通关练01 空间向量的运算及应用11考点精练（原卷版）

通关练01空间向量的运算及应用11考点精练eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,关)eq\o\ac(○,练)一、空间向量的有关概念1．（2023·全国·高一专题练习）下列关于空间向量的命题中，正确的序号是.①若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②是向量的必要非充分条件；③向量、相等的充要条件是④若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件.2．（2023秋·高一单元测试）给出下列命题：①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量满足，，则；⑤空间中任意两个单位向量必相等；其中假命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2022秋·山东济南·高二校考期中）下列关于空间向量的说法中正确的是（

）A．方向相反的两个向量是相反向量B．空间中任意两个单位向量必相等C．若向量满足，则D．相等向量其方向必相同4．【多选】（2023春·广东惠州·高一校联考阶段练习）下列命题正确的是（

）A．空间中所有的单位向量都相等B．若，则C．若，满足，且，同向，则D．对于任意向量，，必有5．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在长方体中，，，，，分别是，的中点，则在以八个顶点中的两个分别为起点和终点的向量中：（1）的相等向量是；（2）的相反向量是；（3）的共线向量（平行向量）为；（4）模为的向量是；（5）向量，，（填“共面”或“不共面”）.二、空间向量的线性运算6．（2021秋·高二课时练习）已知平行六面体，则下列四式中：①；②；③；④．正确的是．7．（2021秋·高二课时练习）若，其中，，为已知向量，则未知向量.8．（2022秋·高二课时练习）已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，M，N分别是BC，CD的中点，如图所示，则（

）A． B．C． D．9．（2023春·高二单元测试）若为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（

）A．B．C．D．10．（2023秋·高二课时练习）在正六棱柱中，化简，并在图中标出化简结果．

11．（2021秋·高二课时练习）如图，已知长方体，试在图中画出下列向量表达式所表示的向量．(1)，；

(2)，．

12．（2022春·高一校考课时练习）在正方体中，已知下列各式：①；②；③；④，其中运算的结果为的有（

）A．个 B．个 C．个 D．个三、空间向量的坐标运算13．（2022秋·新疆伊犁·高二统考期末）在空间直角坐标系中，已知，，则．14．（2021秋·辽宁丹东·高二校考阶段练习）若向量，向量，则（

）A． B．C． D．15．（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）已知点，，向量，则点的坐标为．16．（2022·高二课时练习）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为．17．（2022·高二课时练习）已知空间三点，，，若直线上一点，满足，则点的坐标为．18．（2022秋·高二课时练习）的三个顶点坐标为，试证明是直角三角形.19．（2023春·福建宁德·高二统考期末）已知空间直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，则边上中线的长度为．20．【多选】（2023春·江西宜春·高二灰埠中学校考期末）已知向量，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．四、空间向量基本定理及其应用21．（2023春·海南海口·高一海南中学校考期末）若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的一个基底的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，22．（2023秋·云南大理·高二统考期末）若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（

）A． B． C． D．23．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）在三棱锥P-ABC中，点O为△ABC的重心，点D，E，F分别为侧棱PA，PB，PC的中点，若，，，则=（

）A． B． C． D．24．（2023·全国·高二专题练习）如图，在平行六面体中，P是的中点，点Q在上，且，设，，．则（

）

A． B．C． D．25．（2023春·安徽滁州·高二统考期末）在四面体中，是的中点，是的中点．设，，，则（

）A． B． C． D．26．（2022秋·广西百色·高二统考期末）在正四面体中，，，，为中点，为靠近的三等分点，用向量，，表示（

）A． B．C． D．27．（2023春·甘肃临夏·高二统考期末）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（

）

A．1 B．2C． D．28．（2023春·甘肃兰州·高二兰州一中校考期末）已知矩形为平面外一点，平面，点满足，．若，则（

）A． B．1 C． D．五、空间向量的共线问题29．（2023·全国·高一专题练习）若空间非零向量不共线，则使与共线的k的值为．30．（2022秋·天津武清·高二校联考阶段练习）若空间向量不共线，且，则xy＝（

）A．1 B．2 C．4 D．631．（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知，，且，则（

）A． B．2 C．4 D．632．（2021秋·高二课时练习）若，且为共线向量，则的值为（

）A．7 B．C．6 D．833．（2022·高二课时练习）向量与非零向量平行的充要条件是（

）A． B．C．存在实数k，使 D．存在实数k，使34．（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）在空间直角坐标系Oxyz中，，，，若四边形OABC为平行四边形，则．35．（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则（

）A．1 B．2 C．3 D．436．【多选】（2023春·高二课时练习）如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（）A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上37．（2023春·高一课时练习）如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，E是棱PD上的点，且，若，且满足平面ACE，则（

）

A． B． C． D．六、空间向量的共面问题38．（2023秋·广东深圳·高二统考期末）若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的为（

）A．，， B．，，C．，， D．，，39．（2023春·辽宁鞍山·高二校联考阶段练习）在下列条件中，能使与，，一定共面的是（

）A． B．C． D．40．（2023秋·高一单元测试）下列条件能使点与点一定共面的是（

）A．B．C．D．41．【多选】（2022秋·高二单元测试）下列各组向量中共面的有（）A．=（1，2，3），=（3，0，2），=（4，2，5）B．=（1，2，-1），=（0，2，-4），=（0，-1，2）C．=（1，1，0），=（1，0，1），=（0，1，-1）D．=（1，1，1），=（1，1，0），=（1，0，1）42．（2023秋·河北邢台·高二邢台市第二中学校考期末）已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则m=.43．（2023秋·辽宁丹东·高二统考期末）已知空间向量，，若，，，共面，则实数的值为（

）A． B．6 C． D．1244．（2023春·福建莆田·高二统考期末）若点平面，且对空间内任意一点满足，则的值是（

）A． B． C． D．45．（2022·高二课时练习）在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则．46．（2023秋·江西南昌·高二南昌市外国语学校校考期末）已知点D在确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，实数x，y满足，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．247．（2023春·上海闵行·高二上海市七宝中学校考开学考试）已知是空间中不共线的三个点，若点满足，则下列说法正确的一项是（

）A．点是唯一的，且一定与共面B．点不唯一，但一定与共面C．点是唯一的，但不一定与共面D．点不唯一，也不一定与共面七、空间向量的数量积问题48．（2022·高二课时练习）如图，已知正方体，设，，，则（

）.A． B． C． D．49．（2021秋·辽宁丹东·高二校考阶段练习）若，，，则的值为．50．（2023春·甘肃定西·高二甘肃省临洮中学校考阶段练习）已知向量，，，则2x－y＝（

）A．1 B．－1 C．2 D．－251．（2022·高二课时练习）如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（

）

A． B．C． D．52．（2023春·陕西西安·高一长安一中校考期末）在正三棱锥中，是的中心，，则等于（

）A． B． C． D．53．（2023春·安徽六安·高一六安一中校考期末）平行六面体中，，，，动点在直线上运动，则的最小值为．54．（2023·江苏·高二专题练习）在三棱锥中，为的中点，则等于（

）A．-1 B．0 C．1 D．355．（2023春·高二课时练习）如图，各棱长都为的四面体中，，则向量（

）A． B． C． D．56．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考期末）如图，在四面体中，，，，.则（

）

A． B． C． D．57．（2022秋·河南·高二校联考阶段练习）如图，在正四棱柱中，，，，，分别是所在棱的中点，则（

）A．4 B．8 C．12 D．1658．（2023秋·安徽蚌埠·高二统考期末）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体､正六面体､正八面体､正十二面体､正二十面体.已知一个正八面体的棱长都是2（如图），分别为棱的中点，则.

八、空间向量的投影向量问题59．（2022秋·山东青岛·高二山东省青岛第一中学校考期中）已知，，则在上的投影向量为（用坐标表示）60．（2023秋·广东惠州·高二统考期末）已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（

）A． B． C． D．61．（2021秋·山东聊城·高二山东聊城一中校考期中）已知向量，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B．C． D．62．（2021秋·北京·高二对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）校考阶段练习）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影的模为.63．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄市第四十一中学校考阶段练习）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影的数量为（

）A．2 B． C． D．64．（2023春·高二课时练习）已知，为空间单位向量，，则在方向上投影的模为．65．（2022·高二课时练习）如图所示，在正六棱柱中，，则向量分别在，方向上的投影向量为；向量在方向上的投影数量为．66．（2023春·高二课时练习）四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．67．（2023春·广西梧州·高二校考阶段练习）已知向量，，则在方向上的投影为．68．（2023春·高二课时练习）如图，已知正方体的棱长为1，为棱上的动点，则向量在向量方向上的投影数量的取值范围为．九、空间向量的垂直问题69．（2022春·高一单元测试）已知空间向量，若，则.70．（2023春·福建莆田·高二莆田华侨中学校考期末）已知向量，若，则实数.71．（2022春·高一单元测试）已知，若向量，，，则.72．（2022·高二课时练习）在空间直角坐标系中，点，，，点在坐标平面内．若平面，则点的坐标为（

）A． B． C． D．73．（2023春·江西九江·高二校考期末）已知，，若，，且平面，则．74．（2022秋·浙江·高二於潜中学校联考期中）在如图所示的平行六面体中，已知，，，N为上一点，且，若，则（

）A． B． C． D．75．（2022秋·重庆九龙坡·高二重庆实验外国语学校校考期末）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的菱形，，(1)求线段的长；(2)求证：．76．（2019·北京·高三强基计划）已知空间有A，B，C，D四个点，满足，空间中还有四点，满足，求证：．十、空间向量的模长问题77．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知向量，若与垂直，则（

）.A． B． C． D．78．（2023春·甘肃临夏·高二统考期末）在空间直角坐标系中，若，，且，则（

）A． B．C． D．79．（2022秋·高二单元测试）已知向量，则（）A． B．4 C．5 D．80．（2023·全国·高一专题练习）已知正四面体的棱长为，若、分别是、的中点，则线段的长为（

）A．2 B．C． D．81．（2023春·福建宁德·高二校联考期中）如图，在平行六面体中，，，，，E为中点，则AE的长为（

）

A． B． C． D．82．（2023春·山西大同·高二校考期末）平行六面体的所有棱长均为1，，则的长度为（

）A． B． C． D．83．（2023春·福建宁德·高二统考期末）如图，60°的二面角的棱上有、两点，射线、分别在两个半平面内，且都垂直于棱．若，，．则的长度为．

84．（2023·江苏·高二专题练习）已知平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是，则.85．（2023春·甘肃定西·高二甘肃省临洮中学校考阶段练习）已知，若，，那么的最小值为．86．（2023春·陕西安康·高二校联考期末）已知空间向量，，两两夹角均为，其模均为1，则