几何五大模型

五大模型一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。如上图S1:S2=a:b⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图S△.CD=S△BCD反之，如果S=S，则可知直线.B平行于CD。⑷正方形的面积等字对角b线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点（如图1）或D在BA的延长线上，E在AC上（如

图2)，则S图2)，则S^AB。：S^ADE=(ABxAC):(ADxAE)三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）：①S1:S2=S4:S3或者S1xS3=S2xS4②AO:OC=（S1+S2）:（S4+S3）蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径•通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）S:梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）S:S=a2:b2S:S:S:S=a2:b2:ab:ab；③梯形S的对应份数为（a+b）2。四、相似模型相似三角形性质：)BGCBGC金字塔模型沙漏模型BGCBGCADAEDEAF.^① 一一一;ABACBCAG②S :S =AF2:AG2。所除的泪似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。AB E五、燕尾定理模型AB E7b货217b货21平方厘米。问：长方形的面积是 Q例2如图，三角形田地中有两条小路AE和CF，=2DE。则两块地ACF和CFB的面积比是一 平方厘米。例1图交叉处为D，大伯常走这两条小路，他知道DF=DC，且AD。例1一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的0.15倍，黄色三角形的面积是Saabg:SyS—s*BE:ECSABGA：SABGC=SAAGF:G=AF：FCSAAGC:SABCG=SAADG:SADGB=AD；DB典型例题精讲

【举一反三】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示，三个三角形的面积分别是3，7,7,则阴影四边形的面积是多少？举一反三图【拓展】如图，已知长方形ADEF的面积16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，那么三角形ABC的面积是多少？D8E拓展图3如图，将三角形ABC的AB边延长1倍至^D，BC边延长2倍至^E，CA边延长3倍至IF。如果三角形ABC步的面积等于1，那么三角形DEF的面积是。

I)例3I)例3图【拓展】如图，在AABC中，延长AB至D，使BD=AB,延长BC至E，使CE1BC，F是AC的中点，若△2ABC的面积是2，则4DEF的面积是多少？拓展图拓展图例4如图，在4ABC中，已知M、N分别在边AC、BC上，BM与AN相交于0,若^AOM^△ABO和^BON的面1V七夕积分别是3、2、1，则AMNC的面积是。例4例4图【秒杀题】四边形ABCD的对角线八，与BD交于点0（如图所示）。如果三角形ABD的面积等于三角形BCD1的面积的3，且A0=2，D0=3,那么CO的长度是DO的长度的倍。

1)秒杀题图例5图右图长方形ABCD中，1)秒杀题图例5图右图长方形ABCD中，EF=16，F=9，求人6的长。例6图【铺垫】图中四边形ABCD是边长为12cm的正方形，从G到正方形顶点，、口连成一个三角形，已知这个三角形在AB上截得的EF长度为4cm，那么三角形GDC的面积是多少？

例7图尸例7图例8如右图，三角形ABC中，BD：DC=4：9，CE：EA=4：3,求AF：FB。例8图【拓展】如图，三角形ABC的面积是1，BD=DE=EC，CF=FG=GA，三角形ABC被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少？BdE拓展图例9如右图，4ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，人口与86交于M，AF与BG交于N，

已知△ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，则4ABC的面积是多少平方厘米？

BDEFC例9图例10如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC与CD上，