高考数学-75直线、平面垂直的判定及其性质配套课件-理-新人教A版

第五节直线、平面垂直的判定及其性质1第五节直线、平面垂直的判定及其性质1三年20考高考指数:★★★★1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定；2.理解直线与平面所成角和二面角的概念;3.能证明一些空间图形垂直关系的简单命题.2三年20考高考指数:★★★★21.垂直关系的判断多出现在选择题或填空题中，主要考查对与垂直有关的概念、公理、定理、性质、结论的理解及运用，往往与命题及平行关系综合在一起考查，难度较小；2.线面垂直、面面垂直的证明及运算常以解答题的形式出现，且常与平行关系综合命题，难度中等；3.通过线面角、二面角的求解来考查学生的空间想象能力和运算能力，常以解答题的形式出现，难度中等.31.垂直关系的判断多出现在选择题或填空题中，主要考查对与垂直1.直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义条件：直线l与平面α内的______一条直线都垂直.结论：直线l与平面α垂直.任意41.直线与平面垂直任意4(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条____直线都垂直，则该直线与此平面垂直.∵_____，_____，_____,_____，_______，∴性质定理垂直于同一个平面的两条直线______.∵_____，______，∴αabOlaαb平行l⊥al⊥ba⊂αb⊂αa∩b=Oa⊥αb⊥αl⊥αa∥b相交5(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号【即时应用】(1)思考：能否将直线与平面垂直的定义中的“任意一条直线”改为“无数条直线”？提示：不可以.当这无数条直线平行时，直线l有可能在平面α内，或者l与平面α相交但不垂直.6【即时应用】6(2)直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的位置关系是_______.【解析】由b∥α可得b平行于α内的一条直线，设为b′.因为a⊥α，所以a⊥b′，从而a⊥b，但a与b可能相交，也可能异面.答案：垂直7(2)直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的位置关系是_____2.直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的_____，叫做这条直线和这个平面所成的角.如图，______就是斜线AP与平面α所成的角.(2)线面角θ的范围：θ∈［0，］.锐角∠PAO82.直线与平面所成的角锐角∠PAO8【即时应用】(1)思考：如果两直线与一个平面所成的角相等，则这两直线一定平行吗？提示：不一定.这两直线的位置关系可能平行、相交或异面.9【即时应用】9(2)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C与平面A1B1C1D1所成的角为______，其大小为______；D1B与平面ABCD所成的角的正弦值为________.【解析】B1C与平面A1B1C1D1所成的角为∠CB1C1，其大小为45°；连接BD，则D1B与平面ABCD所成的角为∠D1BD，其正弦值为.答案：∠CB1C145°10(2)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C103.平面与平面垂直(1)二面角①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱.两个半平面叫做二面角的___.如图的二面角，可记作:二面角_________或二面角_________.面α-l-βα-AB-β113.平面与平面垂直面α-l-βα-AB-β11②二面角的平面角如图，过二面角α-l-β的棱l上一点O在两个半平面内分别作BO⊥l，AO⊥l,则______就叫做二面角α-l-β的平面角.③平面角的范围设二面角的平面角为θ，则θ∈［0,π］.∠AOB12②二面角的平面角∠AOB12(2)平面与平面垂直①定义条件：两相交平面所成的二面角为_________.结论：这两平面垂直.直二面角13(2)平面与平面垂直直二面角13②平面与平面垂直的判定定理：文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的_____，则这两个平面垂直.∵______,______,∴垂线l⊥αl⊂βαβlα⊥β14②平面与平面垂直的判定定理：文字语言图形语言符号语言判一个平③平面与平面垂直的性质定理：文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于_____的直线与另一个平面垂直.∵______,________,_______,_______,∴交线β⊥αα∩β=al⊂βl⊥alaβαl⊥α15③平面与平面垂直的性质定理：文字语言图形语言符号语言性两个平【即时应用】(1)思考：垂直于同一平面的两平面是否平行？提示：不一定.两平面可能平行，也可能相交.16【即时应用】16(2)已知α,β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的_________条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”)【解析】由条件知，当m⊥β时，一定有α⊥β；但反之不一定成立.故填必要不充分.答案：必要不充分17(2)已知α,β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，(3)将正方形ABCD沿AC折成直二面角后，∠DAB=_______.【解析】如图,取AC的中点O，连接DO，BO，则DO⊥AC，BO⊥AC，故∠DOB为二面角的平面角，从而∠DOB=90°.设正方形边长为1，则DO=BO=，所以DB=1，故△ADB为等边三角形，所以∠DAB=60°.答案：60°18(3)将正方形ABCD沿AC折成直二面角后，∠DAB=___直线与平面垂直的判定和性质【方法点睛】1.判定线面垂直的常用方法方法一利用线面垂直的判定定理方法二利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”.19直线与平面垂直的判定和2.线面垂直性质的应用当直线和平面垂直时，则直线与平面内的所有直线都垂直，给我们提供了证明空间两线垂直的一种重要方法.方法三利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”.方法四利用面面垂直的性质202.线面垂直性质的应用方法三利用“一条直线垂直于两平行平面中【提醒】解题时一定要严格按照定理成立的条件规范书写过程.如用判定定理证明线面垂直时，一定要体现出“平面中的两条相交直线”这一条件.21【提醒】解题时一定要严格按照定理成立的条件规范书写过程.如用【例1】(1)(2012·北京模拟)已知如图，六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC.则下列结论不正确的是()(A)CD∥平面PAF(B)DF⊥平面PAF(C)CF∥平面PAB(D)CF⊥平面PAD22【例1】(1)(2012·北京模拟)已知如图，六棱锥P-AB(2)(2012·衢州模拟)如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分线段PC，且分别交AC、PC于D、E两点,又PB=BC，PA=AB.①求证：PC⊥平面BDE；②若点Q是线段PA上任一点，判断BD、DQ的位置关系，并证明你的结论；③若AB=2,求三棱锥B-CED的体积.23(2)(2012·衢州模拟)如图，三棱锥23【解题指南】(1)根据线面平行、垂直的判定定理来判断.(2)①利用线面垂直的判定定理证明；②证明BD⊥平面PAC即可；③根据VB-CED=VC-BDE，转化为求S△BDE及CE的长度.【规范解答】(1)选D.由正六边形的性质得CD∥AF，CF∥AB，故A、C正确；因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥DF，又DF⊥AF，PA∩AF=A，故DF⊥平面PAF，即B正确.故选D.24【解题指南】(1)根据线面平行、垂直的判定定理来判断.24(2)①由等腰三角形PBC，得BE⊥PC，∵DE垂直平分PC，∴DE⊥PC，又BE∩DE=E，∴PC⊥平面BDE②由①得，PC⊥BD，∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BD.又PC∩PA=P，∴BD⊥平面PAC∴当点Q是线段PA上任一点时都有BD⊥DQ.25(2)①由等腰三角形PBC，得BE⊥PC，25③∵PA=AB=2,∴PB=BC=2.∵AB⊥BC,∴AC=2.∴PC=4，CE=2，且∵△CDE∽△CPA，∴26③∵PA=AB=2,26∴由②知：BD⊥DE.∴VB-CED=VC-BDE=S△BDE·CE27∴27【互动探究】本例（2）②若改为“设Q是线段PA上任意一点，求证：平面BDQ⊥平面PAC”，如何证明？【证明】由（2）②的解法可知BD⊥平面PAC.又BD⊂平面BDQ,∴平面BDQ⊥平面PAC.28【互动探究】本例（2）②若改为“设Q是线段PA上任意一点，求【反思·感悟】1.在证明垂直关系时，要注意线面垂直与面面垂直间的相互转化，同时要注意通过作辅助线进行这种转化.2.解答与垂直有关的问题时要重视对图形的观察与分析，从中找到线线垂直往往是解题的关键，因为所有的垂直问题都可转化为线线垂直来处理.29【反思·感悟】1.在证明垂直关系时，要注意线面垂直与面面垂直【变式备选】如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E是侧棱BB1的中点.(1)求证：A1E⊥平面ADE；(2)求三棱锥A1－ADE的体积.30【变式备选】如图所示，在长方体ABCD30【解析】(1)由勾股定理得：∴A1A2＝A1E2＋AE2，∴∠AEA1=90°，∴A1E⊥AE.∵AD⊥平面AA1B1B，A1E⊂平面AA1B1B，∴A1E⊥AD，又AD∩AE＝A，∴A1E⊥平面ADE.(2)由题意得31【解析】(1)由勾股定理得：31平面与平面垂直的判定和性质【方法点睛】1.判定面面垂直的方法面面垂直的判定综合性强，可通过转化使问题得以解决，“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的关系如图，线线垂直线面垂直面面垂直判定性质判定性质判定性质32平面与平面垂直的判定和性其中线线垂直是基础，线面垂直是核心.解决这类问题时要善于挖掘题目中隐含着的线线垂直、线面垂直的条件.2.面面垂直性质的应用(1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”.(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.33其中线线垂直是基础，线面垂直是核心.解决这类问题时要善于挖掘【例2】(2012·杭州模拟）如图所示，AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，AC=AD=AB=1，凸多面体ABCED的体积为F为BC的中点.（1）求证：AF∥平面BDE；（2）求证：平面BDE⊥平面BCE.34【例2】(2012·杭州模拟）如图所示，AD⊥平面ABC，C【解题指南】（1）根据线面平行的判定定理证明，即由线线平行推出线面平行.（2）利用面面垂直的判定定理证明.【规范解答】（1）∵AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，∴四边形ACED为梯形，且平面ABC⊥平面ACED，∵BC2=AC2+AB2，∴AB⊥AC，∵平面ABC∩平面ACED=AC，∴AB⊥平面ACED，即AB为四棱锥B-ACED的高，35【解题指南】（1）根据线面平行的判定定理证明，即由线线平行推∵∴CE=2，取BE的中点G，连接GF，GD，∴GF为三角形BCE的中位线，∴GF∥EC∥DA，∴四边形GFAD为平行四边形，∴AF∥GD，又GD⊂平面BDE，AF平面BDE,∴AF∥平面BDE.EDCBFAG·36∵EDCBFAG·36（2）∵AB=AC，F为BC的中点，∴AF⊥BC，又GF⊥AF，BC∩GF=F∴AF⊥平面BCE，∵AF∥GD，∴GD⊥平面BCE，又GD⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCE.37（2）∵AB=AC，F为BC的中点，37【误区警示】解题时往往忽视“凸多面体ABCED的体积为”这一条件的应用.【反思·感悟】证明面面垂直时一般先证线面垂直，确定这条直线时可从图中现有的直线中去寻找，若图中不存在这样的直线，则应通过添加辅助线来构造.38【误区警示】解题时往往忽视“凸多面体ABCED的体积为”【变式训练】如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证：AD⊥PB;(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论.39【变式训练】如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DA【解析】(1)如图，取AD的中点G，连接PG，BG，BD.∵△PAD为等边三角形，∴PG⊥AD,又∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD.在△ABD中，∠DAB=60°,AD=AB,∴△ABD为等边三角形，∴BG⊥AD,且BG∩PG=G,∴AD⊥平面PBG,∴AD⊥PB.40【解析】(1)如图，取AD的中点G，连接PG，BG，BD.4(2)连接CG,DE,且CG与DE相交于H点，在△PGC中作HF∥PG，交PC于F点，连接DF，∴FH⊥平面ABCD,∴平面DEF⊥平面ABCD.∵菱形ABCD中，G、E分别为AD、BC的中点，即得知H是CG的中点，∴F是PC的中点，∴在PC上存在一点F，即为PC的中点，使得平面DEF⊥平面ABCD.41(2)连接CG,DE,且CG与DE相交于H点，41线面角、二面角的求法【方法点睛】1.求空间角的步骤(1)一找，即找出相关的角；(2)二证，即证明找出的角即为所求的角；(3)三计算，即通过解三角形的方法求出所求角.42线面角、二面角的求法422.空间角的找法(1)线面角找出斜线在平面上的射影，关键是作出垂线，确定垂足.(2)二面角二面角的大小用它的平面角来度量，平面角的常见作法有：①定义法；②垂面法.其中定义法是最常用的方法.432.空间角的找法43【提醒】在作二面角的平面角时，若题目中有面面垂直的条件，则可由面面垂直得到线面垂直，进而根据定义作出二面角的平面角.44【提醒】在作二面角的平面角时，若题目中有面面垂直的条件，则可【例3】(2011·广东高考)如图，在锥体P-ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60°，PA=PD=,PB=2，E，F分别是BC，PC的中点.(1)证明：AD⊥平面DEF；(2)求二面角P-AD-B的余弦值.45【例3】(2011·广东高考)如图，在锥体P-ABCD中，A【解题指南】(1)取AD中点G，证明AD⊥平面PGB，再证明平面PGB∥平面DEF.(2)连接PG、BG，证∠PGB是所求二面角的平面角，在△PGB中由余弦定理可求得二面角的余弦值.46【解题指南】(1)取AD中点G，证明AD⊥平面PGB，再证明【规范解答】(1)取AD的中点G，连接PG，BG，BD，又PA=PD，∴PG⊥AD，由题意知△ABD是等边三角形，∴BG⊥AD，又PG,BG是平面PGB的两条相交直线，∴AD⊥平面PGB，∵EF∥PB，DE∥GB，EF∩DE=E,PB∩BG=B,∴平面DEF∥平面PGB，∴AD⊥平面DEF.47【规范解答】(1)取AD的中点G，连接PG，BG，BD，又P(2)由(1)知∠PGB为二面角P-AD-B的平面角，在Rt△PGA中，在Rt△BGA中，在△PGB中，由余弦定理得即所求二面角的余弦值为48(2)由(1)知∠PGB为二面角P-AD-B的平面角，48【反思·感悟】1.通过三角形中位线的性质证明平行是立体几何中的常用方法.解题中要重视各种“平行”、“垂直”间的转化.2.空间角求解的关键是转化为平面角来处理，即转化为三角形的内角，利用解三角形的知识来解.49【反思·感悟】1.通过三角形中位线的性质证明平行是立体几何中【变式训练】(2012·台州模拟)如图，菱形ABCD与矩形BDEF所在平面互相垂直，∠BAD=.(1)求证：FC∥平面AED；(2)若BF=kBD，当二面角A-EF-C为直二面角时，求k的值.50【变式训练】(2012·台州模拟)如图，菱形ABCD与矩形B【解析】(1)∵FB∥ED,BC∥AD，FB∩BC=B,ED∩AD=D，∴平面FBC∥平面EDA.又FC⊂平面FBC.∴FC∥平面AED.(2)取EF,BD的中点M,N,连接AM，CM.由于AE=AF，CE=CF，所以AM⊥EF，CM⊥EF，∴∠AMC即为二面角A-EF-C的平面角.51【解析】(1)∵FB∥ED,BC∥AD，FB∩BC=B,51由题意知，AM=CM，∴当二面角A-EF-C为直二面角时，可得△AMC为等腰直角三角形.故MN=AN=AC.又AB=AD,∠BAD=∴△ABD为等边三角形.∴AN=BD.∴BF=MN=BD,故k=.52由题意知，AM=CM，52【满分指导】垂直关系综合问题的规范解答【典例】(14分)(2011·辽宁高考)如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA,QA=AB=PD.(1)证明：PQ⊥平面DCQ；(2)求棱锥Q-ABCD的体积与棱锥P-DCQ的体积的比值.53【满分指导】垂直关系综合问题的规范解答53【解题指南】(1)证明PQ⊥DC，PQ⊥QD，进而可得PQ⊥平面DCQ；(2)设出正方形的边长为a，分别计算两个棱锥的体积，再求体积的比值.【规范解答】(1)由条件知PDAQ为直角梯形.因为QA⊥平面ABCD，QA⊂平面PDAQ，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，…………4分54【解题指南】(1)证明PQ⊥DC，PQ⊥QD，进而可得PQ⊥又PQ⊂平面PDAQ，所以PQ⊥DC.在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，则PQ⊥QD.……………………6分又DC∩QD=D,所以PQ⊥平面DCQ.……………8分55又PQ⊂平面PDAQ，55(2)设AB=a.由题设知AQ为棱锥Q-ABCD的高，所以棱锥Q-ABCD的体积V1=a3.……………10分由(1)知PQ为棱锥P-DCQ的高，而PQ=a，△DCQ的面积为a2，所以棱锥P-DCQ的体积V2=a3.……………12分故棱锥Q-ABCD的体积与棱锥P-DCQ的体积的比值为1.……14分56(2)设AB=a.56【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失分警示在解答本题时有两点容易造成失分：（1）解题时忽视各种垂直间的转化，从而造成思路受阻；（2）答题过程书写不规范，如在证明线面垂直时忽视了对“平面内两条相交直线”的叙述.57【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以备考建议解决垂直问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）缺乏空间想象能力，找不出应该垂直的线和面；（2）对几何体体积、面积及线面角的计算不准确；（3）不善于挖掘图形中存在的关系，缺乏通过添加辅助线解题的能力.另外要重视对基础知识的积累、解题过程的规范，并且要善于使用数学符号进行表达.58备考解决垂直问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度1.(2011·辽宁高考)如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是()(A)AC⊥SB(B)AB∥平面SCD(C)SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角(D)AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角591.(2011·辽宁高考)如图，四棱锥S-ABCD的底面为正【解析】选D.四棱锥S-ABCD的底面为正方形，所以AC⊥BD，又SD⊥底面ABCD，所以SD⊥AC，从而AC⊥面SBD，故AC⊥SB，即A正确；B中由AB∥CD，可得AB∥平面SCD，即B正确.选项A中已证得AC⊥面SBD，又SA=SC，所以SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角,即C正确；AB与SC所成的角为∠SCD，此为锐角，而DC与SA所成的角即AB与SA所成的角，此为直角，二者不相等，故D不正确.60【解析】选D.四棱锥S-ABCD的底面为正方形，所以AC⊥B2.(2011·浙江高考)下列命题中错误的是()(A)如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β(B)如果平面α不垂直于平面