2021年四川省凉山州中考数学真题试卷（学生版+解析版）

2021年四川省凉山州中考数学试卷

一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项

是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置。

1.（4分）|-2021]=（）

A.2021B.-2021C----D-----

20212021

2.（4分）下列数轴表示正确的是（

IIIII1I.

A.32104-2-3B.-1-2-30123

c.-3-2-1123

3.（4分）“天问一号”在经历了7个月的“奔火”之旅和3个月的“环火”探测，完成了

长达5亿千米的行程，登陆器“祝融”号火星车于2021年5月15日7时18分从火星发

来‘'短信"，标志着我国首次火星登陆任务圆满成功.请将5亿这个数用科学记数法表示

为（）

A.5X107B.5X108C.5X109D.5X1O10

4.（4分）下面四个交通标志图是轴对称图形的是（）

5.（4分）面的平方根是（）

A.9B.±9C.3D.±3

6.（4分）在平面直角坐标系中，将线段AB平移后得到线段ABI点A（2,1）的对应点

A的坐标为（-2,-3）,则点8（-2,3）的对应点8'的坐标为（）

A.（6,1）B.（3,7）C.（-6,-1）D.（2,-1）

7.（4分）某校七年级1班50名同学在“森林草原防灭火”知识竞赛中的成绩如表所示:

成绩60708090100

人数3913169

则这个班学生成绩的众数、中位数分别是（）

A.90,80B.16,85C.16,24.5D.90,85

8.（4分）下列命题中，假命题是（）

A.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

B.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合

C.若AB=BC,则点B是线段AC的中点

D.三角形三条边的垂直中分线的交点叫做这个三角形的外心

9.（4分）函数y=fcx+6的图象如图所示，则关于x的一元二次方程/+公+左-1=0的根的

情况是（）

C.有两个不相等的实数根D.无法确定

10.（4分）如图，△ABC中，NACB=90°,AC=8,BC=6,将△AQE沿。E翻折，使点

A与点8重合，则CE的长为（）

11.（4分）点P是。。内一点，过点尸的最长弦的长为10。〃，最短弦的长为6cm,则。尸

的长为（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

12.（4分）二次函数y=/+fer+c（〃WO）的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（)

C.当-时，y20D.4a-2b+c<0

二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）

13.（4分）函数丫=苧中，自变量x的取值范围是

14.（4分）已知C是方程or+y=2的解，则a的值为.

15.（4分）菱形ABC。中,对角线AC=10,B/）=24.则菱形的高等于.

16.（4分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△AbC,已知AC=3,BC=2,

则线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为.

17.（4分）如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴

棍；拼第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；…照这样拼图，

则第〃个图形需要根火柴棍.

图1

三、解答题（共5小题，共32分）

18.（5分）解不等式：一丁—x<3

11

19.（5分）已知x-y=2,一—一=1,求fy-xv?的值.

xy

20.（7分）随着手机的日益普及，学生使用手机给学校管理和学生发展带来诸多不利影响.为

了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，让学生在学校专心学习，促进学生身心健

康发展，教育部办公厅于2021年1月15日颁发了《教育部办公厅关于加强中小学生手

机管理工作的通知》.为贯彻《通知》精神，某学校团委组织了“我与手机说再见”为主

题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中4

表示''一等奖”，8表示“二等奖"，C表示''三等奖”，。表示“优秀奖”）.

获奖情况条形统计图获奖情况扇形统计图

请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题:

（1）获奖总人数为人，m=；

（2）请将条形统计图补充完整；

（3）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参

加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率.

21.（7分）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河

对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45°,再从C点出发沿斜坡

走2付米到达斜坡上。点，在点。处测得树顶端A的仰角为30°,若斜坡CF的坡比

为i=l：3（点E、C、8在同一水平线上）.

（1）求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度：

（2）求大树AB的高度（结果保留根号）.

22.（8分）如图，在四边形48co中，N43C=NB=90°,过点。作于E,若

DE=BE.

（1）求证：DA—DC-.

（2）连接AC交OE于点凡若乙4。£=30°,AZ）=6,求。尸的长.

四、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）

2xm

23.（5分）若关于x的分式方程——-3=——的解为正数，则m的取值范围

x-11-x

是.

24.（5分）如图，等边三角形ABC的边长为4,OC的半径为B，P为AB边上一动点，

过点尸作。C的切线PQ,切点为Q,则PQ的最小值为.

25.（8分）阅读以下材料:

苏格兰数学家纳皮尔（J.Npler,1550-1617年）是对数的创始人.他发明对数是在指

数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler,1707-1783年）才发现指数与

对数之间的联系.

对数的定义：一般地，若/=N(a>0且〃W1),那么x叫做以。为底N的对数，记作x

=log.N,比如指数式24=16可以转化为对数式4=k)g216,对数式2=log39可以转化为

指数式32=9.

我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：

log。(M，N)=logMk)gaN(干>0,-WLM>0,N>0),理由如下:

n

设\o^aM=m,TogaN=〃,则M=d",N=a,

，M・N=由对数的定义得M+〃=log〃(M・N).

又*/m+n=logqM+logaM

1•log”(M*N)=k)gaA/+logaN.

根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：

(1)填空：①log232=,②log327=,③log71=;

■M

(2)求证：10g«—=log«M-loga^(«>0,M>0,N>0)；

(3)拓展运用：计算log5125+log56-log530.

26.(10分)如图，ZSAOB中，NAB。=90°,边OB在x轴上，反比例函数y=/(x>0)

的图象经过斜边04的中点与A8相交于点N,S^AOB=U,AN,

(1)求一的值;

27.(10分)如图，在RtZ\ABC中，/C=90°,AE平分NBAC交8c于点E,点。在A8

上，DE1AE,。0是Rt/VIQE的外接圆，交AC于点F.

(1)求证：BC是。。的切线；

(2)若。0的半径为5,AC=8,求S&BDE.

28.（12分）如图，抛物线＞=0?+加+。（a#0）与x轴交于A、8两点，与y轴交于C点，

AC=VTo,OB=OC=3OA.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P,使四边形PBAC的面积最大，求出点尸的坐

标；

（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点。，使点P、B、

例、。为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出。点的坐标；若不存在，请

说明理由.

2021年四川省凉山州中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项

是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置。

1.(4分)卜202“=()

1

A.2021B.-2021C.D•一盛

2021

【解答】解：-2021的绝对值是2021,

故选：A.

2.（4分）下列数轴表示正确的是（）

A.3210-1-2-3B.-1-2-30123

C.-3-2-1123D.-3-2-10123

【解答】解：A选项，应该正数在右边,负数在左边，故该选项错误;

8选项，负数的大小顺序不对，故该选项错误;

C选项，没有原点，故该选项错误;

。选项，有原点，正方向，单位长度，故该选项正确;

故选：D.

3.（4分）“天问一号”在经历了7个月的“奔火”之旅和3个月的“环火”探测，完成了

长达5亿千米的行程，登陆器“祝融”号火星车于2021年5月15日7时18分从火星发

来‘'短信"，标志着我国首次火星登陆任务圆满成功.请将5亿这个数用科学记数法表示

为（）

A.5X107B.5X108C.5X109D.5X1O10

【解答】解：5亿=500000000=5X1()8.

故选：B.

4.（4分）下面四个交通标志图是轴对称图形的是（

A.B.

。9

【解答】解：A.不是轴对称图形，故本选项不合题意；

B.不是轴对称图形，故本选项不合题意；

C.是轴对称图形，故本选项符合题意；

D.不是轴对称图形，故本选项不合题意.

故选：C.

5.(4分)面的平方根是()

A.9B.±9C.3D.±3

【解答】解：：质=9,

质的平方根是±3,

故选：D.

6.(4分)在平面直角坐标系中，将线段A8平移后得到线段A8,点A(2,1)的对应点

A'的坐标为(-2,-3),则点B(-2,3)的对应点夕的坐标为()

A.(6,1)B.(3,7)C.(-6,-1)D.(2,-1)

【解答】解：(2,1)平移后得到点A'的坐标为(-2,-3),

向下平移了4个单位，向左平移了4个单位，

：.B(-2,3)的对应点8的坐标为(-2-4,3-4),

即(-6,-1).

故选：C.

7.(4分)某校七年级1班50名同学在“森林草原防灭火”知识竞赛中的成绩如表所示:

成绩60708090100

人数3913169

则这个班学生成绩的众数、中位数分别是()

A.90,80B.16,85C.16,24.5D.90,85

【解答】解：90出现的次数最多，众数为90.

这组数据一共有50个，已经按大小顺序排列，第25和第26个数分别是80、90,所以中

位数为(80+90)4-2=85.

故选：D.

8.（4分）下列命题中，假命题是（）

A.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

B.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合

C.若AB=BC,则点8是线段AC的中点

D.三角形三条边的垂直中分线的交点叫做这个三角形的外心

【解答】解：A、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以A选项不符合题意；

8、等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，所以8选项不符合

题意；

C、若A、B、C在同一直线上，且AB=BC,则点B是线段AC的中点，所以C选项符

合题意；

。、三角形三条边的垂直中分线的交点叫做这个三角形的外心，所以D选项不符合题意。

故选：C.

9.（4分）函数y=fcv+6的图象如图所示，则关于x的一元二次方程/+法+k-1=0的根的

C.有两个不相等的实数根D.无法确定

【解答】解：根据图象可得％<0,b<0,

所以后>0,-4*>0,

因为△=反-4（Z:-1）=b1-4上+4>0,

所以△>（）,

所以方程有两个不相等的实数根.

故选：C.

10.（4分）如图，/MBC中，NAC8=90°,AC=8,BC=6,将△AOE沿DE翻折，使点

A与点8重合，则CE的长为（）

7

D.-

4

【解答】解：设CE=x,则4E=8-x=E2,

在RtABCE中，BE1=CE2+BC2,

即（8-x）2=X2+62,

解得x=；，

故选：D.

11.（4分）点P是。0内一点，过点P的最长弦的长为10。"，最短弦的长为6cm,则0尸

的长为（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

【解答】解：如图所示，COLA3于点P.

根据题意，得

AB=\0cm9CD=6cm.

1

:・CP=2。。=3(7%.

根据勾股定理，得0P=\/C02-CP2=V52-32=4(cm).

故选:B.

12.（4分）二次函数y=o?+fer+c（a#0）的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（）

B.函数的最大值为+c

C.当-3WxWl时，y^OD.4a-2h+c<0

【解答】解：•••抛物线开口向下，

：.a<0,

•••抛物线的对称轴为直线x=-名=-1，

b=2〃V0,

・・•抛物线与y轴的交点坐标在工轴上方，

Ac>0,

.\abc>09所以A不符合题意；

当x=-l时，函数的最大值为：«,（-1）2+6,（-1）+c=a-b+c,故B不符合题意；

由图可知，抛物线与x轴的另一交点为（-3,0）,所以-3Wx〈l时，y'O,故C不符合题

意；

当x=-2时，y>0,

所以，«•（-2）2+6*（-2）+<?>0,

即4a-2b+c>0,故D符合题意，

故选：D.

二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）

13.（4分）函数），=与^中，自变量x的取值范围是X2-3且x#0

【解答】解：根据题意得:｛北产°

解得X2-3且x#0.

故答案为x2-3且xWO.

14.（4分）已知二:是方程or+y=2的解，则a的值为-1.

【解答】解：把［二;代入到方程中得：a+3=2,

.*.a=-1,

故答案为：-1.

120

15.（4分）菱形ABCQ中，对角线AC=10,80=24.则菱形的高等于天

【解答】解：由题意得，菱形的面积另xAUBO=/x10X24=120,

则4。=5,80=12,

则AB=+8。2=13,

设菱形的高为/?，

则菱形的面积=8C・/z=13力=120,

解得h=黑，

120

故答案为二

13

16.（4分）如图，将△ABC绕点。顺时针旋转120°得到△ASC已知AC=3,BC=2,

57r

则线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为7.

【解答】解：:△A8C绕点C旋转60°得到△?!'B'C,

・・・△"&△4'B'C,

***SAA5C—SAABC，ZBCB'=ZACA'=120°.

VAB扫过的图形的面积=S阚形AC4+SZXABC-S扇形8ar-S&r夕c,

・・・A8扫过的图形的面积=S扇形AC4-S扇形8CB，，

77

：.AB扫过的图形的面积=丝鬻-—I2需-=等.

故答案为：—»

17.（4分）如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴

棍；拼第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；…照这样拼图，

则第"个图形需要（2〃+1）根火柴棍.

图1图2图3

【解答】解：设第"个图形需要所（"为正整数）根火柴棒,

观察发现规律：第一个图形需要火柴棍：3=1X2+1,

第二个图形需要火柴棍：5-2X2+1；

第三个图形需要火柴棍：7=3义2+1,…，

第〃个图形需要火柴棍：2〃+1.

故答案为：（2n+l）.

三、解答题（共5小题，共32分）

18.（5分）解不等式：—^―-x<3—

【解答】解：去分母，得：4（1-x）-12x06-3（x+2）,

去括号，得：4-4x-12x<36-3x-6,

移项、合并，得：-13xV26,

系数化为1得，-2.

11

19.（5分）己知x-y=2,---=1,求/厂孙2的值.

xy

【解答】解：,・4一工=1,

xy

・・y-x=xy.

,・Xy=2,

.,.y-x=xy=-2.

.•.原式=刈（工-y）=-2X2=-4.

20.（7分）随着手机的日益普及，学生使用手机给学校管理和学生发展带来诸多不利影响.为

了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，让学生在学校专心学习，促进学生身心健

康发展，教育部办公厅于2021年1月15日颁发了《教育部办公厅关于加强中小学生手

机管理工作的通知》.为贯彻《通知》精神，某学校团委组织了“我与手机说再见”为主

题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A

表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，。表示“优秀奖”）.

获奖情况条形统计图获奖情况扇形统计图

（1）获奖总人数为40人,m=30

（2）请将条形统计图补充完整;

（3）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参

加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率.

【解答】解：（1）获奖总人数为8・20%=40（人）,

40-4-8-16

m%=X1OO%=30%,

即修=30；

故答案为40；30；

（2）“三等奖”人数为40-4-8-16=12（人）,

条形统计图补充为:

获奖情况条形统计图

（3）画树状图为:

开始

共有12种等可能的结果，抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数为6,

所以抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率=^=1<.

21.（7分）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河

对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45°,再从C点出发沿斜坡

走2m米到达斜坡上。点，在点。处测得树顶端A的仰角为30°,若斜坡CF的坡比

为i=l：3（点E、C、8在同一水平线上）.

（1）求王刚同学从点C到点。的过程中上升的高度；

（2）求大树4B的高度（结果保留根号）.

【解答】解:（1）过点D作。于点H,

A

由题意知。。=20访米，

・・,斜坡C/的坡比为，=1：3,

*DH1

••—―,

CH3

设0H=x（米）,CH=3x（米），

'：DH2+CH2=DC1,

：.x2+（3x）2=（2«U）2,

•.x=2,

・・・QH=2（米）,C”=6（米），

答:王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为2米;

⑵过点D作DGLAB于点G,

,/ZDHB=ZDGB=NABC=90°,

四边形Q//BG为矩形，

:.DH=BG=2米,Z>G=BH=（x+6）米，

VZACfi=45°,

，BC=AB=x（米），

；.AG=（x-2）米，

VZADG=30°,

AGV3

—=tan30°=—,

DG3

.x-2V3

*'x+6-3，

/.x—6+4A/3,

，AB=（6+4百）（米）.

答:大树A8的高度是（6+4百）米.

22.（8分）如图，在四边形A8CD中，/AOC=/3=90°,过点。作。E_LAB于E,若

DE=BE.

(1)求证：DA=DC；

(2)连接AC交OE于点R若NADE=30°,AO=6,求。尸的长.

【解答】(1)证明：作。交5C的延长线于点G,如右图所示,

ZB=90°,DG±BC,

：・NDEB=NB=NBGD=90°,

・・・四边形DEBG是矩形，

又•：DE=BE,

，四边形DE8G是正方形，

:.DG=BE,NEDG=90°,

:・DG=DE,NEDC+NCDG=90°,

VZADC=90°,

：.ZEDC+ZADE=90°,

NADE=NCDG,

在和△COG中，

(ZADE=NCDG

\DE=DG，

V^AED=Z.CGD

:.AADEQ/XCDG(ASA),

：.DA=DC；

(2)VZADE=30°,AO=6,ZDEA=90°,

：.AE=3,DE=y/AD2-AE2=V62-32=3A/3,

由(1)知，△ADE^ZiCOG,四边形OEBG是正方形，

:.DG=DE=3®AE=CG=3fBE=DG=BG=3®

：.BC=BG-CG=3>/3-3,AE=AE+BE=3+3V39

VFG±AB,BCLAB,

：.FE//CB,

・,.AAEF^AABC,

.AEEF

••'=,

ABBC

3EF

即nn----产=-7=--，

3+3V33V3-3

解得EF=6-3V3,

:.DF=DE-EF=3/一（6-3百）=3百-6+3百=6百一6,

即。尸的长是6V3-6.

四、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）

2%

23.（5分）若关于x的分式方程一-3=—的解为正数，则根的取值范围是m>-3

x-11-x

且-2.

【解答】解：方程两边同时乘以（x-1）得，2x-3（x-1）--m,

解得x=zn+3.

为正数，

：.m+3>0,解得〃?>-3.

即mW-2.

：.m的取值范围是〃〉-3且加会-2.

故答案为：加>-3且mW-2.

24.（5分）如图，等边三角形ABC的边长为4,0C的半径为VI尸为A3边上一动点，

过点P作。C的切线PQ,切点为Q，则点。的最小值为3

A

Q

Brc）

【解答】解：连接CP、CQ,作于，，如图,

•••等边三角形ABC的边长为4,

：.AB=CB=4,ZBCH=1x60°=30°,

：.BH=^AB=4,CH=^BC=^x4=2V3,

：PQ为（DC的切线，

：.CQLPQ,

在RtaCPQ中，PQ=_CQ2=7cp2_3,

•••点P是AB边上一动点，

当点P运动到H点时，CP最小，

即CP的最小值为2百，

：.PQ的最小值为=3,

故答案为：3.

五、解答题（共4小题，共40分）

25.（8分）阅读以下材料：

苏格兰数学家纳皮尔（/.Npler,1550-1617年）是对数的创始人.他发明对数是在指

数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（EWer,1707-1783年）才发现指数与

对数之间的联系.

对数的定义：一般地，若/=N（a>0且。片1）,那么x叫做以。为底N的对数，记作x

=log“N,比如指数式24=16可以转化为对数式4=log216,对数式2=log39可以转化为

指数式32=9.

我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：

k)g〃(M・N)=log“M+k)gaN(〃>0,。工1,M>0,N>0),理由如下：

设log“M=m,log(N=n,则M=am,N=d，,

・,.M・N=""・〃〃=4〃T由对数的定义得m+〃=log〃(M・N).

又*/m+n=logaM+logJV,

loga(M・N)=logaM+logaN.

根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：

(1)填空：@log232=5,②k)g327=3,③loll=0;

M

(2)求证：logd—=logr/M-log^(«>0,M>0,N>0)；

(3)拓展运用:i+WIog5125+log56-log530.

【解答】解：(1)log232=log225=5,logs27=logs33=3,Iog71=log77°=0；

故答案为：5,3,0；

(2)设log.M="，log°N=n,则M="",N=d1

Mam.M

•=-=d"",由对数的定义得m-n=log«—,

NanN

XVm-〃=logaM-logaN,

M

・・・loga—=10gaM-logaN(q>0,1,M>0,N>0);

N

(3)原式=log5(125X64-30)

=logs25

=2.

k

26.(10分)如图，ZXAOB中，乙480=90°,边OB在x轴上，反比例函数尸-x>0)

q

的图象经过斜边OA的中点M,与AB相交于点MSAAOB=12,AN,

(1)求女的值；

(2)求直线MN的解析式.

y

【解答】解：(1)设N(岫)则OB=a,BN=b,

・：AN=宗9

9

••AB=b~\~2，

.9

•二A(〃,/?+2)»

IM为。4中点，

119

而反比例函数y=((x>0)的图象经过斜边04的中点M,

119

・♦k=2。•叩+4)=必

解得：b=|,

VSAA^=12,NABO=90°,

119

・・・5。8\48=12,即&aS+务=12,

Q139

将b-2代入得：-a(-+-)=12,

解得。=4,

3

・・・M4,0M(2,3),

3

"=4x]=6；

3

(2)由(1)知：M(2,3),N(4,-),

设直线MN解析式为y=nvc+n,

(3=2m+n(m=—7

•..g=4m+/解得93

12In=

QQ

直线MN解析式为产-永+

27.(10分)如图，在RL^ABC中，ZC=90°,AE平分NBAC交BC于点E,点。在A8

上，DELAE,。。是RtaAOE的外接圆，交AC于点F.

(1)求证：BC是。。的切线；

(2)若。。的半径为5,AC=8,求5.BDE.

【解答】解：(1)连接0E,

VZC=90°,

：.Z2+ZAEC=90°,

又：O4=0E,

.♦./l=N0E4,

.•.NAEC+NOE4=90°,

即OEA.BC,

；.BC是0O的切线；

(2)过点E作EM_LA8,垂足为M,

VZ1=Z2,NC=NAED=90°,

：.△­££),