专题01不等式（3大重难点详细讲解）…难点及压轴题突破

第1讲——不等式（3大难点）难点1：基本不等式（1）——配凑均值不等式在高考数学中，我们经常会遇到求两个数的积的最大值，对于这类题我们需要构造不等式，利用基本不等式来求解，即【例题】（多选）已知，，且，则下列不等式一定成立的有A.C.B.D.【答案】ABD【解析】由题意，对于选项A，我们发现要求的是从和的乘积的范围，而题目中所给的是和，因此我们考虑配凑一个.∵，，且，∴，化简得出的不等式，而我们知道，即可得出的范围.∴，当且仅当时，等号成立，A正确；对于选项B，我们知道，而我们要求的是和的和的取值范围，我们发现条件是两个数字的和，让我们求的也是两个数字的和，不能使用均值不等式，那该怎么办呢？对于题目条件是两个数字和的形式，我们可以借助题目条件进行换元，我们把其中一个字母用另一个字母来表示，进而利用等式和，求出和的和的取值范围.∵，∴，∴，B正确；对于选项C，我们要求和用含的式子表达，得出只含的表达式，即可求出和的和的取值范围.∵，∴，C错误；对于选项D，我们要求的范围，分母不是单独的和和分别设为和，将求的范围转化为求的范围，将已知等式化为.而所求的是分母中含有和，已知等式中含有和，因此我们为了消去分母中的和考虑用乘法，而由于等式和是3，因此用乘法时需要乘.设，∴，∴，这样，分子和分母中都包含了和，相乘即可消掉，而基本不等式既可以转化成两数相乘，还可以求范围，因此我们考虑用基本不等式，即可求出的范围.∴，当且仅当时，∵，∴当时，等号成立，D正确.故选：ABD.【总结】在求解不等式问题的时候，我们需要注意以下几点：（1）换元法一般是将分母的式子设成两个新的未知量，然后将已知的等式化为两个未知数的等量关系，进而利用“1”的性质求解；（2）如果给出了一个含有等式，并且所求范围的式子中含有分母项，且分母中含有，就可以利用“1”的性质，使用不等式来进行计算.【变式训练1】（多选）已知正实数满足，则下列说法正确的是A.B.C.D.【答案】ACD【解析】对于，利用基本不等式，将代入，得，当且仅当时等号成立，故A正确；对于B，，当且仅当等号成立，故B错误；对于C，，当且仅当时等号成立，故C正确；对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确；故选：ACD【变式训练2】已知，则的最大值为.【答案】【解析】由题意，,当且仅当时取等号，∴的最大值为.故答案为：.难点2：基本不等式（1）——两个复杂分式求和的最小值在高考数学中，我们经常会遇到两个复杂分式求和的最小值，对于这类题我们需要通过乘以“1”的形式进行转化，而乘以的对象一般是两个分母的加和相关的形式，进而构造不等式，利用基本不等式来求解，即【例1】已知实数满足且，则的最小值为.【答案】【解析】由题意，题目给的是和范围，我们要求的是的最小值，即是求的范围，我们在上一道题中发现，对于这种分式的加和，我们一般是通过乘以“1”的形式进行转化，而乘以的对象一般是两个分母的加和相关的形式，因此我们需要先求的范围.∵，∴，即，和难点1一样，我们将和分别看成一个整体，已知的等式中含有和，我们要求的式子分母中含有和，若消去分母则需用乘法，而基本不等式既可以转化成两数相乘，还可以求范围，因此我们考虑用基本不等式，即可求出的范围.∴，∵，∴，∴，当且仅当时等号成立，∴，故答案为：.【总结】在求解不等式问题的时候，我们需要注意以下几点：（1）求和的最小值的时候，往往考虑正用基本不等式；（2）如果给出了一个含有等式，并且所求范围的式子中含有分母项，且分母中含有，就可以利用“1”的性质，使用不等式来进行计算.【变式训练】若，且，则的最小值为.【答案】【解析】由题意，∵∴，，∴，∴，即，∴当且仅当，即，解得时取等号，∴难点3：三个及以上正数的算术——几何平均不等式在高考数学中，我们遇到的不等式证明题往往是两个数以上的，对于两个数以上的这类不等式证明，如何配凑是解决此类问题的难点。对于此类问题，我们常常用推导的基本不等式，即几何平均不等式来求解，我们有如下定理。定理如果，那么当且仅当时，等号成立。这个不等式可以表述为：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。事实上，基本不等式可以推广到一般的情形：对于个正数，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即当且仅当时，等号成立。【例题】已知为正数，且满足.证明：（1）；（2）.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）第一步：对于3个数的和，左边是加法，右边却是三个数相乘的形式。那么如何从加法变成乘法呢？在我们所学过的知识中，只有基本不等式是将加法和乘法联系起来的，而基本不等式是两个数相加，这里是三个数，因此我们想到用推导的基本不等式（几何平均不等式）求范围∵（当且仅当时取等号）∴，解得：（当且仅当时取等号）我们得出是三个数的乘积，而题目中所给的是三个数两两相乘后的相加，而三个数相乘后恰好含有三个数两两相乘，又是左边加法右边乘积的形式，继续使用推导的基本不等式（几何平均不等式）.第二步：将三个乘积看成是三个数相加，继续使用几何平均不等式。∵且∴（当且仅当时取等号）（2）我们发现给出的等式中右边是，要证明的不等式右边是3，我们想到可能是左边的分母的原因消掉了，如果要消掉，就需要每个分母中至少含有其中两个.第一步：分别两两利用基本不等求出范围，并相加.∵（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号），∴∴，第二步：我们得出每个分母含有其中两个数字后，通分即可得到分子是包含项的，利用三个乘积的倒数和为1，即可证明不等式.∵，∴（当且仅当时取等号）【总结】使用几何平均不等式的时候，不同公式的选取取决于我们的“目的”（1）如果在含有的式子中想构造多项乘积，就可以直接使用集合平均不