专题4-6解三角形及应用举例12大考点（原卷版）

专题4-6解三角形及应用举例12大考点知识点一正、余弦定理及变形定理正弦定理余弦定理内容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(3)eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(a,sinA)＝2RcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)【注意】若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理．在根据另一边所对角的正弦值确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题．知识点二三角形常用面积公式1、S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高)；2、S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；3、S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．知识点三解三角形中的常用结论1、三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2).2、三角形中的三角函数关系（1）sin(A＋B)＝sinC；（2）cos(A＋B)＝－cosC；（3）sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；（4）coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).3、三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.4、三角形中的大角对大边：在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB.知识点四测量中几个术语的意义及图形表示名称意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线eq\a\vs4\al(上)方的叫做仰角，目标视线在水平视线eq\a\vs4\al(下)方的叫做俯角方位角从某点的指eq\a\vs4\al(北)方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的eq\a\vs4\al(锐)角，通常表达为北(南)偏东(西)α例：(1)北偏东α：(2)南偏西α：【注意】（1）方位角和方向角本质上是一样的，方向角是方位角的一种表达形式，是同一问题中对角的不同描述．（2）将三角形的解还原为实际问题时，要注意实际问题中的单位、近似值要求，同时还要注意所求的结果是否符合实际情况．一、利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是：1、选定理.（1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理；（2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理；（3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理；（4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论；（5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理；2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简.3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。二、判定三角形形状的2种常用途径1、角化边：利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；2、边化角：通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断三、三角形多解问题在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：当A为锐角时：当A为钝角时四、求解与三角形面积有关的问题的步骤第一步化简转化：根据条件，利用三角变换公式化简一直等式，再利用正余弦定理化边或化角；第二步选择公式：根据条件选择面积公式，多用三角形的面积公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；第三步求值（最值）：若求最值，注意根据条件利用基本不等式求最值；若求值，可根据条件直接求出。五、解三角形中的最值范围问题1、三角形中的最值、范围问题的解题策略（1）定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围．（2）构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示．（3）求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值．2、求解三角形中的最值、范围问题的注意点（1）涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．（2）注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大边对大角等．六、解三角形的实际应用问题的类型及解题策略1、求距离、高度问题（1）选定或确定要创建的三角形，要先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的量．（2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．2、求角度问题（1）分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步，画图时，要明确仰角、俯角、方位角以及方向角的含义，并能准确找到这些角．（2）将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的综合应用．考点一正(余）弦定理解三角形【例1】（2023·江苏·南京市第一中学校考模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，，则（）A．B．或C．D．或【变式1-1】（2023·宁夏·银川一中校考）中，三边之比，则（）A．B．4C．D．【变式1-2】（2023·湖北·华中师大一附中校考模拟预测）在中，角的对边分别为，，，若，，则．【变式1-3】（2022秋·辽宁锦州·高三统考阶段练习）（多选）在中，内角的对边分别为，且，，则角的大小是（）A．B．C．D．【变式1-4】（2023秋·广东河源·高三校联考开学考试）在中，内角，，的对边长分别为，，，且.（1）求角；（2）若，周长，求.考点二判断三角形的形状【例2】（2023春·四川·高三射洪中学校考开学考试）若，且，那么是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【变式2-1】（2023·安徽芜湖·统考模拟预测）记的内角的对边分别为，，，若，则为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）在中，若，则的形状为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【变式2-3】（2022秋·黑龙江·高三哈尔滨七十三中校考期中）（多选）的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的形状为（）A．等边三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【变式2-4】（2023春·河北·高三衡水第二中学期末）（多选）在中，内角、、的对边分别是、、，下列结论正确的是（）A．若，则为等腰三角形B．若，则为等腰三角形C．若，，则为等边三角形D．若，，，则有两解考点三三角形解的个数问题【例3】（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情况为（）A．一个解B．二个解C．无解D．无法确定【变式3-1】（2022秋·河北张家口·高三校联考期中）（多选）在中，内角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）A．B．C．D．【变式3-2】（2022秋·河北石家庄·高三校考）（多选）在下列情况中三角形解的个数唯一的是（）A．，，B．，，C．，，D．，，【变式3-3】（2023·贵州·统考模拟预测）中，角的对边分别是，，.若这个三角形有两解，则的取值范围是（）A．B．C．D．【变式3-4】（2022秋·河南南阳·高三统考期中）在中，，，.若满足条件的有且只有一个，则的可能取值是（）A．B．C．D．【变式3-5】（2023·广西·南宁三中校考模拟预测）在中，，，若角有唯一解，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．考点四三角形的面积公式及应用【例4】（2023·西藏·校考模拟预测）在中，，则的面积等于（）A．B．C．2D．【变式4-1】（2023·陕西·高三普集高级中学校考）在中，角，，对应的边分别为，，，，，则的面积为.【变式4-2】（2020·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，的面积为，那么（）A．B．C．D．【变式4-3】（2023·陕西宝鸡·统考二模）在中，内角，，的对边分别是，，，的面积，且，则的外接圆的半径为（）A．B．C．D．【变式4-4】（2023·四川成都·校考模拟预测）在中，，，分别为角，，的对边，已知，，且，则（）A．B．C．D．【变式4-5】（2023·全国·高三专题练习）在中，内角A，，所对的边分别为，，，，为上一点，，，则的面积为（）A．B．C．D．考点五求角或函数值的最值范围【例5】（2023秋·黑龙江·高三鹤岗一中校考开学考试）锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则的取值范围为【变式5-1】（2023·四川成都·校联考模拟预测）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求证：，，是等差数列；（2）求的最大值．【变式5-2】（2024秋·广东·高三华南师大附中校考开学考试）在中，分别为的对边，.（1）证明；（2）求的取值范围.【变式5-3】（2022秋·广东东莞·高三校考阶段练习）已知的内角所对边分别为，.（1）若，求；（2）求的最大值.【变式5-4】（2023·全国·高三专题练习）已知分别为锐角ABC内角的对边，．（1）证明：；（2）求的取值范围．考点六求边长或周长的最值范围【例6】（2023秋·黑龙江双鸭山·高三双鸭山一中校考开学考试）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答.问题：锐角的内角，，的对边分别为，，，已知______.（1）求；（2）若，求的取值范围.【变式6-1】（2023秋·重庆·高三统考阶段练习）中，，则的取值范围是（）A．B．C．D．【变式6-2】（2023秋·山东青岛·高三山东省青岛第五十八中学校考开学考试）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且，.（1）求的大小；（2）求的最大值．【变式6-3】（2023秋·云南·高三昆明第十中学校考开学考试）△ABC的内角A，B，C的对边分别为，已知（1）求A；（2）若，求周长的取值范围.【变式6-4】（2023秋·湖南·高三衡阳田家炳实验中学校考）已知的内角的对边分别为，向量，且，三角形ABC外接圆面积为．（1）求；（2）求三角形ABC周长的最大值．考点七求三角形面积的最值范围【例7】（2023·江西·校联考模拟预测）已知中内角，，所对边分别为，，，．（1）求；（2）若边上一点，满足且，求的面积最大值．【变式7-1】（2023·全国·高三专题练习）在中，的对边分别为，且．（1）求的大小；（2）已知，求的面积的最大值．【变式7-2】（2023春·江西·高三统考阶段练习）在锐角中，角的对边分别是，且.（1）求；（2）若外接圆的半径是1，求面积的取值范围.【变式7-3】（2023·福建漳州·统考模拟预测）在平面四边形中，，，，.（1）求；（2）若为锐角三角形，求的面积的取值范围.【变式7-4】（2023春·安徽·高三定远中学校考）在中，角，，所对的边分别是，，，.（1）求；（2）若是边上一点，且满足，，求的最小值.考点八与中线有关的解三角形【例8】（2023秋·贵州·高三凯里一中校联考开学考试）在中，内角的对边分别是，且.（1）求角的大小；（2）若，且边上的中线长为4，求的面积.【变式8-1】（2023·四川绵阳·三台中学校考一模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且．（1）求角B的大小；（2）若点M为BC中点，且，求．【变式8-2】（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）在中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.（1）求角A；（2）若，AD为BC边上的中线，求.【变式8-3】（2023·河南·统考三模）在中，内角A，B，C对应的边分别为，，都是整数．（1）求；（2）若的中点为，求．【变式8-4】（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模）在中，三边所对的角分别为，已知，（1）若，求；（2）若边上的中线长为，求的长.考点九与角平分线有关的最值范围【例9】（2023秋·江西·高三临川一中校联考开学考试）在中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，，D是BC上的点，且平分.（1）求角A的值；（2）若，求的面积.【变式9-1】（2023秋·湖南·高三南县第一中学校考）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.（1）求的大小；（2）若角的平分线交于点，，，求.【变式9-2】（2023·全国·高三专题练习）已知的内角的对边分别为，，平分交于点，且．（1）求；（2）求的面积．【变式9-3】（2023秋·云南·高三云南师大附中校考）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）D是边BC上的一点，且，AD平分，且，求的面积.【变式9-4】（2023·全国·高三专题练习）已知条件：①；②；③.从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足：____.（1）求角C的大小；（2）若，与的平分线交于点I，求周长的最大值.考点十与高线有关的最值范围【例10】（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）如图，在中，，，.（1）求的值；（2）过点A作，D在边BC上，记与的面积分别为，，求的值.【变式10-1】（2023·全国·高三专题练习）中，角的对边分别是，且满足．（1）求；（2）若在上，，且，求的最大值．【变式10-2】（2023·山东济南·校考模拟预测）在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，求BC边上的高AD的最大值．【变式10-3】（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，设边所对的角分别为，且．（1）求角的取值范围；（2）若，求中边上的高的取值范围．【变式10-4】（2023·山西大同·统考模拟预测）记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）证明：；（2）若AD是BC边上的高，且，求的取值范围．考点十一多三角形或四边形的解三角形【例11】（2023秋·河南·高三郑州外国语学校校考）如图，三角形的内角，，所对的边分别为，，，．（1）求．（2）若，，，求的长．【变式11-1】（2023·北京大兴·校考三模）如图，平面四边形中，对角线与相交于点，，，，.（1）求的面积；（2）求的值及的长度.【变式11-2】（2024秋·山西朔州·高三校联考开学考试）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.（1）求的值；（2）如图，D为AB上的一点，且，若，B为锐角，求，的值.【变式11-3】（2023春·江西·高三南昌八一中学校考）如图，在中，为的中点，且,（1）证明：；（2）若，求．【变式10-4】（2023·全国·高三专题练习）在中，，内有一点，且，.（1）若，求的面积；（2）若，求的长.考点十二解三角形的实际应用【例12】（2023秋·广西南宁·高三南宁市武鸣区武鸣高级中学校考开学考试）如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得楼顶部M的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为（）

A．91mB．74mC．64mD．52m