2022-2023学年广东省深圳市高一下册期末数学模拟试题（含解析）

2022-2023学年广东省深圳市高一下册期末数学模拟试题（含解析）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】直接根据交集的定义即可得解.【详解】解：因为，，所以.

故选：A.2.设复数（其中为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【正确答案】B【分析】根据复数的乘法运算求出复数，再根据复数的几何意义即可得出答案.【详解】解：，所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限.故选：B.3.已知向量，，且，则（）A. B. C. D.2【正确答案】D【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示计算可得；【详解】解：因为，，且，所以，解得；故选：D4.已知，，则的值为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】利用同角三角函数的基本关系求出，再由诱导公式计算可得；【详解】解：因为，，所以，所以；故选：A5.已知直线与平面，则能使的充分条件是（）A.， B.，，C.， D.，【正确答案】D【分析】由线面、面面的平行与垂直的判定与性质依次判断各个选项即可.【详解】对于A，垂直于同一平面的两个平面平行或相交，，，A错误；对于B，若，，，则只需在平面内互相垂直即可，无法得到，B错误；对于C，平行于同一条直线的两个平面平行或相交，，，C错误；对于D，，存在直线，满足，又，，，，D正确.故选：D.6.下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】利用特殊值判断A、C，利用重要不等式判断B，作差可判断D；【详解】解：对于A：若、时，故A错误；对于B：因为，所以，所以，即，当且仅当时取等号，故B错误；对于C：若、时，，故C错误；对于D：因为，所以，即，当且仅当时取等号，故D正确；故选：D7.如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】设，则，再根据三点共线可求得，再根据平面向量的线性运算结合图形即可得出答案.【详解】解：设，则，因为三点共线，所以，解得，则所以.故选：A.8.已知函数，则方程的解的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3【正确答案】C【分析】令，则方程的解的个数即函数与函数的图象的交点的个数．作出函数与函数的图象，即可得到两个函数图象的交点的个数．【详解】解：令，得，则方程的解的个数即函数与函数的图象的交点的个数．作出函数与函数的图象，可知两个函数图象的交点的个数为2，故方程的解的个数为2个．故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.根据第七次全国人口普查结果，女性人口约为68844万人，总人口性别比（以女性为100，男性对女性的比例）为105.07，与2010年第六次全国人口普查基本持平.根据下面历次人口普查人口性别构成统计图，下面说法正确的是（）A.近20年来，我国总人口性别比呈递减趋势B.历次人口普查，2000年我国总人口性别比最高C.根据第七次全国人口普查总人口性别比，估计男性人口为72334万人D.根据第七次全国人口普查总人口性别比，估计男性人口为73334万人【正确答案】AC【分析】根据统计图提供的数据判断.【详解】近20年来，我国总人口性别比呈递减趋势，所以A正确；由统计图数据知，历次人口普查，1953年我国总人口性别比最高，所以B不正确；根据第七次全国人口普查总人口性别比，设男性人口为，，则估计男性人口为72334万人，故C正确，D不正确.故选：AC.10.把函数的图像向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图像，下列关于函数的说法正确的是（）A.最小正周期为 B.在区间上的最大值为C.图像的一个对称中心为 D.图像的一条对称轴为直线【正确答案】AD【分析】根据伸缩平移变换可得函数的解析式，进而判断各选项中图像性质.【详解】的图像向左平移个单位长度得函数，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数，其最小正周期为，A选项正确；由，得，则当，即时，取最大值为，B选项错误；令，，得，，所以函数的对称中心为，，所以不成立，C选项错误；令，，解得，，所以函数的对称轴为，，当时，，D选项正确；故选：AD.11.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则（）A.的最小值为 B.在上单调递减C.的解集为 D.存在实数满足【正确答案】ACD【分析】根据偶函数性质求出函数解析式，即可画出函数图象，即可判断；【详解】解：函数是定义在上的偶函数，当时，，设，则，所以，因为是偶函数，所以，所以，所以，函数图象如下所示：可得时，在时取得最小值，由偶函数的图象关于轴对称，可得在上取得最小值，故A正确；在上单调递减，在上单调递增，故B错误；由或，解得或，综上可得的解集为，故C正确；由，，即存在实数满足，故D正确；故选：ACD．12.如图，在菱形中，，，将沿折起，使到，点不落在底面内，若为线段的中点，则在翻折过程中，以下命题中正确的是（）A.四面体的体积的最大值为1B.存在某一位置，使得C.异面直线，所成的角为定值D.当二面角的余弦值为时，四面体的外接球的半径为【正确答案】ABD【分析】连接交于，连接，取的中点，连接，当平面平面时，四面体的体积最大，从而可判断A；易得，说明成立，再根据线面垂直的判定定理及性质即可判断B；证明异面直线，所成的角即为或其补角，再根据不为定值，即可判断C；说明即为二面角的平面角，再根据二面角的余弦值可得，补全为正方体，从而可判断D.【详解】解：连接交于，连接，取的中点，连接，对于A，当平面平面时，四面体体积最大，点到平面的距离最大，此时在菱形中，，，则都是等边三角形，则，此时四面体的体积为，所以四面体的体积的最大值为1，故A正确；对于B，因为分别为中点，所以，且，由题意，则，当时，，因为，所以时，平面，又平面，所以，所以存在某一位置，使得，故B正确；对于C，因为，所以异面直线，所成的角即为或其补角，，因为不为定值，所以不为定值，即异面直线，所成的角不为定值，故C错误；对于D，因为，所以即为二面角的平面角，则，所以，所以四面体为正四面体，如图，补全正四面体为正方体，则正方体的棱长为，则这个正方体外接球的半径为，即四面体的外接球的半径为，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.计算的结果为______.【正确答案】【分析】根据对数的运算性质及指数幂的运算法则计算可得；【详解】解：；故14.从2，3，4，5四个数中任取两个数，则两个数相差为2的概率是______.【正确答案】【分析】利用列举法列出所有可能结果，再利用古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：从2，3，4，5四个数中任取两个数，所有可能结果有、、、、、共个结果；满足两个数相差为2的有、共个结果；所以两个数相差为2的概率；故15.正方形边长为，以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为_______．【正确答案】【分析】得到的几何体为圆柱，从而可求圆柱的侧面积.【详解】边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，则所得几何体的侧面积为：，故答案为.16.已知若存在，使得，的取值范围是______.【正确答案】【分析】分，，三种情况讨论，由题意，分别确定的范围，再结合函数的单调性即可得出答案.【详解】解：当时，则，所以，即，所以，则，因为函数在上递增，所以；当时，，所以，所以不存在，使得；当时，则，因为，所以，所以，则，令，则，因为，所以，所以，所以，即，所以函数在上递增，所以，即，综上所述，的取值范围是.故答案为.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数（）的最小正周期为.（1）求的值；（2）求函数的单调递减区间.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）由最小正周期求出，进而得到，代入求值即可；（2）整体法求解函数单调递减区间.【小问1详解】由最小正周期公式得：，故，所以，所以【小问2详解】令，解得：，故函数的单调递减区间.是18.已知的内角，，的对边分别为，，，.（1）求的值；（2）若，，求的值.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）利用正弦定理将角化边，即可求出；（2）根据数量积的定义求出，即可求出，再由余弦定理计算可得；【小问1详解】解：因为，由正弦定理可得，因为，所以【小问2详解】解：因为，所以，所以，因为，所以，由余弦定理，所以.19.已知函数是定义在上的奇函数.（1）若，求的值；（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据奇函数的性质得到，即可求出，从而得到的解析式，再解方程即可；（2）首先判断函数的单调性，结合奇偶性与单调性得到在上恒成立，参变分离可得，恒成立，根据二次函数的性质求出的最小值，即可得解；【小问1详解】解：因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，解得，所以，即，则，符合题意，又，即，即，即，即，解得【小问2详解】解：因为，所以在定义域上单调递增，又是定义在上的奇函数，所以在恒成立，等价于在上恒成立，即在上恒成立，即，恒成立，令，，所以在上单调递增，在上单调递减，、，所以，所以，即；20.（身体质量指数）是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其计算公式是.在我国，成人的数值参考标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖.某大学为了解学生的身体肥胖情况，研究人员从学校的学生体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取了60名男学生，40名女学生的身高体重数据，计算出他（她）们的，整理得到如下的频率分布表和频率分布直方图.同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，用样本估计总体.分组频数频率150.15400.40300.30100.1050.05合计1001.00（1）根据及频率分布直方图，估计该校学生为肥胖的百分比；（2）已知样本中60名男学生的平均数为，根据频率分布直方图，估计样本中40名女学生的平均数.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）由频率分布直方图求得频率，从而可得该校学生为肥胖的百分比；（2）先根据频率分布直方图求出样本的的平均数，再根据样本的的平均数等于，即可得解.【小问1详解】解：由频率分布直方图可知的频率为，所以的频率为，所以估计该校学生为肥胖的百分比为；【小问2详解】解：样本的的平均数为，则，解得，所以估计样本中40名女学生的平均数.21.如图，在四棱锥，底面为梯形，且，，等边三角形所在的平面垂直于底面，.（1）求证：平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）利用面面垂直证明线面垂直，进而可得异面直线垂直，可证线面垂直；（2）分别过点与点作直线的垂线，再通过平行，构造二面角的平面角，进而可得二面角余弦值.【小问1详解】如图所示，取中点，连接，是正三角形，又平面平面，且平面平面，平面，平面,，，且，平面；【小问2详解】如图所示，连接，，过点，作，，分别与交于点，，过点作，交于点，连接，设，，则，由（1）得平面，即为直线与平面所成角的平面角，平面，，则，，解得：，故，，且，即，解得，，，又，所以平面，，，且，即，解得，，，所以点为线段的中点，故点也为线段中点，所以，，所以即为二面角的平面角，.22.已知二次函数的图象经过原点，且是偶函数，方程有两相等实根.（1）求的解析式；（2）讨论函数与的图象的公共点个数.【正确答案】（1）（2）见解析【分析】（1）设，易得，根据是偶函数，可得的一个关系式，再根据方程有两相等实根，可得根的判别式，从而可求得，即可得解；（2）函数与的图象的公共点个数，即方程的实数根的个数，即方程的实数根的个数，令，故所求转化为方程在实根的个数，再分，，三种情况讨论，从而可得出结论.【小问1详解】解：设，因为二次函数的图象经过原点，所以，，因为是偶函数，所以，即，所以，又方程有两个相等实数根，所以，解得（舍去），所以；【小问2详解】解：由（1）得，令，则，即，即，令，则，故所求转化为方程在实根的个数，令，，①当