直线、平面平行的判定与性质知识点及题型归纳

直线、平面平行的判定与性质知识点及题型归纳知识点精讲一、直线和平面平行1.定义直线与平面没有公共点，则称此直线l与平面a平行，记作l〃a2•判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）（见表8-9）表8-9文字语言图形语言符号语言线〃线n线〃面如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行n线面平行/•/U/1'1luailua>nl/a面〃面n线〃面如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面a〃paua>na/p3•性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）（见表8-10）表8-10文字语言图形语言符号语言线〃面n线〃线如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行l/a 'luPa"p=l>nl/1'二、两个平面平行1.定义没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为:对于平面a和卩，若aPl卩=e,则a〃卩2•判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）（见表8-11）表8-11文字语言图形语言符号语言判定定理线/面n面/面如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记为“线面平行n面面平行//aua,bua,aP|b=Pa/p,b/pna/p线丄面n面/面如果两个平面冋垂直于一条直线，那么这两个平面平行l丄a] 门l丄pj"/P

3•性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）（见表8-12）表8-12文字语言图形语言符号语言面/面n线//面如果两个平面平行，那么在个平面中的所有直线都平行于另外一个平面//X/a//卩、aua>na//卩性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行n线面平行”/F4L/a//卩］aClY=a>na//b.卩ClY二b‘面//面n线丄面如果两个平面中有一个垂直于条直线，那么另个平面也垂直于这条直线1a//卩、l丄a>>nl丄卩题型归纳及思路提示题型1证明空间中直线、平面的平行关系思路提示：线线平行、线面平行、面面平行的转换如图8-90所示.（1） 证明直线与平面平行的常用方法：Q利用定义，证明直线a与平面a没有公共点，一般结合反证法证明；Q利用线面平行的判定定理，即线线平行=线面平行•辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；Q利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；（2） 证明面面平行的常用方法：Q利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；Q利用面面平行的判定定理；Q利用两个平面垂直于同一条直线；Q证明两个平面同时平行于第三个平面.（3） 证明线线平行的常用方法：Q利用直线和平面平行的判定定理；Q利用平行公理；一、线面平行的判定定理与线面平行的性质定理的应用例8.24已知m,n是两条不同的直线，a,P，丫是三个不同的平面，下列命题正确的是（）C.C.若m//a,m//卩,则a//卩D.若m丄a,n丄a,贝»m//n解析:举反例排除，如图8-91正方体模型所示,AB//底面A1C1,AD//底面A1C1,但AB和AD不平行，A选项错误，同理，平面AC丄平面BC，平面AB】丄平面BC.故B选项错误，AB//底面A1C1,AB//底面A1C,而两个平面为相交关系，故C错，选D.评注：此类问题可以特殊化为一个长方体的；棱，面等，进而进行转化变式1已知m,n是两条不同的直线，a,0是二个不同的平面，给出下列四个命题:QmQm丄a,m//n,贝»n丄a.Qa//0,mua,nu0则m//n.Qm//a,m//n,贝»n//a. Qa//0,m//n,m丄a,则n丄0.其中正确的序号是（）A.QQ B.QQ C.QQ D.QQ变式2给出以下四个命题：Q如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行;Q如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直；Q如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线平行；Q如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直变式3若平面a//0，直线a//a，点BG0，则在平面0内过点B的直线中（ ）A.不一定存在与a平行的直线. B.只有两条与a平行的直线.C.存在无数条与a平行的直线. D.只有一条与a平行的直线.例8.25如图&92所示，已知E,F,G,H分别为空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点，若EH//FG，求证：EH//BD.解析因为EH//FG,EH匸平面BCD,FGu平面BCD,所以EH//平面BCD.又EHu平面ABD,平面ABD^平面BCD=BD,所以EH//BD.

评注线面平行的性质定理是证明线线平行的首选方法,也是高考中使用的最多的证明方法.有时结合平行传递性来证明.变式1如图8-93所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD//BC,E是DD】的中点，F是平面B^E与直线变式2（2012北京海淀区一模理16（1））如图8-94所示，在四棱锥P-ABCD中,AB//CD，设平面PAB\平图8-93二、线面平行的证明方法：线面平行的证明方法主要有两种：（1）由线线平行=线面平行，其证明途径通过平面外的直线与平面内的直线平行，推得直线与平面平行，也可以作辅助线，构造相似三角形或平行四边形，得到线线平行，从而推出线面平行；（2）由面面平行=线面平行，由已知或构造直线所在的平面与已知平面平行，证明直线与平面平行.方法1：由线线平行和线面平行的相互转化，求证线面平行.例8-26如图8-95所示，圆锥顶点为P,底面圆心为0,AB和CD是底面圆O上的两条平行弦，证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面.分析：本题是线面平行性质判定定理及性质定理的综合,即线线平行n线面平行n线线平行.解析：设平面PAB和平面PCD的交线为l.因为AB//CD,AB9平面PCD,CDu平面PCD,所以AB//平面PCD.又因为ABu平面PAB，平面PAB平面PCD=l.所以AB//l，由直线AB在底面上，l在底面外，所以有1与底面平行.图8-95变式1如图8-96所示，在三棱锥P-ABC中，E,F,分别是PA,PC的中点，记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明.方案二：平行进面法（同向进面法）思路提示：如图8-97所示，证明AB//a.分析过程：AB//auAB//CDU四边形ABCD为平行四边形uAC//BD.例&27如图8-98所示，四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，E,F分别是AB和PD的中点,求证AF//平面PCE.1解析：如图8-99所示，取PC中点为G,连接EG,FG,由F为PD的中点，则FG//CD.2

由已知有AEI/^CD,：.AE//FG，故四边形AEGF为平行四边形，因此AF//EG,2评注：通过同向进面法能有效的在平面PCE中找到与AF平行的直线，点A沿AE方向进平面于点E,点F同向沿AE进平面于点G,连接EG,构造平行四边形AEGF，只要证明EG//AF即可.变式1如图8-100所示，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，M为OA的中点，N为BC的中点，求证:直线MN//平面OCD.变式2如图8-101所示，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF//AB,AB=2EF,H为BC的中点,求证：FH//平面EDB.(:图8-101例8.28如图8-102所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E为CD的中点，在棱AA】上是否存在点P,使得APDP//平面BAE,若存在，求 的值；若不存在，说明理由.1 AA11分析:先假设存在，推理出点P的位置，再证明，根据平行进面法，点D沿着DC方向到达点E,且DE=2DC,2若存在，则点P也可沿同样方向运动且等距离进入平面B]AE,从而易猜出P为AA1中点.AP1解析：在棱AA,上存在点P使得DP//平面B/E,且 =亍证明如下：1 1AA211如图8-103所示，取AA1中点P,AB1中点Q,连接PQ,PD,QE,则在△AAB^中,PQ为中位线，即PQ//-AB.11又长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CD中点，故DE//AB//AB.1111=21=211故PQ//DE，所以四边形PQED为平行四边形，所以DP//EQ，又DP乞平面BAE，EQu平面BAE,所以DP//平面B1AE.图8-102 图8-103变式1如图8-104所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AB//CD,AB=2CD.在棱PB上是否存在点M使得CM//平面P4D?若存在，求PB的值，若不存在，请说明理由.

p图8-104变式2如图8-105所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD】中点，在棱C1D1上是否存在一点F,使得B1F//平面A1BE?证明你的结论.图8-105方法三：相交进面法(不同向进面法)思路提示：如图8-106(a)(b)所示，证明AB〃a。图8-106分析过程(1):ECEDAB〃aUAB〃CDU在三角形ABE中CA~DB分析过程(2)：EAEBAB〃aUAB〃CDU在三角形CDE中AC~BD例8.29如图8-107(a)所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点。求证：A1C〃平面AB1D.图8-10^分析：要证明线面平行，可通过线线平行n线面平行，关键是在平面内找到一条直线与已知直线平行。观察图形，易知采用相交进面法(不同向进面法)：点C进入平面AB1D到点D延长到B,连接A1B,与平面AB1D相交于点E,从而证明AIC^DE即可。解析：如图8-107(b)所示，连接A1BnAB1=E，连接DE。因为ABC-A1B1C1是三棱柱，所以四边形A1B1BA是平行四边形，故E为A1B的中点。又因为D是BC的中点，所以DE是ABA1C的中位线，所以DE^AIC。因为DEu平面AB1D，A1C①平面AB1D,所以A1C〃平面A1BD.变式1如图8-108所示，三棱锥P-ABC中，E、F、O分别为PA、PB、AC的中点，G为OC的中点。求CC变式2 (2012辽宁理18(1))如图8-109所示，在三棱柱ABC-A'B'C'中，点M、N分别为A'B和B'C'的中点。证明：MN〃平面A'ACC'变式3如图8-110所示，在四面体A-BCD中，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上,且AQ=3QC。求证：PQ〃平面BCD图8-110例8・图8-110例8・30如图8-111所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，O为AC的中点。在BC上是否存在一点E,使得OE〃解析：在BC上存在点E,使得OE〃平面A1ABB1，且E为BC】的中点，证明如下：如图8-112所示，连接BC，设BCnBC=E，连接OE。由三棱柱ABC-A1B1C1，得四边形BCCBr为平行四边形，故E为BC中点，又O为AC中点，所以OE为厶ABC的中位线，所以OE〃AB],有OE©平面AABB^，AB】u平面A1ABB1，所以OE〃平面A]ABB]。得证.变式1如图8-113所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，Q为AD的中点，点M在线段PC上,PM=tPC，试确定t的值，使PA〃平面MQB。图8-iia*j图8-iia*j方法四：由面面平行证线面平行思路提示：证明AB〃a。分析法过程：「AX||aAB〃au平面“〃a（ABu〃），（其中平面“通常为平面ABX）u\IBX11a例8.31（2012北京西城一模理17（2）改编）如图8-114所示，四边形ABCD与BDEF均为平行四边形。求证：FC〃平面EAD。分析本题利用线线平行证明线面平行很难入手，因此考虑利用面面平行的性质定理，及面面平行证明线面平行。解析因为四边形ABCD与BDEF均为平行四边形，所以BC〃AD,BF〃DE,又BCG平面EAD,AD平面EAD,故BC〃平面EAD。同理BF〃平面EAD,又BCcBF=B,BC、BFU平面FBC,所以平面FBC平面EAD。又FCU平面FBC,所以FC〃平面EAD.评注本题证明线面平行是通过面面平行证明线面平行，直接由线线平行证明线面平行较之难度大。变式1如图8-115所示，几何体E-ABCD是四棱锥，AABD为正三角形，CB=CD。若ZBCD=120。,M为线段AE的中点，求证：DM〃平面BEC。三、面面平行的证明思路提示：常用证明面面平行的方法是在一个平面内找到两条相交直线与另一个平面分别平行或找一条直线同时垂直于这两个平面。例8-32如图8-116所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，D、E、F分别为BC、BB】、AA】的中点。求证：平面B1FC〃平面EAD。ffl8-116解析因为在三棱柱ABC-A1B1C1中，D、E、F分别为BC、BB1、AA1的中点，所以AF//B1E，故四边形AFB1E是平行四边形，即AE/B1F。又AEG平面B1FC，B1FU平面B1FC,故AE〃平面B1FC①。在ABCB1中，DE是中位线，故DE/CB1,又DEQ平面B1FC，CB1U平面B1FC，故DE〃平面B1FC②。由①②及AEcDE=E，AE、DEU平面EAD,得平面B1FC〃平面EAD。评注证明面面平行关键是找到两组相交直线分别平行。变式1 （2012北京海淀二模理16（1））如图8-117所示，点C在以AB为直径的0O上，点E为线段PB的中点，点M在AB上，且OM/AC。求证：平面MOE〃平面PAC.图8-117有效训练题在空间中，下列命题中正确的是（）平行直线的平行投影重合平行于同一直线的两个平面平行垂直于同一平面的两个平面平行垂直于同一平面的两条直线平行设m、n是平面a内的两条不同直线；〈、〔是平面B内的两条相交直线，则a〃“的一个充分而不必要条件是（）A.m〃“且h/a B.m〃h且n〃'2C.m〃“且n〃“ D.m〃“且n〃'2对于平面a和共面的直线m、n下列命题中是真命题的是（）A.若m、n与a所成的角相等，则miln B.若mila,n〃a，则milnC.若m丄a,m丄n,则nila D.若mua,nia，则m〃n已知m、n为两条不同的直线，a、“为两个不同的平面，则下列命题中正确的命题是（）A.若mua，nua，m〃“，n〃“，贝Va〃“ B.若mua，nu“，a〃“，则m〃nC.若m丄a,m丄n,贝9n〃a D.若m〃n,n丄a,贝Vm丄a平面a〃平面B的一个充分条件是（）A.存在一条直线a,alia,allB B.存在一条直线a,aua,a〃B存在两条平行直线a、b,aua,buB，a〃B，bi