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文档简介
【分析【分析】由抛物线的方程直接求解准线方程即可.【详解】解:由抛物线),2=2x,可得其准线方程是x=-|.故选:A.2.己知数列{%},首项%=2,白伸=为+3,则心=()ABC.11D.15【答案】B解析】.【详解】%=2,%=%+3=5,%=«2+3=8.故选:B3.设〃z,〃是两条不同直线,。是一个平面,则下列命题中正确的是()A.若mLa>〃ua,则B.若〃z//a,nila»则tnVnC.若mLa>aw_L〃,则nJ/aD.若mlla,m则nVa解析】【分析】根据空间线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析,从而确定正确答案.【详解】A选项,根据线面垂直的定义可知,若tnLa〃ua,则〃?_!_〃,A选项正确.B选项,若mlla,nila.则心〃可能平行,所以B选项错误.C选项,若mLa,mVn,则〃可能含于平面。,所以C选项错误.D选项,若mlla,则〃可能含于平面a,所以D选项错误.2022-2023学年北京市密云区高二(上)期末考试一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.抛物线y2=2x的准线方程是()C.x=-lC.x=-lA.x=—2解析】21,D=-1】故选:A故选:A4,已知直线l:y=x-8.则下列结论正确的是()A.点(2,6)在直线Z上B.直线/的倾斜角为jC,直线/在y轴上的截距为8D.直线/的一个方向向量为v=(l,-l【答案】B解析】【分析】逐个分析各个选项.【详解】对于A项,当x=2,y=6时,代入直线方程后得6。2-8,.•点(2,6)不在直线/上,故A项错误;对于B项,设直线/的倾斜角为0,..k=l,tan0=l,又..0c[O,勿),..。=一,故B项正确;对于C项,令工=0得:y=-8,.••直线/在),轴上的截距为—8,故选项C错误;对于D项,..•直线/的一个方向向量为亍=(1,一1),..4=寻=一1,这与已知A=1相矛盾,故选项D错.故选:B.5.在四面体OABC中记Q4=〃,OB=b,OC=C,若点M、N分别为棱OA、BC的中点,则MN=【答案】B【解析】【分析】根据空间向量的线性运算,即得.【详解】由题意得:MN=【详解】由题意得:MN=ON-OM=-(OB+OC)--OA=--a+-h+-c.22222故选:DlOABCD.2【答案】C【解析】【分析】根据直线平行得到o(“+l)=2x3,得到解得。=2或〃=一3,再验证得到答案.解得。=2或6=-3,当a=-3,验证满足.综上所述:。=—3.故选:C8.已知0=(1,2,—y),6=(x,1,2),且2b//(a-b'),则()aa-a-故选:B.6.若双曲线^l-21=l(«>0,b>0的一条渐近线经过点(1,右),则双曲线的离心率为()A.-B.匝C.^3D.232【答案】D【解析】【分析】先求出渐近线方程,代入点(1,占)化简求解.22t【详解】双曲线声-§=1的渐近线方程为:y=±|x,点(1,由)在一条渐近线上即rbb2c2-a2,i与c4C.x=2,y=—D.x=l»y=-l【答案】B324(l4(l-x)-2x(-y-2)=0故选:B9.已知直线/:奴一y+l—A=0和圆C:x2+/-4x=0,则直线,与圆C的位置关系为()A,相交B.相切C.相离D,不能确定【解析】求出直线过的定点尸坐标,确定定点在圆内,则可判断.【详解】直线方程整理为Rx-l)-y+l=0,即直线过定点P(l,l),而l2+l2-4xl=-2<0»尸在圆C内,直线/与圆C相交.【解析】【分析】利用向量平行的充要条件列出关于X、y的方程组,解之即可求得X、的值.【详解】〃=(l,2,—y),8=(x,l,2),则Q_b=(—y_2),2b=(2x,2,4)由2b!/(a-b^,可得〈2(l-x)-2x=0,解之得[3故选:A.【点睛】关键点点睛:本题考查直线与圆的位置关系.关键点有两个:一是确定动直线所过定点坐标,二是确定点到圆的位置关系:圆C的一般方程为/(x,y)=r+y2+Ox+与+尸=0,点P(Xog),则/(%,yo)vOo点尸在圆C内,Ax0,y0)=0<=>点尸在圆C上,/(气,为)>°=点P在圆C外.10.在直三棱柱ABC-中,底面二ABC为等腰直角三角形,且满足AB=AC=AA]=\t点尸满&BP=ABC+pBB^其中2g[0,1],则下列说法不正确的是()A.当人=1时,.-.ABP的面积S的最大值为勿2B.当〃=1时,三棱锥P-A}8C的体积为定值C.C.当人=;时,有且仅有一个点尸,使得A.P1BPD.当时,存在点尸,使得A.BA.平面AB.P【答案】C【解析】【分析】根据选项A,可得点尸在CG上运动,当点尸运动到点G时,/ABP的面积取得最大值,则SAthfSAir=ABAIC.—,判断选项A;根据选项B,可得点尸在4G上运动,则*F8C=!-8PC,判断选项B;设的中点为M,BC的中点为N,根据选项C,可得点户在4G上运动,则点尸在MV上运动,可证得AjPl面BCGK,即可判断选项C;建立空间直角坐标系,设出点P的坐标,求得出点P的坐标,即可判断选项D.【详解】当4=1时,BP=BC+juBB],则点尸在CG上运动,则当点尸与G重合时,则此时面积取得最大值,aclJs+cc:=VL由于直三棱柱ABC-A4G,则AB_LAM,为等腰直角三角形,则AB1AC.ACoAA^=A.AC.AAyu面ACC}A},则ABJL面ACG4则SAgdi=S4Kr=ABAC=—2,故选项A正确;当"=1时,则BP=VBC+BB],点P在BC上运动,则匕f8c=*“pc设平面APB.的法向量为m=(x,y,z.由于点A到平面BPC的距离为定值豆,点尸到线段BC的距离恒为12则S肝=上乂5/元xl=豆^,则匕,4砒=昨=—»故选项B正确;BCP22ABC&-BPC3226当A=|时,BP=^BC+jliBB}j设的中点为M,鸟G的中点为N,则点尸在MN上运动,当点户与点M重合时,BM上MN,BM上A】N,MNA、N=N,MN,ANu平面A、MN,则BMJ_面A初V,又因为RPu面4,MN,则BM1A}P,当点P与点N重合时,A,/V1面8CG4,即AP1面8CC圈,则APJ.8P,故选项C错误;如图建立空间直角坐标系,设BB|的中点为H,CG的中点为G,当时,BPEBC+?BB,=rh=AB}=rh=AB}ni=x-z=O当a=-时,则人禅与m平行,则存在点尸,使得平面AB}P,故选项D正确.c}y故选:c【点睛】思路点睛:用向量方法解决立体几何问题,树立“基底”意识,利用基向量进行线性运算,要理解空间向量概念、性质、运算,注意和平面向量类比..二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.已知直线ax-y-]=0和直线2x+4y+l=0互相垂直,则。的值是.【答案】2【解析】【分析】根据直线垂直列方程,由此求得。的值.【详解】由于两条直线垂直,所以白x2+(-lx4=M-4=0,o=2.故答案为:212,圆心为(2,1)且和工轴相切的圆的方程是.【解析】【分析】根据圆的切线性质进行求解即可.【详解】因为该圆与X轴相切,所以该圆的半径为1,因此圆的方程为(X-2)2+3-12=1,所以%=所以%=13.已知数列{%}的前,Z项和S"=〃2+3,〃eN‘,则向=,勺的最小值为.【解析】【分析】利用为c求得4,进而求得正确答案.[S〃-Sz心2[详解】当〃=1时,%=§=4,当n>2时,由S〃=/?+3得£一=(〃一1]+3,an=S”-\_i=2n-l,2n-l,n>2所以%=2x2-1=3,由于n>2时,an=2n-l,{%}是递增数列,«2=3<^,所以弓的最小值为3.14.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为/,点A是抛物线C上一点,AO_L/于D.若AF=2,ZDAF=60,则抛物线C的方程为.【答案】/=2x【解析】【分析】根据抛物线的定义可得AD=2,然后在直角三角形中利用ZDAF=60可得P,从而可得答.【详解】根据抛物线的定义可得A」D=AF=2,又ZDAF=60,所以AD-p=^AFt得p=l,所以抛物线的方程为y2=2x.y15.关于曲线C:x2+y2=|^+|y|,给出下列四个结论:x<0,x<0,y>0时,x2+y2=-x+y,X+-①曲线C关于原点对称,也关于X轴、,'轴对称;②曲线C围成的面积是冗+2;③曲线C上任意一点到原点的距离者不大于y/2;④曲线C上的点到原点的距离的最小值为1.其中,所有正确结论的序号是.[答案]①②③@【解析】【分析】画出曲线C的图象,根据对称性、面积、图象等知识确定正确答案.【详解】曲线C:寸+寸=同+忻,则x>0,>'>0时,x2+y2=x+y,x—2x>0,y<0时,x2+y2=x-y,xJ当x<0,y<0时,x2+y2=-x-y,x+由此画出曲线C的图象如下图所示,由图可知:曲线C关于原点对称,也关于X轴、)'轴对称,①正确.曲线C上任意一点到原点的距离者不大于旦歪=皿,③正确22曲线C上的点到原点的距离的最小值为1,即|。4|=|O8|=|OC|=|QD|=1,所以④正确.故答案为:①②③④三、解答题:本大题共6小题,三、解答题:本大题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16.已知数列{%}为等差数列,且纶=一9,%=0.(1)求数列{%}的通项公式;(2)若等比数列{如}满足々=一6,b2=a2+a.+a4t求数列{如}的前〃项和.【答案】⑴%=3〃-15(2)3-3舶【解析】%+d=-9/、【分析】(1)由+4d=°得出数列{%}的通项公式;(2)先由牛得出公比,再由求和公式计算即可.【小问1详解】¥'、0,//'V三q+4d=0即数列{%)的通项公式为%=-12+3(〃-1)=3〃-15.小问2详解】设公比为0,因为々=。2+%+%=-9一6-3=-18,所以q=g=3,所以数列{如}的前〃项和为S=-6(1-3")=3_3”.”1-317.已知圆C1:(x-l)2+(y-2)2=9,圆。2:J+y2+4x+4>+4=0,直^/:x-y-3=0.(1)求圆心G到直线/的距离;(2)己知直线,与圆G交于M,N两点,求弦|MV|的长;因为角=一9,务=0,所以〈,解得%=-12,d=3.(3)判断圆(3)判断圆G与圆c?的位置关系.(2)1(3)外切【解析】【分析】(1)利用点到直线的距离公式求得正确答案.(2)根据弦长公式求得正确答案.(3)根据圆心距与两圆半径的关系确定两圆的位置关系.【小问1详解】圆G圆心为G(l,2),半径*=3.圆C2的方程可化为(x+2)2+(y+2)2=4,所以圆心为。2(-2,—2),半径乃=2.所以圆心G到直线/的距离为d="芸刃=2^2.【小问2详解】网=站-/=2>/^i=2.【小问3详解】|GG|=陌+下=5=*+分所以两圆外切.18.如图所示,在多面体ABCDEF中,梯形ADEF与正方形ABCD所在平面互相垂直,AF//DE,DEHAD,AF=AD=-DE=2.2E(1)求证:BF〃平面CDE;(2)求证:EFJ.平面CDF;(3)若点H在线段庞上,且EH=1,求异面直线AH与班:所成角的余弦值.(2)证明见解析(3)(2)证明见解析(3)全遂【答案】(1)证明见解析【分析】(1)首先根据面面平行判定证明平面〃平面COE,再根据面面平行的性质即可得到答案.(2)首先取ED的中点G,连接FG,易证EF〉FD,CD上EF,再利用线面垂直的判定即可证明EF1平面CDF.(3)首先以D为原点,分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,再利用空间向量法求解即可.【小问1详解】因为平面C£)E;AF//DE,所以AF/!平面COE.因为AB也平面CDE;CDu平面CD匹;AB//CD,所以A8〃平面CD£又因为AFd平面ABF,ABu平面ABF,AFcAB=A,所以平面A8F〃平面COE;又因为BFu平面ABF,所以肿〃平面CD£【小问2详解】取EZ)的中点G,连接FG,如图所示:E因为四边形ADEF为梯形,且DEJ.AD,AF=AD=^-DE=2,2所以四边形ADGF为正方形,FG上ED,FG=EG=2.所以EF=^+22=2>/2»F£>=必+22=2五,即EF2+FD2=ED2»EF9FD.又因为平面ADEF.L平面ABCD=AD,旦CDu平面ABCD,CD1AD,所以CD1.平面A班尸.又因为EFu平面ADEF,所以CDLEF.E"潟i64阪所以异面直线AH与如所成角的余弦值为全丞.19,已知椭圆C:4+4=l(«>^>0的长轴长是焦距的2倍,点F是椭圆的右焦点,且点ab~季j在椭圆上,白线/:F=灯"1)(“。)与椭圆C交于A,8两点.(1)求椭圆C的方程; (2)当&=1时,求的面积; (3)对VA/0,/XABF的周长是否为定值?若是,给出证明,并求出定值;若不是,说明理由.因为EFJ.CD,EFA.FD,CDcFD=D,CD,FDu平面CDF,所以EFH平面CDF.【小问3详解】以。为原点,DA.DC.DE分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,⑵些7(3)是,定值为8,证明见解析【解析】【小问3详解】△ABF的周长为定值,【小问3详解】△ABF的周长为定值,理由如下:直线/恒过椭圆左焦点K(-L0),由椭圆定义可知△ABF的周长为|RA|+|冽+|再到+|闷|=&+&=8.20.己知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为4正方形,*AD是正三角形,E、F、G、。分别是PC、PD、BC、AO的中点.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个条件作为已知.条件①:CQ_L平面PAD,条件②:PC=4>/2:条件③:平面PAD±平面ABC。.[^.+Z=188II6I9yi+力=为+1+易+1=,,j,y2=x14-x2+x1x2+i=--.•bi-^1=y/(yi+y22-4yty2=••••s-abf=?仓怙尸||凹-W=号'•【小问2详解】卜1,则直线为"x+1,过椭圆左焦点鸟(一1,0),右焦点为F(1,O)..椭圆C的方程为七+匕=1.【分析】(1)由。、b、C关系及点在椭圆上建立方程组即可解得参数;(2)S^BF=\仓|以为|,联立直线与椭圆方程,结合韦达定理即可求•(3)判断直线恒过左焦点,由椭圆定义可得周长为定值.【小问1详解】长轴长是焦距的2倍,则a=2c,则〃="一凌=3己.•.•椭圆为云+y去=1,代入点P得24?63?~ (3) (3)在线段H4上是否存在点使得直线GS与平面EFG所成角为二,若存在,求线段PM的长6 (1)求证:P0工平面ABCD;(2)求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小;度;若不存在,说明理由.【答案】(1)证明见解析; (2)f(3)答案见解析.【解析】【分析】(1)选条件①:CD_L平面R4D,利用面面垂直的判定定理得到平面PADV平面ABCD,再由POLAD,利用面面垂直的性质定理证明;选条件②:PC=4&由PD2+CD2=PC2^得到CDLPD,又CD1AD,得到CD±平面PAD,然后利用面面垂直的判定定理得到平面PADV平面ABCD,再由PO1AD,利用面面垂直的性质定理证明;选条件③:平面PAD±平面ABCD,由POLAD,利用面面垂直的性质定理证明;(2)由(1)建立空间直角坐标系,求得平面EFG的一个法向量为m=(x,y,z,易知平面ABCD的一个法向量为〃=(0,0,1),由COS〈桐=求解;⑶设圈=4说,人司0,1],得到GM=(2/L,-4,2^-2妫)由(2)知平面EFG的一个法向量证明:选条件①:。。_1平面24。,又CDu平面ABCD,所以平面PAD1.平面ABCD,因为gPAD是正三角形,且。是AZ的中点,【小问1详解】=sin^=-求解.所以所以POLAD,又平面APD1平面ABCD=AD,POu■平面APD所以PO1平面ABCD;选条件②:PC=因为PD=CD=4,所以PD2+CD2=PC\则CD2PD,又CDLAD>且PDcAD=D,所以CDS.平面PAD^又CDu平面ABCD,所以平面PAD.L平面ABCD,因为‘PAD是正三角形,且。是AD的中点,所以POLAD,又平面APD1平面ABCl)=ADtPOu平面APD所以PO1平面ABCD,选条件③:平面PADL平面ABCD.因为是正三角形,且。是AD的中点,所以POLAD,又平面APD\平面ABCiy=AD,POu平面APQ所以PO1平面ABCD;【小问2详解】由(1)建立如图所示空间直角坐标系:/b^>cP(O,O,20,E(-1,2M,F(-1,OM,G(O,4,O),所以政—(0,-2,0),昭=(1,2,-右),设平面EFG的--个法向量为〃=(x,y,z,nmnm•EF-0-2y=0mEG=Ox+2y->/3z=0mn_____________6______________j_即2国顼2心16+即一2㈣广2,整理得H—3人+2=0,因为△=-7v0,所以方程无解,即不存在满足条件的点M.21.已知椭圆C:§+#=l(oM>0的一个顶点为(0,2),离心率为乎,M,N分别为椭圆。的所以平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为y;【小问3详解】设崖,n[o,i],则GM=PM-PG=人PA-PG=0,-4,2占-2-732),由(2)知平面EFG的一个法向量为:w=(3,0,V3),(2)过定点0(,-2-⑶扬5【解析】【分析】(1)根据已知条件求得a,b,从而求得椭圆C的标准方程.上、下顶点,动直线,交椭圆C于A,8两点,满足」彻±MB,过点财作MH上AB,垂足为H.(1)求椭圆C的标准方程; (2)判断直线是否过定点,如果是,则求出此定点的
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