人教A版（2023）选修第一册1.1空间向量及其计算（含解析）

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（共22题）

一、选择题（共13题）

如图，在平行六面体中，等于

A．B．C．D．

已知向量，，且，那么

A．B．C．D．

在平行六面体中，向量，，两两的夹角均为，且，，，则等于

A．B．C．D．

如图，在三棱柱中，为的中点．若，，，则下列向量与相等的是

A．B．

C．D．

已知向量，，且与互相垂直，则实数的值是

A．B．C．D．

如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为

A．B．C．D．

如图所示，在空间四边形中，，且，则的值为

A．B．C．D．

若，，三点在同一条直线上，则

A．，B．，

C．，D．，

如图，在空间四边形中，设，分别是，的中点，则

A．B．C．D．

已知向量，则下列向量与垂直的是

A．B．C．D．

已知正四面体的棱长是，若是的中点，则

A．B．C．D．

已知中，，，点是边上的动点，点是边上的动点，则的最小值为

A．B．C．D．

如图所示，在正方体中，若为的中点，则与所成角的余弦值为

A．B．C．D．

二、填空题（共5题）

已知，，则．

已知空间中三点，，，设，．若与互相垂直，则实数．

向量，，，下列结论正确的是（填序号）．

①，；

②，；

③，．

已知点是棱长为的正方体内部一动点，且，当的值达到最小值时，与的夹角为．

在二面角中，直线，分别在两个半平面内，且都垂直于，已知，，若，则向量与所成的角为．

三、解答题（共4题）

已知空间中三点，，，设，．

(1)若，且，求向量；

(2)求向量与向量的夹角的余弦值．

如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线都等于，点，分别是，的中点，设，，为空间向量的一组基底，且，，，试用基底向量法求解以下各题．

(1)求．

(2)求异面直线与所成角的余弦值．

如图所示，在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点．

(1)证明：；

(2)求直线与所成角的余弦值．

在平面直角坐标系中，已知向量，，．

(1)若，求的值；

(2)若与的夹角为，求的值．

答案

一、选择题（共13题）

1.【答案】C

2.【答案】A

3.【答案】A

4.【答案】A

【解析】因为是的中点，

所以

故选A．

5.【答案】D

6.【答案】D

【解析】，

因为，

所以，

所以，

所以，

则的不同值的个数为个．

7.【答案】B

【解析】因为在空间四边形中，，，，

所以

所以．

8.【答案】A

【解析】因为，，三点共线，所以向量，共线．

又因为，，

所以，

解得，．

9.【答案】C

【解析】因为，，所以．

10.【答案】B

【解析】，与不垂直；

，与垂直；

，与不垂直；

，与不垂直．

故选B．

11.【答案】B

【解析】如图所示，

四面体的棱长是，是的中点，

则

12.【答案】B

【解析】建立如图所示的直角坐标系，

，，

令，，

，，

．

最小值为．

13.【答案】A

【解析】设正方体的棱长为，记，，，则，．

因为，，

所以

又因为，，

所以，

所以与所成角的余弦值为．

二、填空题（共5题）

14.【答案】

15.【答案】或

【解析】因为，，

所以，，

又，

所以，解得或．

16.【答案】③

【解析】因为，所以．

又，所以．

17.【答案】

【解析】由题意，取的中点，

则

因为，

所以点在以为球心，以为半径，且位于正方体内部的球面上（包括球面与正方体的交点），

所以．

因为，

所以，

所以与的夹角为．

18.【答案】

【解析】如图，连接，

由，知，

在等腰三角形中，，，

所以，

因为，

所以，

所以．

因为，

所以，

则向量与所成的角为．

三、解答题（共4题）

19.【答案】

(1)因为，，

所以，

因为，

所以．

所以或．

(2)因为，，

所以，

又因为，，

所以，

即向量与向量的夹角的余弦值为．

20.【答案】

(1)由题意，，，

则，且，，的夹角为，

因为，

所以．

(2)，

，

因为

因为，，

设异面直线与所成角，

则，

因此异面直线与所成角的余弦值．

21.【答案】

(1)