2021年中考01 有理数的运算（解析版）

专题01有理数的运算

专题知识点概述

一、有理数的概念

1.有理数的概念：整数和分数统称有理数

⑴正整数、0、负整数统称为整数(O和正整数统称为自然数)

⑵正分数和负分数统称为分数

懂得：只有能化成分数的数才是有理数。①“是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理

数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。

2.有理数大小的对照

(1)正数的绝对值越大，这个数越大；

(2)正数永久比。大，负数永久比。小；

(3)正数大于统统负数；

(4)两个负数比大小，绝对值大的反而小；

(5)数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；

(6)大数-小数＞0,小数-大数＜0.

二、有理数的运算

1.有理数加法的运算律：

(1)加法的交流律：a+b=b+a；

(2)加法的联合律：(a+b)+c=a+(b+c).

2.有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+(-b).

3.有理数乘法法则：

(1)两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；

(2)任何数同零相乘都得零；

(3)几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决

意.

4.有理数乘法的运算律：

(1)乘法的交流律：ab=ba；(2)乘法的联合律：(ab)c=a(be)；

(3)乘法的分配律：a(b+c)=ab+ac.

5.有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注重：零不能做除数，即*无意义.

6.有理数乘方的法则:

(1)正数的任何次幕都是正数;

(2)负数的奇次哥是负数；负数的偶次幕是正数;

注重:当n为正奇数时：(-a)”=-an或(a-b)n=-(b-a)

当n为正偶数时：(-a)"=an或(a-b)"=(b-a)

7.有理数混合运算法则：先乘方，后乘除，末了加减.

三、相反数、绝对值和倒数的概念

1.相反数：

(1)只有符号差别的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数仍是0；

(2)相反数的和为0oa+b=0oa、b互为相反数.

2.绝对值:

(1)正数的绝对值是其自己，0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数；注重：绝对值的意

义是数轴上示意某数的点脱离原点的间隔;

a(a>0)(-

(2)绝对值可示意为a0(a=O)或|a卜a”义；绝对值的问题常常分类会商;

<11l-a(a<0)

-a(a<0)i

3.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注重：0没有倒数：若aWO,那么。的倒数是

a

若ab=loa、b互为倒数；若ab=Toa、b互为负倒数.

四、乘方

1.乘方的定义

（1）求一样因式积的运算，叫做乘方；

（2）乘方中，一样的因式叫做底数，一样因式的个数叫做指数，乘方的成果叫做塞；

2.科学记数法：把一个大于10的数记成aX10"的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记

数法叫科学记数法.

3.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.

4.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有

效数字.

【例题1】（2021•新疆）下列各数中，是负数的为（）

A.-1B.0C.0.2D.-

2

【答案解析】A

【试题解答】操纵正数与负数的定义判断即可.

-1是负数；0既不是正数也不是负数；0.2是正数；（是正数.

【对点练习】下列各数中，不是负数的是（）

5

A.-2B.3C.D.-0.10

O

【答案解析】B

【试题解答】操纵负数的定义判断即可得到成果.

A.~2是负数，故本选项不吻合题意；

B.3是正数，不是负数，故本选项吻合题意；

5

C.二是负数，故本选项不吻合题意；

D.■（）.10是负数，故本选项不吻合题意。

【例题2】（2021•成都）-2的绝对值是（）

A.-2B.1C.2D.-

2

【答案解析】c

【试题解答】操纵数轴上某个数与原点的间隔叫做这个数的绝对值，进而得出答案.

-2的绝对值为2.

【对点练习】（2021•广东省广州市）|-61-（）

A.-6B.6C.-工D.工

66

【答案解析】B.

【试题解答】本题考查了绝对值的性质，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它自己；一个负数的

绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

根据负数的绝对值等于它的相反数解答.

-6的绝对值是1-61=6.

【例题3】（2021•济宁）一:的相反数是（）

A.--B.--C.-D.-

2772

【答案解析】D

【试题解答】直接操纵相反数的定义解析得出答案.

—g的相反数是：

【对点练习】（2021•江苏苏州）5的相反数是（）

A.-B.--C.5D.-5

55

【答案解析】D

【试题解答】考查相反数的定义，简单题型.5的相反是为-5

【例题4】（2021贵州黔西南）2的倒数是（）

I1

A.2B.—C.一一D.-2

22

【答案解析】B

【试题解答】倒数定义：乘积为1的两个数互为倒数，由此即可得出答案.

1

V2X-=1,

2

；.2的倒数是-

2

【点拨】本题考查了倒数的定义，熟知乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键.

【对点练习】（2021•湖南株洲）-3的倒数是（）

A.-工B.1C.-3D.3

33

【答案解析】A

【试题解答】根据倒数的定义，若两个数的乘积是1,我们就称这两个数互为倒数.

V-3X（-J-）=1,

3

，-3的倒数是

3

【例题5】（2021•重庆）下列各数中，最小的数是（）

A.-3B.0C.1D.2

【答案解析】A

【试题解答】根据正数大于0,0大于负数，正数大于负数，可得答案.

；-3<0<1<2,

这四个数中最小的数是-3.

【对点练习】在-3,-1,0,1这四个数中，最小的数是（）

A.-3B.-1C.0D.1

【答案解析】A.

【试题解答】本题考查了有理数对照大小，操纵正数大于零，零大于负数是解题关键.根据正数大于零,

零大于负数，可得答案.

由正数大于零，零大于负数，得

-3<-1<0<1,

最小的数是-3。

【例题6】（2021•枣庄）计算-（-今的成果为（）

36

A.--B.-C.--D.-

2266

【答案解析】A

【试题解答】根据有理数的减法法则计算即可.

【对点练习】计算1—2+3—4+5-6+…+2021—2021

【答案解析】-1010

【试题解答】1—2+3—4+5—6+...+2021—2021共有1010项，

可以分1010项，每一项都是T.如许代数和为-1010

【例题7】（台湾）算式743X369-741X370之值为何？（）

A.-3B.-2C.2D.3

【答案解析】A

【试题解答】根据乘法分配律，可轻便运算，根据有理数的减法，可得答案.

原式=743X(370-1)-741X370=370X(743-741)-743=370X2-743=-3

【对点练习】计算+…+------i--的---成果是

1X33X55X77X937X39

A.1919「37D.38

37393939

【答案解析】叫

39

【试题解答】本题是一个规律计算题，主要考查了有理数的混合运算，关键是把分数乘法转化成分数

减法来计算.把每个分数写成两个分数之差的一半，然后再进行轻便运算.

【例题8】（2021•凉山州）

C.2021D.-2021

【答案解析】B

【试题解答】根据有理数的乘方运算,即可得出答案.

【对点练习】（2021•广东）

【答案解析】4

【试题解答】零指数塞和负指数事的运算

原式=1+3=4

【例题9】（2021贵州黔西南）某市为做好“稳就业、保民生”工作，将新建保障性住房360000套，

缓解中低收入人群和新参加工作大学生的住房需求.把360000用科学记数法示意应是（）

A.0.36X106B.3.6X105C.3.6X106D.36X105

【答案解析】B

【试题解答】本题考查了科学记数法，科学记数法的示意形式为aX10"的形式，其中n

为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了几位，n的绝对值与小数点移动的位

数一样.当原数绝对值》1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.

解：360000=3.6X105,

【点拨】此题考查科学记数法的示意方式，示意时关键要正确确定a的值以及n的值.

【对点练习】2021年我国的GDP总量为629180亿元，将629180亿用科学记数法示意为（）

A.6.2918X1（）5元B.6.2918X10"元

C.6.2918X10"元D.6.2918X10"元

【答案解析】C.

【试题解答】科学记数法的示意形式为aX10"的形式，其中lW|a|V10,n为整数.确定n的值

时，要看把原数变成a时，小数点移动了几位，n的绝对值与小数点移动的位数一样.当原数绝对

值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.

将629180亿用科学记数法示意为:6.2918X10'3.

一、挑选题

1.（2021•南充）若工=—4,则x的值是（）

X

A.4B.-C.--D.-4

44

【答案解析】c

【试题解答】根据倒数的定义求出即可.

【试题解答】•­,!=-4,

X

.1

.・=——4

2.（2021•河南）电子文件的大小常用B,KB,MB,"等作为单位，其中1GB=2'°MB,3MB=2'"KB,

1KB=21°B.某视频文件的大小约为1幽1"等于（）

A.2i0J3B.8»C.8X10%D.2X10：'%

【答案解析】A

【试题解答】列出算式，进行计算即可.

由题意得:2,0X2'0X2I0^2IO'IO"0=230^

3.（2021•泰安）2021年6月23日，中国北斗系统第五十五颗导航卫星暨北斗三号末了一颗全球组网卫

星成功发射入轨，可觉得全球用户提供定位、导航和授时服务.今年我国卫星导航与位置服务产业产值

预计将超过4000亿元.把数据4000亿元用科学记数法示意为（）

A.4X10'2元B.4X10'°元C.4X10"元D.40X10"元

【答案解析】C

【试题解答】科学记数法的示意形式为aXIO"的形式，其中1WIHV10,n为整数.确定〃的值时,

要看把原数变成a时，小数点移动了几位，〃的绝对值与小数点移动的位数一样.当原数绝对值大于

10时，〃是正数；当原数的绝对值小于1时，〃是负数.

4000亿=400000000000=4X10”，

4.（2021•乐山）数轴上点/示意的数是-3,将点力在数轴上平移7个单位长度得到点比则点6

示意的数是（）

A.4B.-4或10C.-10D.4或-10

【答案解析】【）

【试题解答】根据题意，分两种情况，数轴上的点右移加，左移减，求出点8示意的数是几即

可.

点/示意的数是-3,左移7个单位，得-3-7=-10,

点A示意的数是-3,右移7个单位，得-3+7=4.

所以点6示意的数是4或-10.

5.（2021•黔东南州）实数2同介于（）

A.4和5之间B.5和6之间C.6和7之间D.7和8之间

【答案解析】C

【试题解答】起首化简2国=痴，再估算痢，由此即可判断选项.

V2V10=V40,且6<A/40<7,

.*.6<2V10<7.

6.（2021•铜仁市）实数a,。在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论对的是（）

ab

-2-1012

A.a>bB.-a<bC.a>-bD.-a>b

【答案解析】D

【试题解答】根据数轴即可判断a和方的符号以及绝对值的大小，根据有理数的大小对照方式进行对

照即可求解.根据数轴可得：a<0,b>0,且㈤>|6|,

则aVb、-a>bfa<-b,-a>b.

7.（2021•新疆）实数名。在数轴上的位置如图所示，下列结论中对的是（）

0h

A.a>bB.|a|>|6C.-a<bD.a+b>0

【答案解析】B

【试题解答】直接操纵数轴上a,8的位置进而对照得出答案.

如图所示：

A.a<b,故此选项错误；

B.\a\>\b\,正确：

C.-a>b,故此选项错误；

D.a+b<0,故此选项错误.

8.下列说法对的是（）

A.一个数的绝对值必然比0大

B.一个数的相反数必然比它自己小

C.绝对值等于它自己的数必然是正数

D.最小的正整数是1

【答案解析】D.

【试题解答】分别操纵绝对值以及有理数和相反数的定义解析得出即可.

A.■个数的绝对值必然比0大，有大概等于0,故此选项错误;

B.一个数的相反数必然比它自己小，负数的相反数，比它自己大,故此选项错误;

C.绝对值等于它自己的数必然是正数，。的绝对值也等于其自己,故此选项错误;

D.最小的正整数是1,正确.

9.（2021•鞍山一模）|-20211的成果是（）

A.1B.2021C.1D.-2021

20202020

【答案解析】B

【试题解答】根据绝对值的性质直接解答即可.

|-20211=2021

10.（2021•铜仁）2021的相反数是（）

八•募B.一康C.|2021|D.-2021

【答案解析】1）

【试题解答】2021的相反数是-2021

11.（2021•广西贺州）某图书馆此刻有图书约985000册，数据985000用科学记数法可示意为（）

A.985X103B.98.5X10'C.9.85X105D.0.985X106

【答案解析】C.

【试题解答】科学记数法的示意形式为aXIO"的形式，其中lW|a|<10,n为整数.确定〃的值是

易错点，因为985000有6位，所以可以确定〃=6-1=5.

985000=9.85X103

二、填空题

12.（2021•乐山）用“〉”或符号填空：-7-9.

【答案解析】>.

【试题解答】根据正数都大于0,负数都小于0,正数大于统统负数.两个负数对照大小，绝对值大的

反而小，即可解答.

V|-7|=7,-9|=9,7<9,

-7>-9

13.参加某同学的量化分奖2分记+2分，则该同学扣1分应记做分.

【答案解析】-1.

【试题解答】本题考查了正数与负数的常识，解题关键是懂得“正”和“负”的相对性，确定一对

具有相反意义的量奖为“+”，则扣为从而可得扣1分记为：-1.

♦.•奖2分记作：“+2”，

二扣1分记作:“-1”.

14.在数1,0,-1,|-2|中，最小的数是.

【答案解析】7.

【试题解答】此题考查了有理数的大小对照，弄清有理数的对照方式是解本题的关键.

操纵绝对值的代数意义化简后，找出最小的数即可.

在数1,0,-1,-2|=2中，最小的数是-1.

15.与-2的和为0的是.

【答案解析】2.

【试题解答】设这个数为x,根据题意可得方程x+(-2)=0,再解方程即可

设这个数为x,由题意得：

x+(-2)=0,x-2=0,x=2,

16.计算：2,-(-2)=.

【答案解析】10

【试题解答】此题考查有理数的乘方，关键是根据有理数的乘方得出23=8,再与2相加.

2a-(-2)=8+2=10.

17.（2021•黑龙江哈尔滨）将数6260000用科学记数法示意为

【答案解析】6.26X10".

【试题解答】科学记数法的示意形式为aXIO"的形式，其中〃为整数.确定〃的值时,

要看把原数变成a时，小数点移动了几位，〃的绝对值与小数点移动的位数一样.当原数绝对值＞1

时，〃是正数；当原数的绝对值＜1时，"是负数.

6260000用科学记数法可示意为6.26X10，；

18.（2021•湖南邵阳）空也的相反数是

2020----------

【答案解析】-空也

2020

【试题解答】根据相反数的意义，即可求解。

里里的相反数是2019

20202020o

19.（2021•江苏无锡）2021年6月29日，新建的无锡文化旅游城将盛大开业，开业后预计欢迎游客

量约20000000人次，这个年欢迎客量可以用科学记数法示意为人次.

【答案解析】2X101

【试题解答】科学记数法的示意形式为aXIO"的形式，其中lW|a|＜10,n为整数.确定〃的值时,

要看把原数变成a时，小数点移动了几位，"的绝对值与小数点移动的位数一样.当原数绝对值＞1

时，〃是正数；当原数的绝对值＜1时，"是负数.

将20000000用科学记数法示意为:2X10；.

20.（2021•山东省聊城市）计算：（-2-2）+$=

324

【答案解析】-2.

3

【试题解答】有理数的混合运算.先计算括号内的减法，同时将除法转化为乘法，再约分即可得.

原式=（-1）xl=-2

653

21.（2021黑龙江绥化）某年一月份，哈尔滨市的平均气温约为~20℃,绥化市的平均气温约为一

23℃,则两地的温差为℃.

【答案解析】3

【试题解答】一20一（-23）=3

22.（2021湖北咸宁）有一列数，按必然规律布列成1,-2,4,-8,16,-32,…，其中某三

个相邻数的积是4；则这三个数的和是

【答案解析】-384

【试题解答】二•一列数为1,-2,4,-8,16,-32,

•••这列数的第〃个数可以示意为（-2）…，

•.•其中某三个相邻数的积是4'；

，设这三个相邻的数为(-2)…、(-2)(-2)

则(-2)2)"•(-2)向=4：

即(-2)加=(22)12,

(-2)3"=2"，

.*.3/7=24,

解得，n-8,

,这三个数的和是：(-2)'+(-2)s+(-2)9=(-2)7X(1-2+4)=(-128)X3=-384

23.根据要求，用四舍五入法示意数：1.804=(精确到0.01)

【答案解析】1.80

【试题解答】精确到0.01,意思就是把这个数保留到小数点后两位，关键要看小数点后第三