2022-2023学年山东省烟台市高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省烟台市高一2022-2023学年山东省烟台市高一(下)期末数学试卷一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)1.若随机事件A,B互斥，且P(4)=0.6,P(B)=0.3,贝IJP(AUB)=()A.0B.0.18C.0.6D.0.92.下列几何元素可以确定唯一平面的是()A.三个点B.圆心和圆上两点C.梯形的两条边D.一个点和一条直线3.若一水平放置的正方形的边长为2,则其用斜二测画法得到的直观图的面积是()A.yplB.2C.2<7D.44.某汽车生产厂家用比例分配的分层随机抽样方法从4,B,C三个城市中抽取若干汽车进行调查，各城市的汽车销售总数和抽取数量如表所示，则样本容量为()A.60B.80C.100D.1205.在正四面体S-ABC中，D,E分别是SC,中点，则DE与BS所成角的大小为()anD-n26.甲、乙、丙三人破译一份密码，若三人各自独立破译出密码的概率为：，且他们是否破译出密码互不影响，则这份密码被破译出的概率为()A.音B.言C.§D.：7.如图，圆锥PO的侧面展开图是半径为5、圆心角为餐的扇形，过大P。上一点。'作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，/当圆柱的侧面积最大时，相应圆柱的体积为()城市ABC城市ABC销隽总数抽取数量mn二、多选题(本大题共4小题，共20.0二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)9.己知m,n为空间中两条不同的直线，a,们*为空间中三个不同的平面，则()A.若a1/?,ml。，则m//pB.若m〃a,mug,aC\p=n,贝^m//nC.若m1a,1们m//n,则a///?D.若aly,aD#=m,则mly10.某学校对高一学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五种组合,其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则()..C.A.该校高一学生总数为800B.该校高一学生中选考物化政组合的人数为96厂9tttt8.如图，一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8,抛掷这个正八面体两次，记它与地面接触的面上的数字分别为X,y，则\x-y\<2的概率为()HBDBDcc.该校高•学生中选考物理的人数比选考历史的人数多D.用比例分配的分层随机抽样方法从该校高一学生抽取20人，则生史地组合抽取6人11.一个袋子中有标号分别为1、2、3、4的4个球，除标号外没有其他差异.从袋中随机摸球两次，每次摸出1个球，设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”，事件B="第二次摸出球的标号小于3”，则以下结论错误的有()A.若摸球方式为有放回摸球，则4与B互斥B.若摸球方式为有放回摸球，则4与E相互独立C.若摸球方式为不放回摸球，则4与E互斥D.若摸球方式为不放回摸球，则4与E相互独立12.在枝长为1的正方体ABCD-AiBiGDi中，E,F分别是AD,中点，M,N,G,〃分别是线段AB,C】Di，AClf时[上的动点，则()A.存在点M,N,使得EN//MC]B.三棱锥C-MND的体积为定值C.CG+GH的最小值为:D.直线CE与所成角的余弦值的取值范围为[0,§]三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.某学校高一男生、女生的人数之比为4：5,现采用比例分配的分层随机抽样方法抽取90人，若样本中男生的平均身高为171cm,女生的平均身高为160.2cm,则该校高一学生平均身高的估计值为(单位：cm).14.己知正四棱台上、下底面边长分别为2和4,侧棱长为3,则此棱台的体积为.15.我国古代典籍倜易力用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从-----下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻"—”和阴爻“一一"，如图就----------是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有1个阳爻的概率是16.边长为2的正三角形ABC中，分别为AB.AC中点，将沿DE折起,使得础1BD,则四棱锥4-BCED的体积为,其外接球的表面积为四、解答题(本大题共6四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题10.0分)某农场在两块面积相同的水稻试验田中分别种植甲、乙两种水稻，已知连续6季的产量如表:甲/kg550580570570550600乙/kg540590560580590560现在该农场决定选择其中一种水稻进行推广种植，若你是农场经营者，你会如何选择？请使用统计学的有关知识进行说明.18.(本小题12.0分)如图，在三棱锥D-4BC中，DA_L底面ABC,AB1BC.(1)证明：平面CBD1平面/MB：(2)若DA=AB=纣C,求直线CA与平面DBC所成角的正弦值.19.(本小题12.0分)某商场随机抽取了100名员工的月销售额x(单位:千元)，将x的所有取值分成[5,10),[10,15),[15,20),[20,25),[25,30]五组，并绘制得到如图所示的频率分布直方图,其中b=2a.(1)求q,b的值；(2)设这100名员工月销售额的第75百分位数为p.为调动员工的积极性，该商场基于每位员工的月销售额x制定如下奖励方案：当某员工的月销售额x不足5千元时，不予奖励；当xe[5fp-7)时，其月奖励金额为0.3千元；当xe[p-7,p+3)时，其月奖励金额为0.8千元；当x不低于(p+3)时，其月奖励金额为1.1千元.根据频率分布直方图，用样本频率近似概率，估计上述奖励方案下该商场一名员工的月奖励金额的平均值.D2020.(本小题12.0分)如图，在正三棱柱ABC-A^B^中，D是BC中点.(1)证明：A[BII平面ACrD；(2)若AB=2,ACilAiB,求A】到平面ACiD的距离.21.(本小题12.0分)如图，在圆锥P。中，P为顶点，。为底面圆的圆心，A,B为底面圆周上的两个相异动点，且OA=3C，P0=4.⑴求3AB面积的最大值;(2)已知4ABC为圆。的内接正三角形，M为线段P。上一动点，若二面角B-MA-C的余弦值为-盖，试确定点M的位置.222.(本小题12.0分)已知甲、乙两个袋子中各装有形状、大小、质地完全相同的3个红球和3个黑球，现设计如下试验：从甲、乙两个袋子中各随机取出1个球，观察两球的颜色，若两球颜色不同，则将两球交换后放回袋子中，并继续上述摸球过程：若两球颜色相同，则停止取球，试验结束.(1)求第1次摸球取出的两球颜色不同的概率；(2)我们知道，当事件4与B相互独立时，有PQ4B)=P(4)P(B).那么，当事件A与8不独立时，如何表示积事件刀B的概率呢？某数学小组通过研究性学习发现如下命题：P(AB)=P(A)P(B|4),其中P(B|A)表示事件4发生的条件下事件8发生的概率，且对于古典概型中的事件A,B,有P(B|4)=喋.依据上述发现，求“第2次摸球试验即结束”的概率.4.【答案】C答案和解析【解析】解：随机事件A,B互斥，且P(4)=0.6,P(B)=0.3,所以P(4UB)=PQ4)+P(B)=0.6+0.3=0.9.故选：D.由互斥事件概率加法公式计算.本题考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.【解析】解：根据题意，依次分析选项：对A,三个不共线的点才能确定唯一平面，A错误；对B,当圆上的两点和圆心共线时，三个点不能确定唯一平面，8错误；对C,梯形的任意两条边都能确定梯形所在的平面，所以确定的平面唯一，C正确;对D,当点在直线上时，这个点和直线不能确定唯一平面，。错误，故选：C.根据题意，由平面的确定方法分析选项，综合可得答案.本题考查平面的基本性质，注意平面确定的条件，属于基础题.【解析】解：因为一水平放置的正方形的边长为2,且，心函=空5值函，所以其直观图的面积是S酉皿匆=^X2X2故选：A.本题主要考查了平面图形的直观图，属于基础题.6.【答案】D【解析】解：由题可得，A,B,C三个城市的销售总数比为3：2：5,所以3：2：5=m：20：n,所以m=30,n=50,所以样本容量为100.故选：C.根据分层抽样的方法求解.本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题.5.【答案】B【解析】解：取SA中点F,连结EF,DF,SE,CE,设正四面体S-ABC的棱长为2,因为E,P分别是砧，SA中点，所以EF//BS,所以"EF或其补角是DE与8S所成角.又ES=EC=。22—12=“，D是SC中点，在&ECS中，DE=VEC2-DC2=J(V~3)2-l2=y/~2>因为D,F分别是SC,SA中点，所以DF=^CA=1,又EP=：BS=1,在ADFE中，由余弦定理可知cose又OVzlOEF式9所以ZDEF=故选：B.设四面体棱长为2,取取SA中点F,连结EF,DF,利用三角形中位线性质作出异面直线所成的角,然后利用余弦定理求解即可.本题主要考查异面直线所成的角，考查运算求解能力，属于中档题.【解析】解【解析】解：根据题意，设这份密码被破译出为事件人所以P《)=(l-i)X(l-|)X(l-j)=|,所以p(a)=i_p(A)=m故选：D.根据题意，设这份密码被破译出为事件A,先由相互独立事件的概率公式求出pd),进而计算可本题考查相互独立事件的概率性质，涉及对立事件的概率性质，属于基础题.7.【答案】C【解析】解：设圆锥P0的底面半径为r,母线长为因为圆锥的侧面展开图是半径为5、圆心角为黑的扇形，所以圆锥的母线长为，=5,2;rr=^x5,即r=3,作出圆锥的轴截面如图所示：设圆柱的底面半径为7*1，高为X,0VX<4,由题意可知务=坪,可得万=学，3414则圆柱的侧面积S=2nrxx=y(-x2+4x)=y[-(x一2)2+4],xe(0,4),所以当x=2，n=|时，圆柱的侧面积取得最大值，此时圆柱的体积为亨.故选：C.先求出圆锥的半径和高，然后设出圆柱的底面半径和高，利用圆锥轴截面结合圆柱侧面积公式求【解析】解：由题意可得，基本事件的总数为82=64,则事件“|x-y|<2”包含的基本事件为：(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(5,7),(6,4),(6,5),(6,6),(6,7),(6,8),(7,5),(7,6),(7,7),(7,8),(8,6),(8,7),(8,8)共34个，所以事件|x-y|<2的概率P=芸=务故选：D.根据题意，分别求得基本事件的总数与满足要求的基本事件个数，即可得到结果.本题主要考查了古典概率公式的应用，属于基础题.得侧面积，利用二次函数的性质求得取得最值时圆柱的底面半径和高，代入圆柱体积公式即可求.本题考查圆柱的体积以及侧面积，考查函数思想以及运算求解能力，属于中档题.案】BCD【解析】解：对于A,若。1们m1a，则或mu们故A不正确；对于8,若m//afmuB，aC\p=n,则m〃n(线面平行的性质定理)，故8正确；对于C,若m1a,m〃n,所以n1a,又n!0且a,。是空间两个不同的平面，则。//们故C正确；对于D,a1y,1y,aA/?=m,如下图，/设aAy=a,Ay=b,在y内直线Q与b外任取一点P,在y内作PAla于A,作PB1b于8,由平面与平面垂直的性质可得PA1a,则PAlm,PB1们则PB1m,可得m1y,故。正确.故选：BCD.【解析】解：以X、y分别表示第1次、第2次摸球的编号，以(x,y)为一个基本事件.对于48选项，若摸球方式为有放回摸球，则所有的基本事件个数为42=16个，B则事件包含的基本事件有：(1,3)、(1,4)、(2,3)、(2,4),则人而#。，即4与b不互斥，人错；PG4)=P(E)=希=§,p(aB)=%=P(4)P(B),即A与B相互独立，B对；根据直线与平面、平面与平面的位置关系逐项判断可得答案.本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题.【解析】解：对于..•选科为政史地的人数为200人，占比为25%,..该校高一学生共有霸=800人，A正确；对于B,..•选科为物化生的人数为800x35%=280人，对于C,..•选考历史的人数有200+160=360人，选考物理的人数有280+80+80=440人，选考物理的人数比选考历史的人数多，C正确；对于D,..•选科为生史地的学生人数占比为黑=0.2=20%,采用分层抽样抽取20人，生史地组合应抽取20X20%=4人，D错误.故选：AC.根据政史地人数和占比可判断4;计算出物化生的人数后，可判断B;分别计算选考历史和物理的人数，可判断C;确定生史地组合人数占比后，根据分层抽样原则，可判断D.本题主要考查了统计图的应用，考查了学生的计算能力，属于基础题. B事件包含的基本事件有：(1,3)、(1,4)、(2,3)、(2,4),共4种，则ADB。。，即4与B不互斥，C错；P(4)=P(E)=$=3P(两=寿=扣P(4)P(E),即刀与B不相互独立，D错.故选：ACD.以x、y分别表示第1次、第2次摸球的编号，以(x,y)为一个基本事件，列举出所有的基本事件，以及事件4、B、4方所包含的基本事件，利用互斥事件以及独立事件的定义逐项判断，即可得出合适的选项.本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了互斥事件和独立事件的定义，属于中档题.则0(0,0,0),F(|,0,0),4(1,0,0),B(l,l,0),C(0,l,0),为(1,0,1),务(1,1,1),0(0,0,1),%(0,1,1),f(o,o,9，设M(l,cz,0),N(0,b,l),设AH=tAD^(0<t<1)»则H(1-t,0,设AG=AAC^(0<A<1)，则对于选项A,应7=(-抑,1),祠=(-1,1-")，若ENj/MCi，则EJV//MQ,12.【答案】BCD【解析】解：以D为原点，分别以以、DC.硝方向为x轴、y辄z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：-51X+9-2-51X+9-25-所以直线CE与MF所成角的余弦值的取值范围为[0,|],故D正确.故选：BCD.建立空间直角坐标系，利用线线平行的坐标运算判断1利用等体积法判断B：利用空间中两点距4,4<2所以-所以ZZ=_L=1,矛盾，故不存在点M,N,使得ENHMC]，错误；a1对于选项8,因为平面ABA\BJ/平面CDDgi，所以点M到平面CDDQ的距离为正方体的棱长1,又Smnd=jxlxl=|,所以VC.MND=Vm—cnd=|x|x1=§为定值,故B正确；所以CG+GH=\CG\-^\GH\=J(1-疔+0—1)2+足+J(义一《)2+(_】)2+。一疔=V3A2-4A+2+V3A2-4M+2t2=C[J(A-1)24-(0+孚)2+J(A-|t)2+(0-^t)2]*记pq,o),Q(§,-N),建t)，因为J以一§)2+(0+马)2+J3-全)2+(0-幸。2表示点P到点Q与点/的距离之和,由平面几何知识，当P、Q、R三点共线时距离和最小，所以J》一令2+(0+争2+J(人*2+(0一手)2>J色一部+(争+孚2=I*业t+£\J393X0<t<l,所以当t=|时，云耳兵有最小值为尘U，所以CG+GH的最小值为穿X3yj39399对于选项D,设直线CE与MF所成的角为0,又CF=(|,-1,0),MF=(-1,所以cose=|cosME|=g^_,a+1xx1令*=。+1&[1,2]，则===又/'3)=工+三一2在[lj]上单调递减，在g,2]上单调递增，且，@)=1,/(I)=5>y(2)=I，41以所万尝所离公式表示距离，然后利用三点共线最小求解判断C;离公式表示距离，然后利用三点共线最小求解判断C;利用异面直线夹角的向量坐标公式求出余弦值函数，利用函数的性质求解范围判断D.本题主要考查了利用空间向量证明线线平行，考查了利用等体积法求三棱锥的体积,属于中档题.【解析】解：依题意，设样本中高一男生人数为4x,则样本中高一女生的人数为5x,故4x+5x=90,解得x=10,则样本中高一男生人数为40,高一女生的人数为50,所以样本中高一学生平均身高为40X171艺0X160.2=165cm,故而该校高一学生平均身高的估计值为165cm.故答案为：165.利用平均数的求法即可得解.本题主要考查平均数的公式，属于基础题.14.【答案】竺E【解析】解：由题意可知此棱台的上、下底面对角线长2/W、4后,所以棱台的体积V=?(4+V4x16+16)xC=普Z故答案为：誓.根据棱台的体积公式直接计算即可.本题考查棱台的体积计算，考查运算求解能力，属于基础题.【解析】解：在所有重卦中随机取一重卦，基本事件总数汽=26=64,该重卦恰有1个阳爻包含的基本个数m=«=6,则该重卦恰有1个阳爻的概率则该重卦恰有1个阳爻的概率p=刍=哀6432故答案为：妾基本事件总数n=26=64,该重卦恰有1个阳爻包含的基本个数m=Cl=6,再利用古典概型的概率公式求解.本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了排列组合知识，是基础题.42【解析】解：取BC的中点G,DE的中点F,连AF,FG,EG,AG,因为△ABC为边长为2的正三角形，D,E分别为储，AC中点，所以DE//BG,DE=BG,所以四边形DEGB为平行四边形，所以EG//BD,EG=BD=1,又AE1BD,所以AE1EG,因为4E=EG=1,所以AG=C，又因为MF=FG=籍,所以cos匕4FG=砰骨顼产=_122x^x^3因为DE1AF,DE1FG,AFC\FG=F,AF,FGu平面AFG,所以DEI平面AFG,因为DEu平面BCED,所以平SAfG1平面BCED,过入作AH1FG,垂足为则H在GF的延长线上，因为AHu平面AFG,平面AFGO平面BCED=FG,所以AH1平面BCED,因为COSA.AFG=一§,所以cos/-AFH=sin匕4FH=J1-§=专,因为GB=GC=GD=GE=L所以G为四边形BCED外接圆圆心，设正三角形成狂■外接圆圆心为M,四棱锥A-BCED的外接球球心为。，贝I]。G1平面BCED,OM所以0G1FG,0M1MF,则OF是四边形OGFM的外接圆直径，因为MG=VMF2+FG2一2MF•FG•cos匕MFG="W(2+(#2_2**X(T(i18.【18.【答案】证明：(1)_L面ABC,BCu面ABC,BCLAD,又•.•BCJLAB,ABC\AD=A,所以由正弦定理得°F=smWG=豆=二厂，~T~所以Of=VOF2+EF2=J(够尸+；=峭，即四棱锥4-BCED的外接球半径为孚，4所以四棱抽4-BCEO的外接球表面积为4tt.(孚尸=咨.\4/2故答案为：空；马S42作出四棱锥A-BCED的高，计算出高和底面积，可得体积，根据球的性质找到球心，求出半径可得表面积.本题考查了四棱锥的体积和外接球的表面积计算，属于中档题.17.【答案】解：设甲种水稻产量的平均值和方差分别为只，sl，乙种水稻产量的平均值和方差分别为药，sl，由题中数据可得，X]=*x(550+580+570+570+550+600)=570,x2=jx(540+590+560+580+590+560)=570,sf=|[(550-570)2+(580一570)2+(570-570)2+(570-570)2+(550-570)2+(600一570)2]=300,sf=|[(540-570)2+(590一570)2+(560一570)2+(580-570)2+(590一570)2+(560-所以两种水稻产量的总体水平相同，但甲种水稻的产量较稳定，所以应推广甲种水稻种植.【解析】分别求出两种水稻的平均数与方差，再根据平均数与方差即可得出结论.本题主要考查了平均数和方差的计算，属于基础题.即直线C即直线C4与面DBC所成角的正弦值为穿.【解析】(1)先证明BC1面再根据面面垂直的判定定理证明即可；(2)过点A做AELBD于E,连接CE,即可证明匕ACE即直线CA与平面DBC所成的角，进而求解即本题主要考查面面垂直的判定定理和直线与平面所成的角，属于中档题.19.【答案】解：(1)由己知得(。+0.06+0.07+8+0.01)x5=1,所以Q+b=0.06,又因为b=2a,所以q=0.02,b=0.04：(2)由于(0.02+0.06+0.07)x5=0.75,所以员工月销售额的第75百分位数为20,所以当X€[5,13)时，奖励金额为0.3千元；当x€[13,23)时，奖励金额为0.8千元；当x>23时，奖励金额为1.1千元，BCu面BCD,得证CBD1面ABD.解：(2)过点4做AELBD于E,连接CE,如下图所示:D由⑴可知面CBD由⑴可知面CBD1面ABD,且面CBW面=AE1面DBC,/.ACE即直线G4与平面DBC所成的角，设BC=2,则DA=AB=1,...DA=AB=^BCt...易知AE=AC=V"5>故加』隽=芸=普AEu平面ABD,•••DO//M，又妍仁平面AC"，DO平面AC^Dx(2)设AjA=b,，到平面ACiD的距离为d,•.•ACilAiB,DO//A]B,•••AC】1DO,又。为中点，.••AD=DC[,DC1=b24-1=V~3>解得b=所以该商场一位员工的月奖励金额的平均值为：(0.02x54-0.06x3)x0.3+(0.06x2+5x0.07+0.04x3)x0.8+(0.04x24-0.01x5)x1.1=0.699(千元).【解析】(1)根据频率分布直方图中各小长方形面积和为1并结合b=2a即可求解；(2)先求第75百分位数p,然后确定奖励方案，进而估算出月奖励金额的平均值.本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了平均数的计算，属于基础题.20.【答案】解：(1)连接4iC,交AC】于点0,连接OD,=\^b-aa^!=§x?x：x2xV~2xV~3=Saadc、=IxODxAC±=捉fx=&•••^AX-ACXD=^D-AAXCX=:解得d=f，即Al到平面AC1D的距离为【解析】(1)利用三角形中位线性质可得DO//A.B,由线面平行的判定可得结论:(2)利用^D-AA^i=^A^-AC^D可构造方程求得结果.本题考查空间中线面平行及等体积法求点面距离，属中档题.21.【答案】21.【答案】解：(1)取AB中点N,连接ON,PN.设AB=2a,则2q6(0,6/1],所以q6(0,3厂]，又04=3”，P。=4,在直角AAON中，ON=V27-廿,在直角APON中，PN=V16+27-a2=V43-a2»所以,S：pab=§x2qxV43-a2=a•V43-a2<+*一。=当且仅当a2=43-a2,即q=孚6(0,3“]时，等号成立.(2)因为为圆。的内接正三角形，由正弦定理得：AB=2x3y/~lxsin60°=9.过点B作BQLAM于点Q,连接CQ.因为△MAB三△M4C,所以CQLAM.