20lgM(
)=0
dB
和
(
)=0°如果A(
)<<1时，则有M
(
)e
j
A
e
j
A
e
j
1
A
e
j
这说明，当开环对数幅频20lgA(
)<-25dB时，闭环幅频和相频特性可近似用开环幅频和相频代替。所以，一般查图的取值范围为-25
dB<20lgA(
)<30
dB例
单位负反馈系统的开环传递函数为1G
s
s
s
1
0.5s
1
试应用尼柯尔斯图，画出闭环幅频特性曲线。解：首先做出系统的开环伯德图根据伯德图查出不同对应的20lgA(
)
和
(
)值。在尼柯尔斯图中，查出对应的20lgM(
)和
(
)值，从而做出系统的闭环幅频特性图。系统的闭环幅频特性图/s-1二、非单位反馈系统的闭环频率特性尼柯尔斯图是根据单位反馈系统做出来的。对于非单位反馈系统，经过适当变换后，仍可应用各种图线求闭环频率特性曲线。三、闭环频域性能指标闭环频率特性曲线的几个特征值：峰值Mr,频带
b,相频带
p和零频幅比M(0)。1．峰值Mr是指幅频特性M(
)的最大值。
M
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