概率论与数理统计习题及答案第七章

精品资料习题7-11.选择题Xμσ(1)设总体的均值与方差2都存在但未知,而X,X,L,X为来自X12nμ的样本,则均值与方差2的矩估计量分别是().σSn(X)2.i(A)X和2.(B)X和1ni1(D)X和1nμσ(C)和2.n(XX)2.ii1解选(D).(2)设X:U[0,],其中>0为未知参数,又X,X,L,X为来自总体Xθ12nθ的样本,则的矩估计量是().(A)X.(B)2X.(C)max{X}.(D)min{X}.ii1≤i≤n1≤i≤n解选(B).X2.设总体的分布律为X-215314PθXXθXnX其中0＜＜0.25为未知参数,,,…,为来自总体的样本,试求12的矩估计量.EXθθθθ解因为()=(-2)×3+1×(1-4)+5×=1-5,令15X得到的ˆ1X矩估计量为.53.设总体X的概率密度为(1)x,0x1,f(x;)0,其它.θ>XX…XXn其中-1是未知参数,,,,是来自的容量为的简单随机样本,12n求:(1)的矩估计量；θ(2)的极大似然估计量.X解总体的数学期望为可修改精品资料12.E(X)xf(x)dx(1)x1dx10,得参数θ的矩估计量为2X11X令E(X)X,即1Xˆ.2xx…xXX…X设,,,是相应于样本,,,的一组观测值,则似然函数12n12n为(1)nx,0x1,nLiii10,其它.lnLnln(1)nxinLlnx,i当0<<1(=1,2,3,…,)时,>0且ii1令dlnLn1nlnx=0,得dii1nˆ1ˆ1θ的极大似然估计值为,nlnxii1nθ而的极大似然估计量为.nlnXii14.设总体服从参数为的指数分布,即的概率密度为XXex,x0,0,f(x,)x≤0,0为未知参数,,,…,为来自总体的样本,试求未知参数XXXX其中12n的矩估计量与极大似然估计量.1ˆ1XEXx…x.设x1,,,2解因为()==,所以的矩估计量为XnXX…X是相应于样本,,,的一组观测值,则似然函数12nnLnnxinexie,i1i1lnLnln(x).n取对数ii1可修改精品资料令dlnLn1nxiˆ0,得的极大似然估计值为,的极大似dxi1然估计量为1ˆ.X5.设总体的概率密度为X,0x1，f(x,)1,1≤x≤2，0,其它,XXXn其中（0<<1）是未知参数.,,…,为来自总体的简单随机样本,记12N,,,为样本值xxLxθθ中小于1的个数.求:(1)的矩估计量;(2)的极大n12似然估计量.,所以.33X12解(1)XE(X)xdxx(1)dx22矩01(2)设样本x,x,Lx按照从小到大为序(即顺序统计量的观测值)有如下12n关系:xxxx≤xx≤…≤.(N+2)(n)≤≤…≤<1≤(1)(2)(N)(N+1)似然函数为N(1)nN,x≤x≤L≤x,1≤x≤x≤L≤xL()0,(1)(2)(N)(N1)(N2)n其它.考虑似然函数非零部分,得到LθNθnNθln()=ln+(−)ln(1−),dlnL()NnNθ令0,解得的极大似然估计值为ˆN.d1n习题7-21.选择题:设总体的均值与方差2都存在但未知,而XX,X,L,X为的样本,则无论总体服从什么分布,()是和2XX12n的无偏估计量.(A)1n和1(XX)2i.(B)1X和i1nnnn(XX)2.Xnn1n1iii11i1i1i11.(D)11nX和n(X)2nX和n(X)2.(C)n1n1nniiiii1i1i1i1可修改精品资料解选(D).X为来自总体X:N(,2)的样本,且32.若X,X,12Y131XXkX为的无偏估计量,问等于多少?k4123解要求(11115.k,解之,=12)3EX3XkX2k43413.设总体的均值为0,方差存在但未知,又X,X为来自总体XX212的样本,试证：1(XX)2为2的无偏估计.21211证因为E[(XX)2]E[(X22XXX2)]22121122221[E(X2)2E(XX)E(X2)]2221122,所以1(XX)2为2的无偏估计.212习题7-31.选择题(1)总体未知参数的置信水平为0.95的置信区间的意义是指((A)区间平均含总体95%的值.).(B)区间平均含样本95%的值.(C)未知参数有95%的可靠程度落入此区间.(D)区间有95%的可靠程度含参数的真值.解选(D).αα(2)对于置信水平1-(0<<1),关于置信区间的可靠程度与精确程度,下列说法不正确的是().(A)若可靠程度越高,则置信区间包含未知参数真值的可能性越大.α(B)如果越小,则可靠程度越高,精确程度越低.-α(C)如果1越小,则可靠程度越高,精确程度越低.-α(D)若精确程度越高,则可靠程度越低,而1越小.解选（C）习题7-41.某灯泡厂从当天生产的灯泡中随机抽取9只进行寿命测试,取得数据如下(单位:小时):可修改精品资料1050,1100,1080,1120,1250,1040,1130,1300,1200．Nμ设灯泡寿命服从正态分布(,902),取置信度为0.95,试求当天生产的全部灯泡的平均寿命的置信区间.解计算得到x1141.11,σ2=902.对于=0.05,查表可得αzz1.96./20.025所求置信区间为(xnz)nz,x/2/2(1141.11901.96,1141.11901.96)99(1082.31,1199.91).2.为调查某地旅游者的平均消费水平,随机访问了40名旅游者,算得平均消费额为x105元,样本标准差s28元.设消费额服从正态分布.取置信水平为0.95,求该地旅游者的平均消费额的置信区间.解计算可得x105,s2α=282.对于=0.05,查表可得t(n1)t(39)2.0227.0.0252μ所求的置信区间为s(xt(n1),xt(n1))(105282.0227,105282.0227)s4040nn22=(96.045,113.955).3.假设某种香烟的尼古丁含量服从正态分布.现随机抽取此种香烟8支s为一组样本,测得其尼古丁平均含量为18.6毫克,样本标准差=2.4毫克.试求此种香烟尼古丁含量的总体方差的置信水平为0.99的置信区间．nsα解已知=8,2=2.42,=0.01,查表可得2(n1)20.005(7)20.278,22(n1)12(7)0.989,所以方差σ20.9952的置信区间为(81)2.42,(81)2.42(n1)S2,(n1)S2)=(1.988,40.768).()((n1)20.2780.9892(n1)21224.某厂利用两条自动化流水线灌装番茄酱,分别从两条流水线上抽取样XX,X本:,,…YYY17及,,…,,算出x10.6g,y9.5g,s212.4,s24.7.1212122假设这两条流水线上装的番茄酱的重量都服从正态分布,且相互独立,其均值可修改精品资料分别为,.又设两总体方差22.求置信水平为0.95的置信区121212间,并说明该置信区间的实际意义.解由题设x10.6,y9.5,s22.4,s24.7,n12,n17,1212s2(n1)s2(n1)s2(121)2.4(171)4.71.9421122nn212172w12t(nn2)t(27)2.05181,所求置信区间为120.025211)((xy)t(nn2)s11)((10.69.5)2.051811.94121712wn1n22=(-0.40,2.60).结论“的置信水平为0.95的置信区间是(-0.40,2.60)”的实际12意义是：在两总体方差相等时,第一个正态总体的均值比第二个正态总体均1值大-0.40～2.60，此结论的可靠性达到95%.25.某商场为了了解居民对某种商品的需求,调查了100户,得出每户月平均需求量为10公斤,方差为9.如果这种商品供应10000户,取置信水平为0.99.(1)取置信度为0.99,试对居民对此种商品的平