2021年九年级中考数学小突破训练：轴对称最短路径问题（附答案）

2021年九年级中考数学小专题复习：轴对称最短路径问题（附答案）

1.如图，点P是NAOB内任意一点，OP=5c/n,点M和点N分别是射线04和射线08上

的动点，△PMN周长的最小值是5cm,则NA0B的度数是（）

C.35°D.40°

2.如图，四边形A8CD中，/C=50°,N8=NZ）=90°,E、F分别是BC、0c上的点,

当△人£尸的周长最小时，NEA尸的度数为（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

3.如图，等腰三角形48C的底边8c长为4,面积是16,腰AC的垂直平分线EF分别交

AC,AB边于E,尸点.若点。为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CQM

周长的最小值为（）

A.6B.8C.10D.12

4.如图，在△A8C中，A8=AC,AD,CE是△ABC的两条中线，尸是AD上一个动点，则

下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（）

A

C.ADD.AC

5.如图，在RtZVVBC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,A。是NB4C的平分线.若P,

。分别是A。和AC上的动点，则PC+P。的最小值是（）

「

24D.5

5

6.如图，在矩形ABCD中，AB=5,AO=3,动点P满足S△附8=工$矩形ABCD，贝U点。至I」A、

3

B两点距离之和PA+PB的最小值为（）

B.V34C.572D.741

7.如图，在四边形48CD中，/区4。=130°,/8=/。=90°,点E,F分别是线段BC,

0c上的动点.当△4EF的周长最小时，则/E4B的度数为（）

A.90°B.80°C.70°D.60°

8.如图，在锐角三角形ABC中，AB=4,△ABC的面积为8,8。平分NABC.若M、N分

别是BQ、8c上的动点，则CM+MN的最小值是（）

C.6D.8

9.如图所示，正方形48C。的面积为12,△ABE是等边三角形，点E在正方形A8C。内,

在对角线AC上有一点P,使PO+PE的和最小，则这个最小值为（）

A.273B.276C.3D.76

10.如图，在△A8C中，AB=AC,8c=4,△A8C的面积是16,AC的垂直平分线EF分

别交AC,A8边于E,F点,若点。为8C边的中点，点M为线段EF上一动点，则4

C£>M周长的最小值为（）

A.6B.8C.10D.12

11.如图，在平面直角坐标系中，Rt^OAB的顶点A在x轴的正半轴上.顶点B的坐标为

（3,«）,点C的坐标为（」，0）,点P为斜边08上的一个动点，则以+PC的最小

2

值为（)

AV13RV31rr-

222

12.如图，正方形ABCD的边长为8,M在0c上，且OM=2,N是AC上一动点，则。N+MN

的最小值为（）

A.6B.8C.12D.10

13.如图，在正方形A8CD中，AB=8,AC与BO交于点0,N是A。的中点，点M在BC

边上，且8M=6.尸为对角线BO上一点，则PM-PN的最大值为.

14.如图，在锐角△ABC中，AB=40，NBAC=45°,NBAC的平分线交BC于点。，例、

N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是.

15.如图，在边长为1的菱形ABC。中，ZABC=60°,将△AS。沿射线8。的方向平移得

到△AE。，分别连接月'C,A'D,B'C,则4'C+B'C的最小值为

16.如图，已知正方形ABC。的边长是4,点E是48边上一动点，连接CE,过点B作BG

LCE于点G,点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为.

17.如图，RtZ\A8C中，ZBAC=90Q,AB=3,AC=6圾，点£>,E分别是边8C,AC上

的动点，则DA+DE的最小值为.

18.如图所示，正方形ABCC的面积为12,△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内,

在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小，则这个最小值为.

19.如图所示，已知点C(l,0),直线y=-x+7与两坐标轴分别交于A,B两点，D,E

分别是A8,0A上的动点，则△COE周长的最小值是

20.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是16,腰AC的垂直平分线EF分别交

AC,AB边于E,F点,若点。为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CQM

周长的最小值为.

21.如图，菱形中，NA=60°,A8=3,。4、的半径分别为2和1,P、E、F

分别是边C。、0A和08上的动点，则PE+PF的最小值是.

22.如图，菱形ABCO的两条对角线分别长6和8,点尸是对角线AC上的一个动点，点〃、

N分别是边A3、8c的中点，则PM+PN的最小值是

23.在锐角三角形A8C中，8。=孰历，NABC=45°,8。平分/ABC,M、N分别是80、

BC上的动点，则CM+MN的最小值是

D

24.已知菱形A8C£＞的两条对角线分别为6和8,M、N分别是边BC、CC的中点，P是对

角线BD上一点，则PM+PN的最小值=.

25.如图，在矩形ABCD中，AB—4,AD—3,矩形内部有一动点P满足—5矩形ABCD，

3

则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为.

26.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2,3),点8(-2,1),在x轴上存在点P到

A,B两点的距离之和最小，则尸点的坐标是.

27.(1)如图1,在A8直线一侧C、。两点，在48上找一点P,使C、。、P三点组成的

三角形的周长最短，找出此点并说明理由.

(2)如图2,在NA08内部有一点P,是否在。4、0B上分别存在点E、F,使得E、F、

P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由.

(3)如图3,在/AOB内部有两点M、N,是否在OA、0B上分别存在点E、F,使得E、

F、M、N,四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点,并说明理由.

D

C.

I-------------------B

图1

28.己知：如图所示,

(1)作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C,并写出△/!'B'C三个顶点的坐标.

(2)在x轴上画出点P,使P4+PC最小.

29.如图已知E尸〃GH,4C_LEF于点C,BDLEF于点、D交HG于点、K.AC=3,DK=2,

BK=4.

(1)若CZ)=6,点M是CO上一点，当点M到点A和点B的距离相等时，求CM的长；

(2)若8=孕，点P是HG上一点，点Q是EF上一点,连接AP,PQ,QB,求AP+PQ+QB

的最小值.

G---------------------------CK-----H

B

30.如图，C为线段8。上一动点，分别过点8、。作ABJ.BO,EDLBD,连接AC、EC.已

知AB=2,DE=1,80=8,设CO=x.

(1)用含x的代数式表示AC+CE的长；

(2)请问点C满足什么条件时，4C+CE的值最小；

(3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式抒%T(12七)2+9的最小值・

31.如图，C为线段BO上的一个动点，分别过点B,。作EDLBD,连结AC,

EC.已知AB=5,DE=\,BD=8,设CC=x.

(1)用含x的代数式表示AC+CE的长；

(2)请问：点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？求出这个最小值.

(3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式疗%W(12-x)2+9的最小值・

32.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1)、B.(4,2)、C(3,4).

(1)若△AiBiG与△ABC关于y轴成轴对称，则△A/|Ci三个顶点坐标分别为:

A\,B],C\；

(2)若P为x轴上一点，则PA+PB的最小值为

(3)计算AABC的面积.

33.如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4,/8C£>=15°,P为C。上的动点,

则|相-P引的最大值为

34.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1,网格中有一个格点△ABC(即三

角形的顶点都在格点上).

(1)△ABC的面积为；

(2)在图中作出△A8C关于直线MN的对称图形AA'B'C.

(3)利用网格纸，在MN上找一点P,使得P8+PC的距离最短.(保留痕迹)

问题：如图1,点A,8在直线/的同侧，在直线/上找一点P,使得AP+8尸的值最小.

小明的思路是：如图2所示，先作点A关于直线/的对称点A',使点A',B分别位于

直线/的两侧，再连接A'B,根据“两点之间线段最短"可知A'B与直线1的交点P

即为所求.

请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：

(1)如图3,在图2的基础上，设A4与直线/的交点为C,过点B作BDA.I,垂足为D.若

CP=l,AC=1,PD=2,直接写出AP+2P的值；

(2)将(1)中的条件“AC=1”去掉，换成"8/)=4-AC"，其它条件不变，直接写出

此时AP+BP的值；

(3)请结合图形，求3血-3)2+12+4的最小值・

36.在aABC中，AB=AC,点D是直线8c上一点(不与B、C重合)，以AD为一边在

AO的右侧作△A£)£；,使4O=AE,ZDA£=ZBAC,连接CE.

(1)如图①，若NAQE=60°,AB=AC=2,点。在线段BC上，

①ZBCE和/BAC之间是有怎样的数量关系？不必说明理由；

②当四边形AOCE的周长取最小值时，直接写出8。的长；

(2)若NR4CW60。，当点。在射线BC上移动，如图②，则NBCE和/8AC之间有

怎样的数量关系？并说明理由.

BD

图①图②

参考答案

1.如图，点尸是/AOB内任意一点，0P=5an,点”和点N分别是射线0A和射线08上

的动点，△「加7周长的最小值是5C772,则NA08的度数是（）

A.25°B.30°C.35°D.40°

解：分别作点尸关于OA、OB的对称点C、D,连接C。，

分别交。4、OB于点M、N,连接OC、OD、PM、PN、MN,如图所示：

点P关于OA的对称点为D,关于OB的对称点为C,

：.PM=DM,OP=OD,ZDOA^ZPOA；

•点P关于OB的对称点为C,

：.PN=CN,OP=OC,ZCOB=ZPOB,

：.OC=OP=OD,ZAOB^—ZCOD,

2

•.•△PMN周长的最小值是5cm,

：.PM+PN+MN=5,

：.DM+CN+MN=5,

即CD=5=OP,

：.OC=OD=CD,

即△OC。是等边三角形，

：.ZCOD=60),,

AZAOB=30°；

故选：B.

2.如图，四边形ABC。中,ZC=50°,N8=NO=90°,E、/分别是3。、0c上的点,

当历的周长最小时，NEAb的度数为（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

解：作A关于8c和CQ的对称点A',A",连接A'A",交BC于E,交CO于尸,

则A'A"即为产的周长最小值.作。A延长线AH,

VZC=50°,

：.ZDAB=130°,

：.ZHAAr=50°,

ZAAfE+NA"=ZHAAf=50°，

■:乙ENA=ZEAA,,ZFAD=ZAr,

：.ZEAA'+NA"AF=50°,

：.ZEAF=\30Q-50°=80°,

故选：D.

3.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是16,腰AC的垂直平分线EF分别交

AC,AB边于E,尸点.若点。为BC边的中点，点M为线段上一动点，则△COM

周长的最小值为()

A.6B.8C.10D.12

解：连接AQ,

「△ABC是等腰三角形，点。是BC边的中点，

J.ADLBC,

-,.S^ABC=—BC-AD=^X4XAD=}6,解得AD=S,

22

•••EF是线段AC的垂直平分线，

/.点C关于直线EF的对称点为点A,

：.AD的长为CM+MD的最小值，

.♦.△CDM的周长最短=(CM+MD)+CD=AO+2BC=8+』X4=8+2=10.

22

故选：C.

B

4.如图，在△ABC中，AB=AC,AD.CE是△ABC的两条中线，尸是40上一个动点，则

下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（）

A.BCB.CEC.ADD.AC

解：如图连接PC,

*：AB=AC,BD=CD,

：.AD.LBCf

：.PB=PC,

:・PB+PE=PC+PE,

■;PE+PC2CE,

・・・P、C、E共线时，P8+PE的值最小，最小值为CE的长度，

故选：B.

5.如图，在RtZVIBC中，ZACB=90°,AC=6,8c=8,4。是N84C的平分线.若P,

。分别是和AC上的动点，则PC+P。的最小值是（）

D

a

4匕----------------------------------------------------

A.—B.4C.建D.5

55

解：如图，过点C作CM_LAB交A8于点M,交AO于点P,过点尸作PQLAC于点Q,

力是/BAC的平分线.

：.PQ=PM,这时PC+P。有最小值，即CM的长度，

：AC=6,BC=8,乙4cB=90°,

/MS=VAC2+BC2=V62+82=1°-

••,SAABC=』AB・CM=1AC・8C,

22

.»AOBC6X824

AB105

即PC+PQ的最小值为2M

5

故选：c.

6.如图，在矩形ABC。中，AB=5,AD=3,动点P满足S△用B=1S矩形ABCD，则点P到A、

3

B两点距离之和PA+PB的最小值为（)

D

A.V29B.V34C.572D.V41

解：设AABP中AB边上的高是正

,**s△HB=/S矩形ABCD，

：.^AB'h=^AB'AD,

23

.•./Z=2A/)=2,

3

.••动点尸在与AB平行且与AB的距离是2的直线/上，如图，作A关于直线/的对称点

E,连接AE,连接BE,则BE的长就是所求的最短距离.

在RtzMBE中，'：AB=5,AE=2+2=4,

BE=Y必2+比2=寸52+42=病,

即PA+PB的最小值为

故选：D.

7.如图，在四边形48c。中，ZBAD=130°,NB=ND=90：点E,尸分别是线段BC,

DC匕的动点.当△AEF的周长最小时，则NEAF的度数为()

D

A.90°B.80°C.70°D.60°

解：作A关于BC和CO的对称点A',A〃，连接A'A",交BC于E,交CO于产,

则A'A,f即为△AE/7的周长最小值.作DA延长线A",

VZDAB=130°,

：.ZHAAf=50°,

AZAA1E+ZA,f=ZHAAf=50°,

,:4EA'A=ZEAAf,/熟D=NA”,

：.ZEAA'+NA"AF=50°,

・・.NE4尸=130°-50°=80°,

故选:B.

8.如图，在锐角三角形A5C中，AB=4,△ABC的面积为8,BD平分NABC.若M、N分

别是8。、8c上的动点，则CM+MN的最小值是（）

A.2B.4C.6D.8

解：过点C作CEJ_A8于点E,交8。于点M',过点例作MN'J_BC于N',

平分/ABC,M'E_L4B于点E,M'N'_LBC于N

：.M'N'=M'E,

：.CE=CM'+M'E

二当点例与M'重合，点N与N'重合时，CM+MN的最小值.

•.•三角形ABC的面积为8,AB=4,

.-.AX4*CE=8,

2

：.CE=4.

即CM+MN的最小值为4.

故选：B.

9.如图所示，正方形ABC。的面积为12,AABE是等边三角形，点E在正方形A8CQ内,

在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）

S：

A.2A/3B.2娓C.3D.遍

解：设BE与AC交于点尸（P'）,连接3D,

:点8与。关于AC对称,

：.P'D=P'B,

：.P'D+P'E=P'B+P'E=8E最小.

即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度;

:正方形ABC。的面积为12,

:.AB=2«.

又「△ABE是等边三角形,

：.BE=AB=2y/3-

故所求最小值为2a.

故选:A.

10.如图，在△4BC中，AB=AC,BC=4,△ABC的面积是16,AC的垂直平分线E尸分

别交AC,A8边于E,尸点，若点。为BC边的中点，点历为线段EF上一动点，则4

CDM周长的最小值为（）

A.6B.8C.10D.12

解：连接A。，AM.

「△ABC是等腰三角形，点。是BC边的中点,

：.ADLBC,

•'•5AABC=—fiCMD=Ax4XAD=16,解得40=8,

22

•••EF是线段AC的垂直平分线，

点C关于直线EF的对称点为点A,

：.MA=MC,

'：AD^：AM+MD,

：.AD的长为CM+MD的最小值,

...△CCM的周长最短=(CM+MD)+CD=A£)+LBC=8+2X4=8+2=10.

22

11.如图，在平面直角坐标系中，RtaOAB的顶点A在x轴的正半轴上.顶点B的坐标为

（3,«）,点C的坐标为（/,0）,点P为斜边上的一个动点，则勿+PC的最小

值为（）

L.-------D.277

2

解：法一:

作A关于。8的对称点力，连接CD交。8于P,连接AP,过D作DNLOA于N,

则此时必+PC的值最小,

"：DP=PA,

：.PA+PC^PD+PC=CD,

•:B(3,遍)，

:.AB=M，0A=3,ZB=60",由勾股定理得：0B=2我,

由三角形面积公式得：—XOAXAB=^XOBXAM,

22

.•.AM=旦，

2

；.AZ)=2义g=3,

2

VZAMB=90°,ZB=60°,

：.ZBAM=30Q,

；/84。=90°,

.\ZOAM=()0°,

■:DNLOA,

：.ZNDA=30°,

；,AN=^AD=^-,由勾股定理得：DN=3M，

222

vc(A,o),

2

；.CN=3-2-2=1,

22

在RtZ\ONC中，由勾股定理得：%=出+(3«)2=^-

即附+PC的最小值是义过,

2

法二：

如图，作点C关于08的对称点。，连接A。，过点。作。ML0A于M.

0A=3

AZAOB=30Q,

ZDOC=2ZAOB=60°

OC=OD

.•.△0C£>是等边三角形

，£>M=CO・sin60°=®,OM=CM=CD-cos600=—

44

.".AM=0A-0M=3-

44

;MD=VDM2+AM2=^P

即B4+PC的最小值为迄

2

故选：B.

12.如图，正方形ABCD的边长为8,M在。C上，且DM=2,N是AC上一动点，则DN+MN

的最小值为（）

A.6B.8C.12D.10

解：如图，连接

点8和点。关于直线AC对称，

:.NB=ND,

则BM就是DN+MN的最小值，

•.,正方形A8CQ的边长是8,DM=2,

：.CM=C>,

.♦.DV+MN的最小值是10.

故选：D.

13.如图，在正方形ABC。中，AB=8,AC与8。交于点。，N是A。的中点，点例在BC

边上，且8M=6.P为对角线8。上一点，则PM-PN的最大值为2

解：如图所示，以80为对称轴作N的对称点N,连接尸乂，延长PN'交BC于M,

根据轴对称性质可知，PN=PN,

：.PM-PN=PM-PNWMN,

当P,M,M三点共线时，取“=”，

♦.•正方形边长为8,

'•AC—yf^AB—8A/21

为AC中点，

：.AO=OC=442'

•:N为0A中点，

：.0N=2&,

：.0N=CM=2&,

；.AM=6>/2.

•：BM=6,

：.CM=AB-BM=8-6=2,

•CM-CNy_1

"BMAN，T

：.PM//AB//CD,NCMN=90°,

；NNCM=45°,

.•.△MCM为等腰直角三角形,

:.CM=MN=2,

即PM-PN的最大值为2,

故答案为：2.

14.如图，在锐角△ABC中，AB=，M，ZBAC=45°,NBAC的平分线交BC于点O,M、

N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是4.

解：如图，在4C上截取AE=AN,连接BE.

,：ABAC的平分线交BC于点D,

；.NEAM=NNAM,

，AE=AN

在与△AMN中，，NEAM=/NAM，

AM=AM

(SAS),

:.ME=MN.

：.BM+MN=BM+ME2BE.

:BM+MN有最小值.

当8E是点B到直线AC的距离时，BE1AC,

又AB=4®NBAC=45°,此时，为等腰直角三角形,

：.BE=4,

即BE取最小值为4,

...BM+MV的最小值是4.

故答案为：4.

15.如图，在边长为I的菱形4BCD中，N4BC=60°,将△AB。沿射线8力的方向平移得

到△WB77,分别连接AC,A'D,B'C,则AC+B'C的最小值为—

解：：在边长为1的菱形A8CD中，NA8C=60°,

：.AB=CD=l,ZABD=30°,

•.•将△ABO沿射线BD的方向平移得到△A'B'O,

B1=AB=\,A'B1//AB,

・・•四边形ABC。是菱形,

：.AB=CD,AB//CD,

・・・NBAQ=120°,

・・・4'B'=CD,AfB'//CD,

・・.四边形A'BfCO是平行四边形，

・・・A'D=B'C,

・・・AC+8C的最小值=A'C+A'。的最小值，

•・•点A'在过点A且平行于的定直线上，

，作点。关于定直线的对称点E,连接CE交定直线于4',

则CE的长度即为HC+8C的最小值，

VZAfAD=ZADB=30°,AD=1,

AZADE=60°，DH=EH=—AD=—f

22

：.DE=1,

：.DE=CDf

/CDE=NEDB'+ZCDB=900+30°=120°,

；・NE=NDCE=30°,

：.CE=2X唱8=西

故答案为：

16.如图，已知正方形A5CO的边长是4,点E是A3边上一动点，连接CE,过点3作BG

_LCE于点G,点P是48边上另一动点，则PD+PG的最小值为，任-2_.

D

解：如图:

取点力关于直线AB的对称点£>'.以8c中点。为圆心，0B为半径画半圆.

连接0。'交4B于点P,交半圆。于点G,连8G.连CG并延长交AB于点E.

由以上作图可知，BG_LEC于G.

PD+PG=PD'+PG=D'G

由两点之间线段最短可知，此时PD+PG最小.

,:D'C=4,0C=6

:'D'O=V42+62=2V13

：.D'G-2V13-2

：.PD+PG的最小值为2任-2

故答案为：2后-2

17.如图，RtAuABC中，ZBAC=90°,48=3,AC=6®,点D,E分别是边BC,AC上

的动点，则。A+DE的最小值为西.

一3一

解：作A关于BC的对称点4,连接4T,交BC于F,过A'作A'ELAC于E,交BC于

D,则40=4。，此时AO+DE的值最小，就是WE的长；

「△ABC中，ZBAC=90°,AB=3,AC=6加，

S/,ABC=—AB-AC=^BC-AF,

22

；.3X672=9AF,

AF=2,\f2,

.•.AY=2AF=4&,

VZA'FD=ZDEC=90°,ZA'DF=ZCDE,

.,.NA=NC,

；NAE4'=NBAC=90°,

.•.△AEA'S/\8AC,

•.•AA',二BC,

A'EAC

.研__9

.•.AE=3

3

即AD+DE的最小值是生;

3

故答案为：

3

18.如图所示，正方形ABCC的面积为12,AABE是等边三角形，点E在正方形ABC。内,

在对角线AC上有一点P,使尸D+PE的和最小，则这个最小值为，

解：连接BD,与AC交于点F.

•.•点8与。关于AC对称，

:.PD=PB,

：.PD+PE=PB+PE=BE最小.

•.•正方形ABC。的面积为12,

；.48=2«.

又是等边三角形,

:.BE=AB=2g

故所求最小值为2M.

故答案为：2a.

19.如图所示，己知点C(l,0),直线y=-x+7与两坐标轴分别交于A,8两点，D,E

分别是AB,OA上的动点，则周长的最小值是10・

解：如图，点C关于OA的对称点C'(-1,0),点C关于直线A8的对称点C”,

•.•直线A8的解析式为y=-x+7,

直线CC"的解析式为y=x-1,

由产-x+7解得卜=4,

]y=x-lIy=3

直线4B与直线CC”的交点坐标为K(4,3),

•.♦K是CC”中点，

可得C"(7,6).

连接C'C”与AO交于点E,与AB交于点O,此时△£)《(7周长最小,

的周长+ED+DC"=C'C"

△QEC=£>E+EC+CZ)=EC'=^g2+62=10.

故答案为10.

20.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是16,腰AC的垂直平分线EF分别交

AC,AB边于E,尸点，若点。为BC边的中点，点M为线段E尸上一动点，则例

周长的最小值为10.

解：连接4),

•.♦△ABC是等腰三角形，点。是BC边的中点,

J.ADLBC,

-5AABC=—BC-AD=^X4XAD=16,解得AO=8,

22

•••EF是线段AC的垂直平分线，

二点C关于直线EF的对称点为点A,

：.AD的长为CM+MD的最小值，

.,.△COM的周长最短=(CM+MD)+CD=AO+2BC=8+2X4=8+2=10.

22

故答案为：10.

21.如图，菱形A8C。中，NA=60°,AB=3,08的半径分别为2和1,P、E、F

分别是边CD、OA和08上的动点，则PE+PF的最小值是3.

解：作A点关于直线OC的对称点A',连接A4',延长CQ交A4'于点N,连接BQ,

DA',

•..四边形ABC。是菱形,

：.AB=AD,

；NBAD=60°,

...△AQB是等边三角形，

AZADB=60°,

:NBDC=NADB=60°,

：.ZADN=60o,

DN=60°,

：.ZADB+ZADA'=180°,

,D,8在一条直线上,

由题意可得出：此时P与。重合，E点在A。上，尸在8。上，此时PE+PF最小,

:菱形A8CZ）中，NA=60°,

：.AB=AD,则△AB。是等边三角形,

：.BD=AB=AD=3,

'：OA、OB的半径分别为2和1,

；.PE=1,PF=2,

；.PE+P尸的最小值是3.

22.如图，菱形A8CD的两条对角线分别长6和8,点P是对角线AC上的一个动点，点M、

N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是5.

解：如图：

作ME_LAC交AO于E,连接EM

则EN就是PM+PN的最小值，

N分别是48、BC的中点,

：.BN=BM=AMf

•・・加瓦1_4。交4）于£

：.AE=AMf

：・AE=BN,AE//BN,

，四边形ABNE是平行四边形，

:.EN=AB,EN//AB.

而由题意可知，可得A8=d（6+2）2+（84~2）2=59

:・EN=AB=5,

・・・PM+PN的最小值为5.

23.在锐角三角形A8C中，BC=4A/2»ZABC=45°,3。平分NA8C,M、N分别是3。、

5。上的动点，则CM+MN的最小值是4.

解：过点C作CE_LAB于点E,交BD于点、M',过点M'作"N'1BC,则CE即

为CM+"N的最小值，

9：BC=4>/2»NA3C=45°，5Q平分NA3C,

...△8CE是等腰直角三角形，

.•.CE=BUcos45°=4我义第=4.

故答案为：4.

24.已知菱形A8C。的两条对角线分别为6和8,M、N分别是边BC、C。的中点，P是对

角线BD上一点，则PM+PN的最小值=5.

作M关于BD的对称点Q,连接NQ,交BD于P,连接MP,此时MP+NP的值最小,

连接AC,

:四边形A8C。是菱形，

：.ACLBD,NQBP=NMBP,

即Q在AB上，

'：MQVBD,

J.AC//MQ,

为BC中点,

；.Q为AB中点，

；N为CD中点，四边形ABC。是菱形，

J.BQ//CD,BQ=CN,

四边形BQNC是平行四边形，

：.NQ=BC,

:四边形A8CZ）是菱形，

：.CP=—AC=3,BP=LD=4,

22

在Rt^BPC中，由勾股定理得：BC=5,

即NQ=5,

：.MP+NP=QP+NP=QN=5,

故答案为：5.

25.如图，在矩形A8CQ中，AB=4,A£>=3,矩形内部有一动点P满足S^PAB—S^ABCD'

3

则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为4\".

解：设AABP中AB边上的高是正

**S△%8=^S矩形A6C。，

23

.•.-24。=2,

3

...动点尸在与AB平行且与AB的距离是2的直线/上，如图，作A关于直线/的对称点

E,连接AE,连接8E,则BE的长就是所求的最短距离.

在RtzMBE'中，\"AB=4,4E=2+2=4,

B£=vAB2+AE2=V42+42=4^2T

即PA+PB的最小值为472.

故答案为：4A/2-

26.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2,3),点B(-2,1),在x轴上存在点P到

A,2两点的距离之和最小，则P点的坐标是(-1,0).

解：作A关于x轴的对称点C,连接BC交x轴于P,贝IJ此时4P+8P最小,

；A点的坐标为(2,3),B点的坐标为(-2,1),

：.C(2,-3),

设直线的解析式是：y^kx+b,

把8、C的坐标代入得：J-2k+b=1

l2k+b=-3

解得k=-l

b=-l

即直线的解析式是y=-x-1,

当y—0时，-x-1=0,

解得：x=-\,

点的坐标是(-1,0).

故答案为：(-1,0).

27.(1)如图1,在4B直线一侧C、。两点，在AB上找一点尸，使C、。、P三点组成的

三角形的周长最短，找出此点并说明理由.

(2)如图2,在NAOB内部有一点P,是否在。4、OB上分别存在点E、F,使得E、F、

P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由.

(3)如图3,在/AOB内部有两点M、N,是否在。4、OB上分别存在点E、F,使得E、

F、M、N,四点组成的四边形的周长最短，找出E、尸两点，并说明理由.

D

C./.pN

N-------------BoL----------BoL--------------B

图1图2图3

解：(1)如图1,作C关于直线AB的对称点C',

连接C'。交AB于点P.

则点P就是所要求作的点.

理由：在/上取不同于P的点P',连接CP、DP'、CP'.

•••C和C'关于直线/对称,

：.PC=PC,P'C=P'C',

而CP+DP<CP'+DP',

：.PC+DP<CP'+DP'

：.CD+CP+DP<CD+CP'+DP'

即△cr)p周长小于△COP周长；

(2)如图2,作P关于OA的对称点C,关于。8的对称点£>,连接C£>,交0A于E,

OB于尸，连接PC,PD,则点E,尸就是所要求作的点，

理由：在。4,08上取不同于E,尸的点E',尸，连接CE'、E'P、PF'、DF',

EF,

和P关于直线04对称，力和P关于直线0B对称，

：.PE=CE,CE'=PE',PF=DF,PF'=DF',

；.PE+EF+PF=CE+EF+DF,PE'+PF'+E'F'=CE'+E'F'+DF',

•：CE+EF+DFVCE'+E'F'+DF',

：.PE+EF+PF<PE'+E'F'+PF'；

(3)如图3,作M关于OA的对称点C,作N关于OB的对称点D,连接CD,交Ok

于E,。8于F,则点E,F就是所要求作的点.连接MC,ND.

理由：在。4,OB上取不同于E,F的点E',F',连接CE'、E'F',DF',

和M关于直线OA对称，

；.ME=CE,CE'=ME',NF=DF,NF'=DF',

由（2）得知MN+ME+EF+NFVMN+ME'+E'F'+F'D.

28.己知：如图所示,

(1)作出△ABC关于y轴对称的aA'B'C',并写出B'C三个顶点的坐标.

(2)在x轴上画出点P,使以+PC最小.

解：⑴

分别作A、B、C的对称点，4'、B'、C',由三点的位置可知:

A'(-1,2),B'(-3,1),C(-4,3)

(2)先找出C点关于x轴对称的点C"(4,-3),连接C"A交x轴于点P,

(或找出A点关于x轴对称的点A"(1,-2),连接A"C交x轴于点P)则P点即为

所求点.

29.如图已知E尸〃GH,AC_LEF于点C,BDLEF于点D交HG于点K.AC=3,£)K=2,

BK=4.

(1)若CD=6,点M是CD上一点，当点M到点4和点B的距离相等时，求CM的长；

(2)若CD=*点、P是HG上一点，点。是EF上一点，连接AP,PQ,QB,^AP+PQ+QB

的最小值.

.4

-------------#----------尸

G-------------------------------H

B

解：(1)如图1中，连接A8,作线段4B的中垂线MN,交AB于N,交EF于M,连接

AM,BM.设。M=x.

在RtZXACM中，AM2=AC1+CM2=31+(6-X)

在RtABDM中，BM2=DM2+BD2=?+62,

•；AM=MB,

A32+(6