历年考研数学一真题及答案(-)

经典珍藏版）1987年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷一、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上）⑴当x=时，函数y=x•2x取得极小值.■巧■巳（2）由曲线y=Inx与两直线y=e+1—x及y=0所■巧■巳TOC\o"1-5"\h\z的平面图形的面积是.1：=X（3）与两直线'y1+tz=2+t及g=2±2=土都平行且过原点的平面方程为111（4）设（4）设L为取正向的x2+y2=9,则曲线积分(5(2xy一2y)dx+(x2一4x)dy=.L⑸已知三维向量空间的基底为a=(1,1,0),a=(1,0,1),a=(0,1,1),则123向量卩=(2,°,0)在此基底下的坐标是.二、（本题满分8分）求正的常数数与b,使等式豐占:吕=1成立.三、(本题满分7分)⑴设f、为连续可微函数,u=f(x,xy),v=g(x+xy),求也岂Jgdx，Qx•「30「(2)设矩阵A和B满足关系式ab=a+2B,其中A=110,求矩阵014B.四、(本题满分8分)a>0.求微分方程y+6y”+(9+a2)y'二a>0.五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)⑴设limf(x)—f(a)=-1,则在x=a处xTa(x-a)2⑷f(x)的导数存在，且广(a)丰0(B)f(x)取得极大值(C)f(x)取得极小值(D)f(x)的导数不存在⑵设f(x)为已知连续函数，/=tJtf(tx)dx,其中t>0,s>0,则1的值zzzz(A)依赖于s和t(C)依赖于t、x，不依赖于s赖于t(B)依赖于s、/和x(D)依赖于s,不依值有关⑷设A为n阶方阵，且A的行列式|A-a丰°,而A*是A的伴随矩阵,则IA*|等于(A)a⑻丄a(C)an一1(D)an六、(本题满分10分)g1求幂级数'n^7Xn_1的收敛域，并求其和函数.n=1°七、(本题满分10分)求曲面积分gk+n工(T》_(3)设常数k〉0,则级数n=1⑷发散ngk+n工(T》_(3)设常数k〉0,则级数n=1⑷发散n2(B)绝对收敛(C)条件收敛(D)散敛性与k的取其中y是由曲线f(x)Jz二戸1-y-3绕轴旋转一周而成的曲面,Lx=0y其法向量与轴正向的夹角恒大于叟y2-八、(本题满分10分)设函数f(x)在闭区间［0,1］上可微，对于［0,1］上的每一个，函数f(x)的值都在开区间(0,］)内，且广(x)J,证明在(0,］)内有且仅有一个x，使得f(x)=x.九、(本题满分8分)问a,b为何值时,现线性方程组{x+x+x+x=0TOC\o"1-5"\h\z1234x+2x+2x=1234—x+(a—3)x—2x=b2343x+2x+x+ax=—11234有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)⑴设在一次实验中，事件A发生的概率为现进行n次独立试验,Ap,n则A至少发生一次的概率为;而事件A至多发生一次的有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球,第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2

个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为(3)已知连续随机变量X的概率密度函数为f(x)=e—x2+2x—i,则X则X的数学期望为.,X的方差为.设随机变量f设随机变量fX(x)Z=2X+Y的概率密度函数.一、(本题满分6分)X,Y相互独立,其概率密度函数分别为尸10<X<10其它，fY(y)P1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)学(x—3)n求幂级数n3n的收敛域.n=1⑵设f(x)=ex2,fb(x)］=1—x且®(x)>0，求q(x)及其定义域.(3)设工为曲面x2+y2+z2=1的外侧，计算曲面积分I=吐x3dydz+y3dzdx+z3dxdy.二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上)TOC\o"1-5"\h\z若f(t)=hmt(1+-)2tx，则f(t)=.xT8x设/(x)连续且『x—1/(t)dt=x，则0f(7)=.设周期为2的周期函数,它在区间(—1,1］上定义为>2—1<x<0Af(x)={x20<x<］，则的傅里叶(Fourier)级数在兀=1处收敛于・⑷设4阶矩阵A=［a,y,Y，Y］，B=［卩,Y，Y，Y］，其中a，卩，Y,Y,Y均为4234234234维列向量，且已知行列式A=4,B|=1,则行列式A+B=QQ1°2三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)⑴设f(x)可导且f'(x0)=1,则Ax一0时f(X)在x0处的微分dy是与Ax等价的无穷小(B)与Ax同阶的无穷小(C)比Ax低阶的无穷小(D)比Ax高阶的无穷小⑵设y=f(x)是方程y〃—2y，+4y二0的一个解且xf(X°)>0f(X°)=0,则函数f(X)在点0处(A)取得极大值(B)取得极小值(C)某邻域内单调增加(D)某邻域内单调减少(3)设空间区域Q:x2+y2+z2<R2,z>0,Q:x2+y2+z2<R2,x>0,y>0,z>0,则12(A)fffxdv二4fffdvQ1Q2(B)fl!ydv=4fjfydvQ1(C)Iffzdv=4

(D)JJJxyzdv二4JJJxyzdv。2(4)设幂级数工a(x-1)n在x=-1处收敛，则此级数在n=1条件收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)收敛性不能确定(5)n维向量组a1,a2，as(3-s-n)线性无关的充要条件是⑷存在一组不全为零的数仆k2，…，ks，使ka+ka+•••+ka丰0TOC\o"1-5"\h\z1122ss巴，a2，…,a中任意两个向量均线性无关12sa,a2，…,a中存在一个向量不能用其余向量线性表示12sa,/，•••，a中存在一个向量都不能用其余向量线性表示12s四、(本题满分6分)设u=yfq)+xg(”其中函数厂g具有二阶连续导数’求d2ud2uX—

dx2+yd2u

dxdy五、(本题满分8分)设函数y=y(x)满足微分方程y〃-3y'+2y=2ex,其图形在点处的切线与曲线y=x2-x-1在该点处的切线重合,求函数y=y(x).六、(本题满分9分)设位于点(0,1)的质点A对质点M的引力大小为土(k>0设位于点(0,1)r2为A质点与M之间的距离)，质点M沿直线y=42^X2自B(2,0)运动到O(0,O(0,0),求在此运动过程中质点A对质点M的引力所作的功.七、(本题满分6分)(2)求一个满足(2)求一个满足p-1AP=b的可逆阵p.「100-「100「000,P=2-1000-1211已知AP=BP其中B=「200-「200_已知矩阵A=001与B=0y001x00-1八、(本题满分8分)相似.⑴求x与xy.九、(本题满分9分)设函数f(x)在区间［a,b］上连续，且在(a,b)内有f'(x)>0,证明：?亠亠在(ab)内存在唯一的使曲线y=f(x)与两直线y=f(g),x=a所围平面图形面积S］是曲线y=f(x)与两直线y=f(g),x=b所围平面图形面积S的3倍.2十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)⑴设在三次独立试验中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率等于19则事件A在一次试验中出现的概率是若在区间(0,1)内任取两个数，则事件”两数之和小于6”的概率为设随机变量%服从均值为10,均方差为0.02的正态分布，已机x)=Jx1e¥du,(2.5)=0.9938-^/2k则x落在区间(沖㈣内的概率为.十一、(本题满分6分)设随机变量X的概率密度函数为f(x)=1,求随机变量X兀(1-X2)Y二1-3；X的概率密度函数(y).1989年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)⑴已知广⑶=⑴已知广⑶=2,则lim9ht0f(3-h)-f⑶二2h⑵设f(x)是连续函数，且f(x)二x+21J(t)dt,则f(x)=.设平面曲线L为下半圆周y一口，则曲线积分I(X2+y2)ds=.((-2)-1=-300「「100「⑸设矩阵A二140,I=010003001⑷向量场divu在点P(1,1,0)处的散度divu=.则矩阵二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)⑴当X>0时，曲线y二Xsin1x有且仅有水平渐近线(B)有且仅有铅直渐近线(C)既有水平渐近线，又有铅直渐近线(D)既无水

平渐近线,又无铅直渐近线已知曲面z=4-x2-y2上点p处的切平面平行于平面2x+2y+z-1二0,则点的坐标是(A)(1,-1,2)(B)(-1,1,2)(C)(1,1,2)(D)(-1,-1,2)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是cy+cy+y11223cy+cy—(c+c)y1122123cy+cy-(1-c-c)y1122123cy+cy+(1-c-c)y1122123(4)设函数(4)设函数f(x)=x2,0<x<1,g■S(x)=工bsinn冗x,-g<x<+g,其中n=1b=2J1f(x)sinn冗xdx,n=1,2,3，.贝gS(-丄)等于no2(B)-1(B)-14(D)丄22(C)14⑸设A是n阶矩阵，且A的行列式|A|=0,则A中必有一列元素全为0必有两列元素对应成比例必有一列向量是其余列向量的线性组合(D)任一列向量是其余列向量的线性组合三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)⑴设z=f(2x-y“g(x,xy)其中函数/(t)二阶可导g(u,v)具有连续二阶偏导数，求空.dxdy(2)设曲线积分Jxy2dx+艸(x)dy与路径无关，其中申(x)具有连续的c导数，且申(0)=0,计算J(1,1)xy2dx+y申(x)dy的值.(0,0)⑶计算三重积分JJJ(x+z)dv,其中Q是由曲面z=(x2+y2与Qz=\:‘1-x2-y2所围成的区域.四、(本题满分6分)将函数f(x)1-xx五、(本题满分7分)设/(x)=sinx-Jx(x—t)/(t)dt,其中f为连续函数，求f()0ff(x).六、(本题满分7分)x证明方程■-cos2xdx在区间©)内有且仅有e0两个不同实根.七、（本题满分6分）问九为何值时，线性方程组x+x=九13虬6x+x+4x=2-+3123有解,并求出解的一般形式.八、（本题满分8分）假设九为n阶可逆矩阵A的一个特征值，证明1（1）-为A-1的特征值.⑵凶为A的伴随矩阵A*的特征值.-九、（本题满分9分）设半径为R的球面E的球心在定球面x2+y2+z2=a2（a〉0）上，问当R为何值时,球面工在定球面内部的那部分的面积最大？十、填空题（本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上）（1）已知随机事件a的概率P（a）=o.5,随机事件B的概率P（B）=0.6及条件概率p（b|A）=0.8,则和事件人少的概率p（aUb）（2）甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0・6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为.⑶若随机变量g在（］,6）上服从均匀分布,则方程x2+gx+1=0有实根的概率是.十一、（本题满分6分）设随机变量X与Y独立，且X服从均值为1、标准差（均方差）为込的正态分布，而Y服从标准正态分布•试求随机变量Z=2X-Y+3的概率密度函数.1990年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷一、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上）{x=—t+2y=31—4垂直的平面方程是.Z=t—1x+a⑵设a为非零常数，则［呼L）x=11lxl01lxl⑶设函数f（x）=>]，则f[f(x)]⑷积分J22e-y2d的值等于0x（5）已知向量组a=(1,2,3,4),a=(2,3,4,5),a=(3,4,5,6),a=(4,5,6,7),1234则该向量组的秩是二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）⑴设f（x）是连续函数，且F（x）=J「f（t）dt,则F,（x）等于

⑷一e-xf(e-x)一f(x)⑻—e-xf(e-x)+f(x)(C)e-xf(e-x)-f(x)(D)e-xf(e-x)+f(x)(2)已知函数f(x)具有任意阶导数，且f(x)=[f(x)]2,则当n为大于2的正整数时f(x)的n阶导数f(n)(x)是(B)n[f(x)]“+i(A)n![f(x(B)n[f(x)]“+i(D)n![f(x)]2n(C)[f(x)](D)n![f(x)]2n⑶设a⑶设a为常数，则级数兰[Sin型-」n2n=1有关绝对收敛(B)条件收敛(C)有关绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与a的取值(4)已知f(x)(4)已知f(x)f(0)=0,lim竺xT01一COSxx=0的某个邻域内连续，且2,则在点x=0处f(x)(A)不可导(A)不可导(C)取得极大值(B)可导，且广(°)工o取得极小值(5)已知卩、卩是非齐次线性方程组AX_b的两个不同的解,a、a1212是对应其次线性方程组AX=0的基础解析,%、k为任意常数,则方程组AX=b的通解(一般解)必是R―R(A)ka+k(a+a)+i2112122B+Bka+k(a-a)+丄、112122B-Bka+k(B+B)+i2112122ka+k(B-B)+B1+卩2112122三、（本题共3小题,每小题5分,满分15分）ln(1+x)(2-x)2⑵设z=f(2x-y,ysinx),其中f(u,v)具有连续的二阶02z偏导数，求dxdy⑶求微分方程y"+4y'+4y=e-2x的通解（一般解）.四、（本题满分6分）求幂级数工（2n+1）xn的收敛域，并求其和函数.n=0五、（本题满分8分）求曲面积分I=Kyzdzdx+2dxdyS其中S是球面x2+y2+z2=4外侧在z>0的部分・六、（本题满分7分）设不恒为常数的函数f（x）在闭区间［a,b］上连续，在开区间（a,b）内可导,且f（a）=f（b）.证明在（a,b）内至少存在一点g,使得广忆）〉0.七、（本题满分6分）设四阶矩阵「1-100一■2134_01-100213B=001-1,C二002100010002且矩阵A满足关系式A（E-CB）'C'=E其中E为四阶单位矩阵,C-1表示C的逆矩阵,C表示C的转置矩阵•将上述关系式化简并求矩阵A八、（本题满分8分）求一个正交变换化二次型f=x2+4x2+4x2一4xx+4xx一8xxTOC\o"1-5"\h\z123121323成标准型.九、（本题满分8分）质点P沿着以AB为直径的半P|戸圆周，从点A（1,2）运动到点b（3,4）的'弋丿过程中受变力f作用（见图）.f的-大小等于点P与原点O之间的距离，其方向垂直于线段op且与y轴正向的夹角小于殳求变力F对2质点p所作的功.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)已知随机变量x的概率密度函数f(x)=1e-Ix,-g<x<+82则X的概率分布函数F(x)=.设随机事件A、B及其和事件的概率分别是0・4、0.3和0.6,若B表示B的对立事件，那么积事件AB的概率p(Ab)=.已知离散型随机变量x服从参数为2的泊松(poisson)分布，即P{X=k}=害，k=0丄2,...,则随机变量Z=3X-2的数学期望k!E(Z)十一、(本题满分6分)设二维随机变量(X,Y)在区域D:0<x<l,|y|<x内服从均匀分布,求关于X的边缘概率密度函数及随机变量Z=2X+1的方差D(Z).

年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)⑴设［x二1+12,则如=.y=costdx2⑵由方程xyz+、'x2+y2+z2=迈所确定的函数z=z（x,y）在点（i,o,_i）处的全微分dz=.(3)已知两条直线的方程是(3)已知两条直线的方程是l:口=心=口;l:也=口=I110-12211TOC\o"1-5"\h\z则过l且平行于i的平面方程是，12⑷已知当x-0时,(1+ax2)3—1与cosx—1是等价无穷小，则常数a=.「5200_⑸设4阶方阵a=2100，则A的逆阵A1=.001-2AA-10011二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)=1+e-x2曲线y=市没有渐近线(C)仅有铅直渐近线没有渐近线(C)仅有铅直渐近线仅有水平渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线⑵若连续函数f(X)满足关系式f(x)=Jf(2)dt+ln2,则f(x)等02(B)e2xln2于(B)e2xln2(C)ex+ln2(A)(C)ex+ln2(D)e2x+ln2(3)已知级数((3)已知级数(—1)n-1ann=1=2,艺a2n-1=5,则级数n=1等于n=1(B)73(B)7⑷设D是平面xoy上以(1,1)、(_1,1)和(-1,_1)为顶点的三角形区域,D是D在第一象限的部分，则1D口(xy+cosxsiny)dxdy等于D(A)2JJcosxsinydxdy(B)2JJxydxdy(C)D14JJ(xy+cosxsiny)dxdy(D)0D1D1⑸设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC=E,其中E是n阶单位阵,则必有(A)ACB=E(B)CBA=E(C)BAC=E(D)BCA=E(C)8(D)9三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

⑴求lim(cos存)7.XT0+⑵设n是曲面2x2+3y2+z2=6在点P(1,1,1)处的指向外侧的法向量,求函数u=向量,求函数u=在点P处沿方向n的方向导数.⑶山(X2+y2+z)dv,其中。是由曲线y2=2z绕z轴旋转一周而成的Q］X=0曲面与平面4所围城的立体.z=4四、(本题满分6分)过点O(0,0)和A任,0)的曲线族y=aSinx(a>0)中,求一条曲线l使沿该曲线°从到A的积分J(1+y3)dx+(2x+y)dy的值最小.L五、(本题满分8分)将函数f(x)二2+|x|(-l<x<1)展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数£丄的和.n2n=1六、(本题满分7分)设函数f(x)在［0,1］上连续,(0,1)内可导，且3J；f(x)dx=f(0),证明在3(0,1)内存在一点c,使广(c)=0.七、(本题满分8分)已知a=(1,0,2,3),a=(1,1,3,5),a=(1,-1,a+2,1),a=(1,2,4,a+8)及1234卩=(1,1,b+3,5).⑴a、b为何值时B不能表示成a,a,a,a的线性组合？，卩1234⑵a、b为何值时B有a,a,a,a的唯一的线性表示式？写出该表，P1234示式.八、（本题满分6分）设A是n阶正定阵,E是n阶单位阵，证明A+E的行列式大于1.九、（本题满分8分）在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点p（x,y）处的曲率等于此曲线在该点的法线段pQ长度的倒数（Q是法线与x轴的交点），且曲线在点（口）处的切线与x轴平行.十、填空题（本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上）⑴若随机变量x服从均值为2、方差为。2的正态分布，且P{2<X<4}=0.3,则P{X<0）=（2）随机地向半圆0<y<£07二2（a为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x轴的夹角小于巴的概率为.4十一、（本题满分6分）设二维随机变量（x,Y）的密度函数为2e-（x+2y）x>0,y>0

f（X'⑴o€其它求随机变量Z=X+2Y的分布函数.年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)⑴设函数y=y(x)由方程ex+y+cos(xy)=0确定,则空=.dx⑵函数u二ln(x2+y2+z2)在点M(1,2,-2)处的梯度grad=

⑶设f(x)r-1〜<x<o，则其以2“为周期的傅里叶级数在1+x20<x<兀y'+ytanx=cosxabab…ab11121nabab…ab21212nabab…ab⑸设A=nnn1n2的通解为y=点x⑸设A=nnn1n2的通解为y=,其中a主0,b主0,(i=1,2,…,n).则矩阵iiA的秩r(A)二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)⑴当x-］时,函数1e盒的极限x—1等于2(B)等于0为g(D)不存在但不为g(2)级数£(—1)n(1—cosa)(常数a〉0)nn=1⑷发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与a有关⑶在曲线x=t,y=—12,z=13的所有切线中，与平面x+2y+z=4平行的切线⑷只有1条(B)只有2条(C)至少有3条(D)不存在⑷设f(x)=3x3+x2x|，则使f(n)(0)存在的最高阶数n为(A)0(B)1

「01-「「-102_(D)4—2—201—10111(C)-112001(C)2(D)3'0、1<-1>都是线性方程组AX=0的解，只要系数矩(B)⑷(C)2(D)3'0、1<-1>都是线性方程组AX=0的解，只要系数矩(B)⑷[-2⑴求iimex-sinx-1.xtO1—1—X2⑵设z=f(exsiny,x2+y2),其中f具有二阶连续偏导数，求玉.Jdxdy⑶设f(x)J1+x2x§0，求J3f(x—2)dx.e—xx>01四、（本题满分6分）求微分方程y”+2y'—3yje—3x的通解.五、（本题满分8分）计算曲面积分(x3+az2)dydz+(y3+ax2)dzdx+(z3+ay2)dxdy，其中丫为上半球面z=pa2-x2—y2的上侧.六、（本题满分7分）设f"(x)<0,f(0)=0,证明对任何x>0,x>0,有f(x+x)<f(x)+f(x).七、（本题满分8分）在变力F=yziJzj+xyk的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面竺+竺+竺=1上第一卦限的点M（g,耳,匚），问当「门、匚取何值时，力fa2b2c2n所做的功W最大?并求出W的最大值.八、（本题满分7分）设向量组a,a,a线性相关,向量组a,a,a线性无关，问：123234（1）a能否由a,a线性表出?证明你的结论.TOC\o"1-5"\h\z123（2）a能否由a,a,a线性表出?证明你的结论.4123九、（本题满分7分）设3阶矩阵A的特征值为九二1,九二2,九二3,对应的特征向量依次为A123(1](1](1]1,g2=2'g3=3,又向量°=2丄<4丿<9丿13丿TOC\o"1-5"\h\z（1）将°用g,石,g线性表出.卩123⑵求Anp（n为自然数）.十、填空题（本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题

中横线上）⑴已知p（a）=p（b）=p（C）=1,p（AB）=0,p（AC）=p（BC）=1,则事件A、46B、C全不发生的概率为.⑵设随机变量X服从参数为1的指数分布，则数学期望E{X+e-2x}=•十一、（本题满分6分）设随机变量X与Y独立,X服从正态分布N（卩Q2）,Y服从［“,兀］上的均匀分布,试求Z=X+Y的概率分布密度（计算结果用标准正态分布函数①函数①表示，其中0（x）=t22dt)•年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)⑴函数f(x)=ix(2-丄)dt(x>0)的单调减少区间为1vt(0,3x2(0,3x2+2y2=12绕轴旋转z=0y朽，运)处的指向外侧的单位法向量为_(2)由曲周得到的旋转面在点(3)设函数f(x)=兀x+x2(一兀<x<兀)的傅里叶级数展开式为ag/oag/o+乙(a2nn=1cosnx+bsinnx),n则其中系数b的值为3⑷设数量场u=l^.'x2+y2+z2，则div(gradu)=⑸设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且A的秩为n一1,则线性方程组AX=0的通解为.二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)⑴设f(x)=isinxsin(t2)dt,g(x)=x3+x4,则当x一0时,f(x)是g(x)的0等价无穷小(B)同价但非等价的无穷小(C)高阶无穷小(C)高阶无穷小xx=1xx=1(2)双纽线(x2+y2)2=x2一y2所围成的区域面积可用定积分表示为(A)(A)2f4cos20d00(C)2f4、：cos20d00⑶设有直线i•x一1二y-5二z+8「1-21⑷兰6(C)巴3(B)4fTcos20d00(D)1f：(cos20)2d020与i:x-y=6则i与i的夹角为22y+z=312(B)-4(D)色2设曲线积分f[f(t)-ex]sinydx-f(x)cosydy与路径无关,其中(B)t(B)t=6时p的秩必为2(C)心(C)心6时p的秩必为1(D)心6时p的秩必为2(A)e-x—ex(B)ex—e-x22(C)ex+e-x1(D)1ex+e-x22「123「⑸已知Q=24t,P为三阶非零矩阵,且满足PQ=0,则369f(x)具有一阶连续导数，且f(0)=0,则f(x)等于(A)t=6时p的秩必为1三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求21lim(sin+cos(1)求21lim(sin+cos)x⑵求fdx.xex⑶求微分方程x2y，+xy=y2,满足初始条件y=1的特解.四、（本题满分6分）计算2xzdydz+yzdzdx—z2dxdy,其中工是由曲面z=、：兀2+y2与z=丄2-x2-y2所围立体的表面外侧.五、（本题满分7分）求级数才(-l)n(n2-n+1)的和.2nn=0六、（本题共2小题,每小题5分,满分10分）⑴设在［0,+8）上函数f（x）有连续导数，且f（x）>k>0,f（0）<0,证明f（x）在（0,+8）内有且仅有一个零点.⑵设b⑵设b>a>e证明ab>ba.七、（本题满分8分）已知二次型f（x,x,x）=2x2+3x2+3x2+2axx（a>0）通过正交变换化12312323成标准形f=y2+2y2+5y2,求参数a及所用的正交变换矩阵.123八、（本题满分6分）设A是nxm矩阵,B是mxn矩阵，其中n<m,I是n阶单位矩阵，若AB=I证明B的列向量组线性无关.九、（本题满分6分）设物体A从点©］）出发，以速度大小为常数v沿y轴正向运动•物

体B从点(-1,0)与A同时出发,其速度大小为2v,方向始终指向A试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程，并写出初始条件.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为(2)设随机变量X(2)设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布,则随机变X2(0,4)内的概率分布密度fY(y)=十一、(本题满分6分)设随机变量%的概率分布密度为/(x)=1e川,x<+^2⑴求X的数学期望EX和方差DX.求X与|x|的协方差，并问X与|x|是否不相关？⑶问X与|X|是否相互独立?为什么？

1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)limcot兀((1)limcot兀(—-—xT0sinxx曲面z一ex+2xy=3在点(1,2,0)处的切平面方程为TOC\o"1-5"\h\z⑶设u=e一xsin兰,则宾在点⑵丄)处的值为«yoxoy兀(4)设区域D为x2+y2<R2,—.Da2b2D⑸已知a=[1,2,3],0=[1,2,3],设a=a‘卩,其中出是a的转置，则An=.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)设冬sinxM=J2-一兀1+x22cos4xdx,N=J2(sin3x+cos4x)dx,P=J2(x冬sinxM=J2-一兀1+x2222(A)(B)M<P<N(A)(B)M<P<N(C)N<M<P(D)P<M<N(2)二兀函数f(xy)在点(x,y)处两个偏导数f'(x,y)、f'(x,y)存00x00y00(B)必要条件而(D)既非充分条件(3)(B)必要条件而(D)既非充分条件(3)设常数九〉°,且级数£a2nn=1收敛,则级数£(_1)nn2+九n=1在是f(x,y)在该点连续的⑷充分条件而非必要条件非充分条件(C)充分必要条件又非必要条件⑷发散(C)绝对收敛(A)b=⑷发散(C)绝对收敛(A)b=4d(B)b=-4d条件收敛(D)收敛性与九有关⑷limatanx+b(1-cosx)=2,其中a2+c2丰o,则必有xtOcln(1-2x)+d(1-e-x2)(D)⑸已知向量组a,a,a,a线性无关，则向量组(D)12341994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)limcot兀((1)limcot兀(—1—xT0sinxx曲面z-ex+2xy=3在点(1,2,0)处的切平面方程为⑶设u=e-xsin二则冀在点(2,1)处的值为yuxoy兀

TOC\o"1-5"\h\z⑷设区域D为x2+y2<R2,则[f(兰+22)dxdy=.Da2b2D⑸已知a=[1,2,3],0=[1,2,3],设a=a‘卩,其中出是a的转置，则An=.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设M=f2■Sinxcos4xdx,N=f一兀1+x2_2(A)N<P<M2(sin3xM=f2■Sinxcos4xdx,N=f一兀1+x2_2(A)N<P<M22(B)M<P<N(C)N<M(C)N<M<P(2)二兀函数f(x,；)在点(x,；)00在是f(x,y)在该点连续的⑷充分条件而非必要条件(D)P<M<N处两个偏导数f：(x0,y0)、f；(x0,y。)存必要条件而非充分条件充分必要条件既非充分条件充分必要条件既非充分条件又非必要条件MJn=n2MJn=n2+九(3)设常数九〉°,且级数£°2收敛,则级数艺(一1)nnn=1n=1(B)条件收敛⑷发散(C)绝对收敛(D)收敛性与九有关⑷恤atanx+b(l-cosx)二2,其中a2+c2丰0,则必有xtocln(l-2x)+d(1-e-x2)（B）b一4d(C)a=4c（D）(C)a=4c⑸已知向量组a,a,a,a线性无关，则向量组1234⑷a+a,a+a,a+a,a+a线性无关12233441(B)a-a,a-a,a-a,a-a线性无关12233441(C)a+a,a+a,a+a,a-a线性无关12233441(D)a+a,a+a,a-a,a-a线性无关12233441三、（本题共3小题,每小题5分,满分15分）⑴设x=cos(t⑴设x=cos(t2)21y=tcos(t2)-ftcosudui2ju，求空、dx如在t二匹的值.dx22⑵将函数f(x)二亠土+1arctanx-x展开成x的幂级数.41-x2(3)求fdx.sin(2x)+2sinx四、（本题满分6分）计算曲面积分口xdydz+z2dxdy,其中S是由曲面x2+y2=R2及x2+y2+z2SSz=R,z一R（R>0）两平面所围成立体表面的外侧.五、（本题满分9分）设f（x）具有二阶连续函数,f（0）=0,广（0）=1,且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy=0为—全微分方程，求f(x)及此全微分方程的通解.六、(本题满分8分)设f(x)在点x=0的某一邻域内具有二阶连续导数,且lim迪=0,xT0x证明级数,f(1)绝对收敛.nn=1七、(本题满分6分)已知点a与b的直角坐标分别为(i,o,o)与(0,1,1).线段AB绕x轴旋转一周所成的旋转曲面为S求由S及两平面z=0,z=1所围成的立体体积.八、(本题满分8分)设四元线性齐次方程组(I)为xi+x2=0,x—x=0

24又已知某线性齐次方程组(II)的通解为k(0,1,1,0)+k(—1,2,2,1).12⑴求线性方程组(I)的基础解析.问线性方程组(I)和(II)是否有非零公共解?若有，则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.九、(本题满分6分)设A为n阶非零方阵，A*是A的伴随矩阵，A，是A的转置矩阵，当A*=A，时，证明A|丰0.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)⑴已知A、B两个事件满足条件P(AB)=P(AB),且P(A)=p,则P(B)⑵设相互独立的两个随机变量%,Y具有同一分布率，且X的分布率为则随机变量z=max{X,Y}的分布率为十一、(本题满分6分)设随机变量X和Y分别服从正态分布N(1,32)和N(0,42),且X与Y的相关系数p一1,设Z=X+Y,xy2'32’⑴求Z的数学期望EZ和DZ方差.求X与Z的相关系数p.XZxz问乂与Y是否相互独立?为什么？(2)(2)设在[0,1]上f"(x)>0,贝°广(0),f'(1),f(1)—f(0)或f(0)—f(1)的大小1995年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷一、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上）lim(l+3x)Si^X=.xT0竺j0xcos12dt='dxx2(3)设((3)设(axb)・c=2,[(a+b)x(b+c)]・(c+a)(4)幂级数艺nx2n一i的收敛半径R=<2n+(—3)nn=l⑸设三阶方阵A,B满足关系式A—iBA=6A+BA,且A=000则B=二、选择题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设有直线L:x（1）设有直线L:x+3y+2z+1=0,及平面2x—y—10z+3=0:4x—2y+z—2=0,则直（B）在（B）在冗上（D）与冗斜交⑷平行于冗（C）垂直于冗

顺序是(A)厂(1)>广(0)>f⑴-f(0)⑻f(1)>f(1)-f(0)>f'(0)(C)f(1)-f(0)>f'(1)>f'(0)(D)f'(1)>f(0)-f(1)>f'(0)⑶设f(x)可导，F(x)二f(x)(1+|sinx|),则f(0)=0是F(x)在x=0处可导的充分必要条件充分条件但非充分必要条件充分条件但非必要条件(C)必要条件但非充分条件(C)必要条件但非充分条件(D)既非充分条件又非必要条件⑷设u=(-1)⑷设u=(-1)nln(1+丄),则级数nn与艺u2都收敛nn=1收敛，而艺u2发散⑷为un=1(C)艺un=1nn=1(B)艺u与艺u2都发散nn=1(D)另unn=1nn=1收敛，而艺u2nn=1发散(A)APP12=B(A)APP12=B(C)PPA=B12(B)APP=B21(D)PPA=B21aaaaaa「010-「100_111213111213aaa,B=aaa,P=100,P=01021222321222312aaaaaa0011013132333132331——11——1(5)A=,则必有三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)⑴设u=f(x,y,z),cp(x2,ey,z)=0,y=sinx,其中f,申都具有一阶连续偏导数，且殂“.求包.dzdx⑵设函数f(x)在区间[0,]]上连续，并设f1f(x)dx二A,求0f1dxf1f(x)f(y)dy.0x四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)⑴计算曲面积分口zdS,其中z为锥面z巳E在柱体x2+y2<2x内的部分.⑵将函数f(x)=x_1(0<x<2)展开成周期为4的余弦函数.五、(本题满分7分)设曲线L位于平面xOy的第一象限内丄上任一点M处的切线与y轴总相交，交点记为A.已知阿卜网,且L过点(3,3),求L的方程.^2^2六、(本题满分8分)恒有设函数Q(x,y)在平面xOy上具有一阶连续偏导数，曲线积分恒有f2xydx+Q(x,y)dy与路径无关,并且对任意Lf(t」)2xydx+Q(x,y)dy=(0,0)f(1,t)2xydx+Q(x,y)dy,f(t」)2xydx+Q(x,y)dy=(0,0)(0,0)七、(本题满分8分)假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,并且试证:g"(x)工0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0,⑴在开区间（a,b）内g（x）主0.（2）在开区间（ab）内至少存在一点芒使週—皿g忆）g〃忆）■八、（本题满分7分）设三阶实对称矩阵A的特征值为九=_1,九亠=1,对应于九的特征A1231O向量为铲1,求A1九、（本题满分6分）设A为n阶矩阵，满足AA,=I（I是n阶单位矩阵,A，是A的转置矩阵）,|A<0,求|A+1.十、填空题（本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上）⑴设X表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则%2的数学期望E（X2）=.⑵设X和Y为两个随机变量，且P{X>0,Y>0}=3,P{X>0}=P{Y>0}=4,77则P{max（X,Y）>0}=.一、（本题满分6分）设随机变量X的概率密度为fx(x)=求随机变量Y=eX的概率密度fY(y).年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)TOC\o"1-5"\h\z⑴设iim(x±：2a)x二&则a=.xsx—a⑵设一平面经过原点及点_3,2),且与平面4x-y+2z=8垂直，则此平面方程为.⑶微分方程y〃—2y+2y=ex的通解为.⑷函数u=ln(x+*y2石)在点a(1,0,1)处沿点a指向点b(3,-2,2)方向的方向导数为.「102_⑸设A是4X3矩阵，且A的秩r(A)=2,而B=020,则—103r(AB)=.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)⑴已知(X+ay)dx+ydy为某函数的全微分,。则等于(x+y)2-1(B)01(D)2⑵设f(x)具有二阶连续导数，且广(0)二0,lim加二1,则xt0卜|

(A)f(0)是f(x)的极大值(B)f(0)是f(x)的极小值(0,f(0))是曲线y二f(X)的拐点f(0)不是f(x)的极值,(0,f(0))也不是曲线y二f(x)的拐点(3)设a>0(n二1,2,…),且为a收敛，常数仁(0更)则级数nn2n=18九乙(_1)n(ntan一)an2nn=1绝对收敛(B)条件收敛(0发散(D)散敛性与入有关⑷设有f(x)连续的导数,f(0)=0,f'(0)丰0,F(x)=Jx(x2_12)f(t)dt,且0当x-0时,F，(x)与xk是同阶无穷小，则k等于1(B)2(C)34(C)3(5)四阶行列式b1000b2b30(5)四阶行列式b1000b2b300a2a30Qloo力的值等于(A)aaaa_bbbb12341234(B)aaaa+bbbb12341234(C)(aa_bb)(aa_bb)12123434(D)(aa_bb)(aa_bb)23231414三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)(1)求心形线r=a(1+cos0-):的全长，其中a>0是常数.⑵设x=10,x=•J6+x(n=1,2,...),试证数列｛x｝极限存在，并求此1n+1nn极限.四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)计算曲面积分u(2x+z)dydz+zdxdy,其中S为有向曲面Sz=x2+y2(0<X<1),其法向量与z轴正向的夹角为锐角.设变换u=X-2y可把方程6空+空一竺二0简化为竺=0,v=X+aydx2dxdydy2dudv求常数a.五、(本题满分7分)求级数£I的和.(n2-1)2nn=1六、(本题满分7分)设对任意x>0,曲线y=f(X)上点(X,f(x))处的切线在y轴上的截距等于-Jxf(t)dt,求f(x)的一般表达式・x0七、(本题满分8分)设f(%)在［0,1］上具有二阶导数,且满足条件|f(x)|<a,|八x)|<b,其中a,b都是非负常数,c是(0,1)内任意一点•证明|广(c)|<2a+|.八、(本题满分6分)设A=I-塞T,其中】是n阶单位矩阵卫是n维非零列向量,寧是g的转置・证明(1)A2=A的充分条件是gTg=1.⑵当匪=1时,A是不可逆矩阵.九、（本题满分8分）已知二次型f（X已知二次型f（X1,X2,X3）=5x2+5x2+cx2一2xx+6xx一6xx123121323的秩为2,（1）求参数c及此二次型对应矩阵的特征值.⑵指出方程f（x,x,x）=1表示何种二次曲面.123十、填空题（本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上）（1）设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品,则该次品属A生产的概率是.⑵设g耳是两个相互独立且均服从正态分布n（0（丄）2）的随机变2量,则随机变量^一刑的数学期望e（|g-n|）=.一、（本题满分6分）设gn是两个相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知g的分布率为P的分布率为P（^=i）=1,i=1,2,3.又设又设X=max（g,耳）,Y=min（g,耳）.11223112233⑵求随机变量X的数学期望E(X)年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)3sinx+x2cos丄_lim—=*XT°(1+cosx)ln(1+x)axn

nn=1设幂级数£axn的收敛半径为3,则幂级数axn

nn=1区间为⑶对数螺线p=ee在点(p,e)=(e1J处切线的直角坐标方程为22

t2

t-13,B为三阶非零矩阵，且1袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内){xy=L(x，y)*(0,0)，在点(0,0)处0(x,y)=(0,0)

存在连续，偏导数存在连续，偏导数不(D)连续，偏导不连续，偏导数存在存在连续，偏导数存在连续，偏导数不(D)连续，偏导S=i19f(x)dx,S12=f(a)+f(b)］(b-a),2(A)S<S<S123(C)S<S=i19f(x)dx,S12=f(a)+f(b)］(b-a),2(A)S<S<S123(C)S<S<S312⑶设F(x)二ix+2兀esintsintdt,则F(x)x(A)为正常数(B)S<S<S213(D)S<S<S231(B)为负常数(C)恒为零(D)不为常数⑷设a1aia,a=,a=cic22232abc333,则三条直线ax+by+c=0,111ax+by+c=0,222ax+by+c=0333(其中a2+b2丰0,/=1,2,3)交于一点的充要条件是iia,a,a线性相关(B)a,a,a线性无关123123(C)秩r(a,a,a)=秩r(a,a)(D)a,a,a线性相关,a,a1231212312线性无关⑸设两个相互独立的随机变量%和Y的方差分别为4和2,则随机变量3X-2Y的方差是

(B)16(D)448(B)16(D)44(C)28三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)⑴计算I=川(x2+y2)dv,其中G为平面曲线y2-2z绕z轴旋转一QX=0周所成的曲面与平面z8所围成的区域.⑵计算曲线积分込(z-y)dx+(x-z)dy+(x-y)dz,其中c是曲线x2+y2=1从z轴正向往z轴负向看c的方向是顺时针的.x一y+z=2在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的,设该人群的总人数为N在t=0时刻已掌握新技术的人数为x°,在任意时刻t已掌握新技术的人数为x(t)(将x(t)视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数k〉0,求x(t).四、(本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题7分,满分13分)⑴设直纯：x+y+b=0在平面冗上,而平面“与曲面z=x2+y2vx+ay—z—3=0相切于点(1,—2,5),求a,b之值.⑵设函数f(u)具有二阶连续导数，而z=f(exsiny)满足方程6262z6x2=e2xz,求f(u).五、(本题满分6分)设f(x)连续，申(x)=J1f(xt)dt,且limf(x)=A(A为常数)，求『(x)并讨0xt0x论"(x)在x=0处的连续性.六、(本题满分8分)设a=0,a=丄(a+丄)(n=1,2,..・),证明1n+12nan(1)lima存在.nxT8(2)级数£丄-1)收敛.an=1n+1七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分)⑴设B是秩为2的5x4矩阵,a=[1,1,2,3]t,a=[-1,1,4,-1]t,a=[5,-1,-8,9]t是齐次线性方程组B*=o的123解向量，求Bx=0的解空间的一个标准正交基.-1--2-12_(2)已知©=1是矩阵A=5a3-1-1b-2的一个特征向量.1)试确定a,b参数及特征向量©所对应的特征值.2)问A能否相似于对角阵?说明理由.八、(本题满分5分)设A是n阶可逆方阵，将A的第.行和第•行对换后得到的矩阵记为AnAij(1)证明B可逆.⑵求AB-1.

九、（本题满分7分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设再各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是5设x为途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布律、分布函数和数学期望.十、（本题满分5分）(9+1)(9+1)x90<x<10J其它f（x）=其中9>_1是未知参数,X,X,X是来自总体X的一个容量为n的简12n单随机样本,分别用矩估计法和极大似然估计法求9的估计量.年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)1(1)1+x++1—x—2=limXT0X2(2)设z(2)设z=-f(xy)+y申(X+y),f,申x具有二阶连续导数,则d2z=dxdy(3)设l为椭43(3)设l为椭431,其周长记为6(2xy+3x2+4y2)ds=(L⑷设A为n阶矩阵,|A|士0,A*为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵•若A有特征值入,则(A*)2+E必有特征.⑸设平面区域D由曲线y=1及直线y=0,x=1,x=e2所围成，二维随x机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布，则(X,Y)关于X的边缘概率密度在x=2处的值为二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)⑴设f(x)连续，则邑Jxf(x2—12)dt=dx0(A)xf(x2)(B)—xf(x2)(C)2xf(x2)(D)—2xf(x2)

⑵函数f(x)=(X2-x-2)x3-x|不可导点的个数是3(B)2(C)1(D)0⑶已知函数y=y(x)在任意点x处的增量Ay=d+a,且当AxT01+x2时q是Ax的高阶无穷小，y(0)=.，则y⑴等于(A)2“(B)“(C)e4(D)“e4设矩阵abiab2ab33abiab2ab33c1c2c3是满秩的,则直线x-ay-b=3a-ab-b1212z一c3-c-c12与直线x-ay-bz-c1—=L=1-a-ab-bc-c232323(B)重合(A)(B)重合(C)平行但不重合(D)异面⑸设A,B是两个随机事件，且0<P(A)<1,P(B)>0,P(BIA)=P(BIA),则必有(A)P(A|B)=P(A|B)(B)P(AIB)丰P(AIB)(C)P(AB)=P(A)P(B)(D)P(AB)丰P(A)P(B)三、(本题满分5分)求直线l：□=工=Ml在平面一xy+2zi=0上的投影直线/的'll-1•0方程，并求i绕轴旋转一周所成曲面的方程.l0y四、(本题满分6分)确定常数人使在右半平面x>0上的向量

A(x,y)二2xy(x4+y2)九i-x2(x4+y2)九j为某二元函数u(x,y)的梯度,并求u(x,y).五、(本题满分6分)从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用•设仪器的质量为体积为B海水密度为仪器所受的m,B,p,阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k>0,试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式y=y(v,六、(本题满分7分)计算axdydz+(z+a)2dxdy,其中£为下半平面z二-細2-x2-y2的上(x2+y2+z2)12£侧为大于零的常数.,a七、(本题满分6分)求limxS.求limxS.兀

sm—n+n+1sin兰+•••+sin兀八、(本题满分5分)设正向数列｛a｝单调减少，且—-1)na发散，试问级数三(丄)n是n=1nnan=1否收敛?并说明理由.

九、（本题满分6分）设y=f⑴是区间［0,］］上的任一非负连续函数.⑴试证存在xe（0,1）,使得在区间［0,X］上以f（x）为高的矩形面积，000等于在区间％,1］上以y=f（x）为曲边的曲边梯形面积.⑵又设f（x）在区间（°」）内可导，且f，（x）>_fl,证明⑴中的x是x0唯一的.十、（本题满分6分）已知一次曲面方程x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4可以经过正交变换xy=xy=pnz匚化为椭圆柱面方程中+牝2=4,求a,b的值和正交矩阵p.十一、（本题满分4分）设A是n阶矩阵，若存在正整数公使线性方程组Akx=0有解向量且a,Ak-ia主0.证明：向量组a,Aa，…,Ak-ia是线性无关的.十二、（本题满分5分）已知方程组ax+ax++ax=01111221,2n2nax+ax++ax=02112222,2n2nax+ax++ax=0n11n22n,2n2n的一个基础解析为(b,b，…,b)t,(b,b，…,b)T,・・・,(b,b，…,b)T.试11121,2n21222,2nn1n2n,2n写出线性方程组j（II）的通解，并说明理由.j（II）的通解，并说明理由.by+byHFby二01111221,2n2nby+byFFby二02112222,2n2nby+byFFby二0n11n22n,2n2n十三、（本题满分6分）设两个随机变量XY设两个随机变量XY相互独立,且都服从均值为0、方差为1的正态2分布，求随机变量|X-y|的方差.十四、（本题满分4分）从正态总体N（3.4,62）中抽取容量为n的样本，如果要求其样本均值位于区间w）内的概率不小于0・95,问样本容量n至少应取多大？附:标准正态分布表z1.281.6451.962.33①(x)0.9000.9500.9750.990Q(x)二iz—g1<2t22dt十五、（本题满分4分）设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生地成绩,算得平均成绩为66・5分,标准差为15分・问在显著性水平0・05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程.附:t分布表0.950.975351.68962.0301361.68832.0281P{t(n)<t(n)}=pp年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)TOC\o"1-5"\h\z⑴lim(丄=.x-°x2xtanx竺jxsin(x-1)2dt=•dx0y〃-4y二e2x的通解为y=.设n阶矩阵A的元素全为1,则A的n个特征值是■设两两相互独立的三事件A,B和C满足条件:ABC=0,P(A)=P(B)=P(C)<丄，2且已知p(aUBUC)=—,贝卩P(A)=*16二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)⑴设f(x)是连续函数,F(x)是f(x)的原函数，则⑷当f(x)是奇函数时,F⑴必是偶函数(B)当f(x)是偶函数时,F(x)必是奇函数(C)当f(x)是周期函数时,F(x)必是周期函数(D)当f(x)是单调增函数时F(x)必是单调增函数厂1—cosxo⑵设f(x)=\-jTx>0，其中g(x)是有界函数，则f(x)在x=o处、x2g(x)x<0(A)极限不存在(C)连续，但不可导(D)可导⑶设f(x(A)极限不存在(C)连续，但不可导(D)可导⑶设f(x)=<9S(x)=ar+才acosn兀x,一g<x<+x,2-2x<x<12nni其中a=2!1f(x)cosn兀xdx(n=0丄2,…)，则S(-二)n0'''“⑷12(C)345)等于2(B)_12(D)_34⑷设a是mxn矩阵,b是nxm矩阵，则⑷当m>n时，必有行列式IAB圧。(B)当m>n时，必有极限存在,但不连行列式IAB1=0(C)当(C)当n>m时，必有行列式|ab圧。(D)当n>m时，必有行列式IABI=0⑸设两个相互独立的随机变量x和Y分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1),则⑻P{x+Y<1}=2(C)P{x-Y<0}二2(D)P{x-y<1}=2三、(本题满分6分)设y=y(x),z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x,y,z)=0所确定的函数,其中f和f分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求J

四、(本题满分5分)求I=I(exsiny-b(x+y))dx+(excosy-ax)dy,其中a,b为正的常数，L为L从点A(2a,0)沿曲线y=\：2ax-x2到点o(0,0)的弧.五、(本题满分6分)设函数y(x)(x,0)二阶可导且y，(x)〉0,y(0)=1•过曲线y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S,区间［0,x］上以y=y(x)为曲线的曲边梯形面积记为并设2S-S?恒为1,求曲线y=y(x)的方程.六、(本题满分7分)论证:当x>0时,(x2一1)lnx>(x一1)2.七、(本题满分6分)0为清除井底的淤泥,用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口(见图).已知井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s，在提升过程0中,污泥以20N/s的速率从抓斗缝隙中漏掉•现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？(说明：①INxlm=lJm,N,s,J分别表示米，牛，秒，焦•②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计・)

八、(本题满分7分)p处的切平面,设S为椭球面号+号+z2=1的上半部分'点P(x,y,z)eS,“为Sp处的切平面,dS.p(x,y,z)p(x,ydS.p(x,y,z)S九、(本题满分7分)4tannxdx:n0⑴求为1(a+a)的值.nnn+2n=1⑵试证:对任意的常数九〉0级数为笃收敛.n=1十、(本题满分8分)a-1c设矩阵A=5b3,其行列式|A|=-］，又A的伴随矩阵A*有一1—c0—a个特征值九，属于九的一个特征向量为a=(-1,-1,1)T,求abc和九的值.00a,b,c0十一、(本题满分6分)设A为m阶实对称矩阵且正定，B为mxn实矩阵，BT为B的转置矩阵,试证BTab为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n.十二、(本题满分8分)设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量(x,Y)联合分布率及关于x和关于y的边缘分布率中的部分数值，试将其余数值X]1兀21P(Y=y)=p1•j11十三、（本题满分6分）6x,x，…,x是取自总体12n设x的概率密度为念）=Jo3,x，…,x是取自总体12n|o其它的简单随机样本⑴求0的矩估计量6.⑵求6的方差亦）.2000年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)⑴JiJ2x—X2dx=.0(2)曲面x2+2y2+3z2=21在点(1,—2,—2)的法线方程为⑶微分方程xy〃+3y,=0的通解为.「121_xi23a+2x=321a—2x01——*31——1无解，则a=(4)已知方程组设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则p(A)二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)⑴设f(x)、g(x)是恒大于零的可导函数，且f'(x)g(X)—f(x)g'(x)<0则当a<x<b时，有(A)f(x)g(b)>f(b)g(x)(B)f(x)g(a)>f(a)g(x)(C)f(C)f(x)g(x)>f(b)g(b)(D)f(x)g(x)>f(a)g(a)⑵设S:x2+y2+z2=a2(z>0),S为S在第一卦限中的部分，则有

1S⑷⑷JJxdS=4JJxdS⑻JJydS=4JJxdS⑷⑷JJxdS=4JJxdS⑻JJydS=4JJxdS(D)fjxyzdS-4JJxyzdSS(D)fjxyzdS-4JJxyzdSSS1SS1设级数艺u收敛，则必收敛的级数为nn=1⑷」-1)n佯(B)为U2TOC\o"1-5"\h\znnn=1n=1(C)£(u一u)(D)(u+u)2n-12nnn+1n=1n=11m卩,…,卩线性无关的充分必要条件为1m⑷向量组a，…,a可由向量组卩,…,0线性表示11m卩,…,卩线性无关的充分必要条件为1m⑷向量组a，…,a可由向量组卩,…,0线性表示1m1m⑻向量组0,…,0可由向量组a，…,a线性表示1m1m（C）向量组a，…,a与向量组0,…,01m1（D）矩阵A=（a，…,a）与矩阵B=（0，…,0）等价1m'（5）设二维随机变量等价1m(x,Y)服从二维正态分布，则随机变量g=X+Y与n=X-Y不相关的充分必要条件为(A)E(X)=E(Y)(B)E(X2)-[E(X)]2=E(Y2)-[E(Y)]2(C)E(X2)=E(Y2)(D)E(X2)+[E(X)]2=E(Y2)+[E(Y)]2三、（本题满分6分）求1讪（山+呼）.x乞1+eX国四、（本题满分5分）设z=f（xy二）+g（为，其中f具有二阶连续偏导数具有二阶连续'yy'g导数，求竺.dxdy五、（本题满分6分）计算曲线积分I=&xdy-沁，其中L是以点（1,0）为中心,R为半径的L4X2+y2，5(R(R>1),取逆时针方向.六、（本题满分7分）设对于半空间x>0内任意的光滑有向封闭曲面S,都有近）xf（x）dydz-xyf（x）dzdx-e2xzdxdy=0,其中函数f（x）在（0,+8）内具有连续S的一阶导数，且limf（x）=1,求f（x）・xT0+七、（本题满分6分）求幂级数三1xn的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛3n+（-2）nnn=1性・八、（本题满分7分）设有一半径为R的球体,P是此球的表面上的一个定点，球体上R0任一点的密度与该点到P距离的平方成正比（比例常数k>0）,求球体的重心位置・

九、（本题满分6分）设函数（x）在［0兀］上连续，且/（x）dx=oj"/（x）cosxdx二0.试证:在（0,“（0,“）内至少存在两个不同的点©,匚,使/）二/（E12）二0.122十、（本题满分6分）设矩阵A的伴随矩阵A*-设矩阵A的伴随矩阵A*-1010010—300100008，且ABA—i=BA—1+3E，其中e为4阶单位矩阵,求矩阵B.一、（本题满分8分）某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将丄熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补6齐•新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有2成为熟练工•设5第N年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为x和Y,记成向量nn成向量f4\f-1]L1f4\f-1]L1丿,n=L1丿2⑵验证n=1是A的两个线性无关的特征向量，并求出(1)求fx)n+1与fx)n的关系式并写成矩阵形式:fx)n+1二Afx)nLY+1丿+1LY丿nLY丿n+1LY丿n'x、nIY丿n相应的特征值.(3)当'X(3)当'X'1IY1丿(X)n+1IY丿n+1十二、（本题满分8分）某流水线上每个产品不合格的概率为p（0<p<]），各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为X，求X的数学期望E（X）和方差D（X）.十三、（本题满分6分）设某种元件的使用寿命X的概率密度为f（x；6）=FeVx>e，其X八]ox<e中e>0为未知参数•又设x,x，…,x是X的一组样本观测值,求参数e12n的最大似然估计值.JJ„/JJ„/2001年全国硕士研究生入学统一考试数学㈠试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)⑴设y=ex(asinx+bcosx)(a,b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为.,则div(gradr,则div(gradr)|(1,一2,2)⑶交换二次积分的积分次序：J0dyj1-yf(X,y)dx-12⑷设A2+A-4E=O，贝卩(A-2E)-1=*⑸D(X)=2，则根据车贝晓夫不等式有估计P{X-E(X)|>2}<二、选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分•每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图形如右图所示,则y=门x)的图形为'7(C)⑵设f(x,y)在点(0,0)dz(C)⑵设f(x,y)在点(0,0)dzI(0,0)3dx+dy(D)的附近有定乂，且广(0,0)=3,广(0,0)=1则xy曲面z=f(x,y)在(0,0,f(0,0))处的法向量为{3,1,1}曲线z=f(x,y)在(0,0,f(0,0))处的切向量为{1,0,3}Ly-0曲线z-f(x,y)在(0,0,f(0,0))处的切向量为{3,0,1}Iy-0则f(x)则f(x)在x=0处可导。⑷limf(1-cosh)存在ht0h2(C)limf(h-sinh)存在ht0h2r1111]r400⑷设A1111000A—1111,B-000L1111JL000⑶设f(0)-0(A)合同且相似(B)limf(1-e“)存在ht0h(D)limf(2h)_f(h)存在ht0h0)0，则A与B00丿合同但不相似(C)不合同但相似(C)不合同但相似似(B)0⑸将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y相关系数为(B)0⑷-1

(D)1(C)1(D)12三、(本题满分6分)求(arc^dx.e2x四、(本题满分6分)设函数z=f(x,y)在点(1,1)可微，且f(1,1)=1,广(1,1)=2,广(1,1)=3，9(x)=f(x,f(x,x))，求羊93(x)|-xydxxm五、(本题满分8分)设f(x)\设f(x)\兰(T)n的和.1一4n2n=11+x2arctanxx主将f(x)展开成x的幂级数,并求其中L是平面六、(本题满分7分)其中L是平面计算I=6(y2一z2)dx+(2z2一x2)dy+(3x2一y2)dz，Lx+y+z=2与柱面|x|+|y|=1的交线，从Z轴正向看去丄为逆时针方向.七、(本题满分7分)设f(x)在(一1,1)内具有二阶连续导数且f，，(x心0•证明：⑴对于vxG(一1,0)(0,1)'存在惟一的Q(x)e(0,1)、使f(x)=f(0)+xf，(0(x)x)成立.

(2)lim0(x)=0.5.xtO八、（本题满分8分）设有一高度为h（t）（t为时间）的雪堆在融化过程，其侧面满足方程z=z=h(t)-忖（设长度单位为厘米,时间单位为小时），已知体积减少的速率与侧面积成正比（系数为0.9）,问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少时间?九、（本题满分6分）设a,a,a为线性方程