恒成立与存在性问题概况

恒成立与存在性问题-内容分析：“恒成立”问题一直是中学数学的重要内容。它是函数、数列、不等式、三角等内容交汇处的一个非常活跃的知识点。“不等式恒成立”问题涉及到一次函数、二次函数的性质、图象渗透和换元、化归、数形结合、函数与方程、分类讨论等数学思想方法。“不等式恒成立”问题对培养学生的综合解题能力，培养学生思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。“不等式恒成立”问题是历年高考的热点。学习目标：1、 通过本专题，使学生能够掌握“恒成立”问题的常见解法，提高横向、逆向、创造性的思维能力。2、 在自主探究和合作交流中，经历知识点产生和形成过程，不仅重视对研究的掌握和应用，更重视对研究方法的思想渗透以及分析问题和解决问题能力的培养。3、 进一步提升理性思维能力，激发学生更积极主动的学习精神和探究勇气。-过程与方法：培养分析、解决问题的能力，体验函数思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想。・学习重点：理解解决不等式恒成立问题的实质，有效掌握不等式恒成立问题的基本技能。-学习难点：利用转化思想，通过函数的性质与图像化归至最值问题来处理恒成立问题。自主探究1、已知尤>0,y>0，且-+-=1，若x+2y>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围为尤y2、不等式ax2+ax+2>0对任意xeR恒成立，则a的取值范围为.3、不等式ax2+ax-2>0的解集为4，则a的取值范围为.4、 当xe11,3］时，不等式x2+ax+2>0恒成立，则a的范围为.5、 当ae11,3］时，不等式x2+ax+2>0恒成立，则x的范围为.一恒成立问题的具体题型1.具体值米仁。,均有/(k)>A恒成立，则大矽点>4；均有fx)<A恒成立，则fx)max<A.范例1.(课本习题)：若f(x)=x2-ax+2>0,对xe［2,3］恒成立，则实数】的取值范围.(2010.成都二诊)1 -已知函数^(x)=ax一 (a>1),且af(2t)+mf(t)>0ax对于te［1,2］恒成立，则实数农的取值范围？x已知函数f(x)=(x-k)2ek。(I)求f(x)的单调区间；(II)若对于任意的xe(0,+8)，都有f(x)<1，求k的取值范围。e变式探究2：若不等式x2-ax+2>0,对ae[2,3]恒成立，则实数尤的取值范围.同一自变量的两个函数x《D,均有/W>g(K)恒成立，则F(x)=f(x)-g(x)>0 :.F(x)min>0均有f(X)<g(x)恒成立，则F(x)=f(x)-g(x)<0 ..・F(x)max>0范例2(课本习题改编)：已知函数广(x)=x2+2,g(x)=ax,其中a〉0.对任意xe【2,3],都有f(x)>g(x)恒成立，求实数a的取值范围.范例3(课本习题改编)：已知函数*(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x3+5x2+4x,其中k为实数若对/xe[-3,3],使f(x)>g(x)恒成立，求k的取值范围范例4.若不等式logx>sin2x(a〉0且a。1)对于任意x《(0,：]都成立，求a的取值范围(2014湖北)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=!(Ix-a21+1x—2a21-3a2)，若VxeR,f(x-1)<f(x)，则实数a的取值范围为范例5：(2014新课标全国卷21题),一… ).x-1设函数/(x)=exlnx+ ,证明f(x)>1不同自变量的两个函数x1《D,Vx2eE,使得大/)>g(x2)成立，则f(X)min>g^)maxx1eD,Vx2《E，使得f(x1)<g(x2)成立，则fx)蛔<g(x)点TOC\o"1-5"\h\z1 2 12 Miax <imn已知函数广(x)=x2+2,g(x)=ax,其中a>0.(1对任意尤e[2,3]，都有f(x)>g(x)恒成立，求实数a的取值范围.(2)对任意气壬e[2,3],都苟(气)>g牌)恒成立，求实数a的取值范围.'2 1 2(09年二诊21)已知函数f(x)=一x3+x2+2x一1,g(x)=一x2+x+1.若对任意x,xe[-1,1],不等式/(x)+k<g(x)恒成立，求实数柿取值范围. 1 2二、恒成立问题的应用与存在性问题不等式问题已知f(x)=ln(x+1),g(x)=1--^-,

x+1试证：对任意的x>0,都有f(x)>g(x)成立.利用函数的单调性，证明下列不等式：、1.sinxvx,x€(0卉);2.x-x2>0，XE(0，1)；3ex>1+x,x，0; 4lnxvxvex,x>0.过渡题：证明：对任意的正整数n,不等式ln(：+1)>n_-L都成立.(2014湖北文数21,改编)兀为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数求函数f(x)=lnx的单调区间x求，e3,3e,e兀,兀e,3兀,兀3这六个数中最大的数与最小的数利用导数研究函数的单调性，再由单调性证明不等式是函数导数不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。(2014(2014山西理数改)证明不等式11 1_+_+—+•..+—3TOC\o"1-5"\h\z11 1vln(n+1)v1+_+_+ +一，ngN*n+1 23n\o"CurrentDocument"n+1nn—1 3 2关键:ln(n+1)Tn +In〔+In》+1%+In〔关键:所以只需要证明1v1nn+1v1即可n+1nn变式2：证明(1+L)nve,ngN*n思路分析：原不等式可化为1n(1+1)nvInen等价于nln(1+1)<1n等价于In(1+1)<1nn(2014f田建高以构造函数y-in(1+x)-x,xg(0,1)证明当程跟变式后e面是一样的了对任意给定的正数总存在七，使得当CG(x,+8)时，恒有2vcex0分析：第一问只需要证明ex的最小值小于即可第二问用函数的增长速度来解释的话，肯定是正确的，只是如果越小，这个的值就会越大，我们只02.变量需要意性和豚界!条件即可。问题：已知函数f(x)=2k2x+k,xg[0,1],函数g(x)=3x2-2(k2+k+1)x+5,xg[-1,0]当k=2时，对任意xg[0,1],是否存在1xG[-1,0],使g(x)=f(x)成立.2求k的取值范围.变式1:对任意X广[0,1],存在xe[一项],使得g(x)=f(x2求k的取值范围.X2^[-1,0],使得变式2：存在x1e[0,1]g(x2)=f(x1)成立，求X2^[-1,0],使得变式3：对任意X1e[0,1],存在xe[—1,0],使得g(x)vf(x)成立，求k的取值范围.1.对函数中的存在性与任意性问题:相等关系转化为函数值域之间的关系，不等关系转化为函数的最值大小.探究中要注意数学思想方法的应用:如转化与化归思想、数形结合思想、分类讨论思想等例：已知函麴'(x)=8x2+16x-化其中A为实数.(1)若对Vxe[-3,3]，使f(x)>0恒成立，求k的取值范围;(2)若3x0e[-3,3]，使f(x0)>0能成立，求k的取值范围;

(3)若对Vxe[-3,